Ejercicio 1

Estimación del valor de π

Estimación del valor de π . LA siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuíto con un áreaigual a π/4, está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria 100 puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la pracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, que es 79 para obtener la estimación de π/4≈0.76 . De este último resultado se concluye que π≈4(0.79)=3.14 . Este ejercicio presenta un experimento de simulación que fue diseñado para estimar el valor de π al generar 1000 puntos en el cuadrado.

• Genere 1000 coordenadas x: X1, . . . , X1000. Utilice la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1. La distribución uniforme genera variables aleatorias que tienen la misma probabilidad de venir de cualquier parte del intervalo (0,1).

x= runif(1000,0,1)

• Genere 1000 coordenadas y : Y1,…,Y1000, utilizando nuevamente la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1.

y= runif(1000,0,1)

• Cada punto (Xi,Yi) se encuentra dentro del círculo si su distancia desde el centro (0.5,0.5) es menor a 0.5. Para cada par (Xi,Yi) determine si la distancia desde el centro es menor a 0.5. Esto último se puede realizar al calcular el valor (Xi−0.5)^2 + (Yi−0.5)^2, que es el cuadrado de la distancia, y al determinar si es menor que 0.25.

#Almaceno las distacias 
distancia_punto_c <- numeric()

#calculo las distancias
for (i in 1:length(x)){
  distancia_punto_c[i] = (x[i]-0.5)^2 + (y[i]-0.5)^2}
#guardo los puntos a dentro y fuera del circulo >(montecarlo)
#1 ->  dentro
#0 ->  fuera
puntos = ifelse(distancia_punto_c < 0.25, 1, 0) 

¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π? (Nota: Con sólo 1000 puntos, es probable que su estimación sea inferior por 0.05 o más. Una simulación con 10000 y 100000 puntos tiene mayores probabilidades de dar como resultado una estimación muy cercana al valor verdadero

# grafico
t <- seq(0, 2*pi, length.out = 100)

plot(0, 0, asp = 1, type = "n",
     xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1),
     ann = F)

abline(v = seq(0, 1, 0.1), lty = 2, col = "gray60")
abline(h = seq(0, 1, 0.1), lty = 2, col = "gray60")

radio <- 1/2

a <- 0.5 ## origen circunferencia eje x
b <- 0.5 ## origen circunferencia eje y

xx <- a + cos(t)*radio
yy <- b + sin(t)*radio

points(xx, yy, type = "l", col = "darkblue")
points(x,y,pch = 20)

En el centro tengo un circulo y uso valores de puntos iguales a 1.

sum(puntos)

## [1] 783

#estimamos pi

4 * sum(puntos)/length(x)

## [1] 3.132

Podemos ver entonces que con 1000 puntos el error absoluto del problema es de:

 ## [1] -0.09759265

Ahora si aproximamos a π con 10000 puntos:

 ## [1] 3.1368

y se demuestra que el error absoluto es de:

 ## [1] -0.004792654

De