Questão 1

Suponha que a série diária de log-retorno de um ativo siga o seguinte modelo: \(y_t = 0.01 + 0.2\,y_{t−2} + \epsilon_t\) , onde \(\epsilon_t\) é um ruı́do branco Gaussiano com média zero e variância \(0.02\). (a) Determine a média e a variância da série de retornos \(y_t\). (b) Calcule as autocorrelações de ordem 1 e 2 de \(y_t\). (c) Assuma que o valor de \(y\) em \(t = 100\), \(y_{100}\), seja \(-0.01\) e o valor de \(y\) em \(t = 99\), \(y_{99}\), seja \(0.02\). Calcule a previsão um passo à frente da série de retornos a partir da origem \(t = 100\). Calcule também a previsão dois passos â frente a partir de \(t = 100\).

Resposta 1

Para simplificar as manipulações algébricas, iremos usar a seguine notação para a série \(y_t\) definida neste execício: \[\begin{equation} y_t = 0.01 + 0.2\,y_{t-2}+\epsilon_t = \alpha + \phi\,y_{t-2} + \epsilon_t, \end{equation}\] onde \(\alpha = 0.01, \phi=0.2\) e \(\epsilon_t\) é um ruído branco com média zero e variância \(\sigma^2 = 0.02\).

(a) Cálculo da média \(E(y_t)\):

Usando as propriedades do valor esperado \(E\), a média de \(y_t\) é dada por \[\begin{eqnarray} E\{y_t\} &=& E\{\alpha + \phi_2\,y_{t-2} + \epsilon_t\}\\ &=& E\{\alpha\} + \phi_2\, E\{y_{t-2}\} + E\{\epsilon_t\}, \ \ \text{pela linearidade de E}\\ &=& \alpha + \phi_2\, E\{y_{t-2}\} + 0, \ \ \text{pois $\epsilon_t$ possui média zero} \end{eqnarray}\] Usando a estacionaridade de \(y_t\), temos que \(E\{y_t\} = E\{y_{t-2}\} = \mu\), onde \(\mu\) é uma constante. Substituindo na expressão acima temos \[\begin{equation} \mu = \alpha + \phi_2\, \mu \end{equation}\] Logo, a média \(\mu\) de \(y_t\) é \[\begin{eqnarray} \mu = \frac{\alpha}{1-\phi} = \frac{0.01}{1-0.02} = \frac{0.01}{0.8} = 0.0125. \end{eqnarray}\] Portanto, \(\mu= 0.0125\).

Cálculo da variância \(var(y_t)\): \[\begin{eqnarray} var(y_t) &=& var(\alpha + \phi\,y_{t-2} + \epsilon_t), \ \ \text{usando da definição de $y_t$}\\ &=& \phi^2\,var(y_{t-2}) + var(\epsilon_t) + 2\, cov(y_t-2, \epsilon_t), \ \ \text{pelas propriedades da variância} \\ &=& \phi^2\,var(y_{t-2}) + \delta^2 + 0, \ \ \text{pois $var(\epsilon_t) = \delta^2$ e $y_t$ e $\epsilon_t$ não são correlacionados} \end{eqnarray}\] Logo, \[\begin{equation} var(y_t) = \frac{\delta^2}{1 - \phi^2}. \end{equation}\] Subsituindo os valores das constantes na expressão acima, temos que \[\begin{eqnarray} var(y_t) &=& \frac{0.02}{1-(0.2)^2} = \frac{0.02}{1-4 * 10^{-2}} \\ &=& \frac{0.02}{0.96} = 0.021 \end{eqnarray}\] Portanto, \(var(y_t) = 0.021\). Como \(var(y_t) = cov(y_t, y_t) = \gamma_0\), então \(\gamma_0 = 0.021\).

(b) Inicialmente, vamos calcular uma expressão para a autocovariância de lag \(k\), denotada por \(\gamma_k\): \[\begin{eqnarray} \gamma_k &=& cov(y_t, y_{t-k}) \\ &=& E(y_t\,y_{t-k}) - \mu^2, \ \ \text{pois $E(y_t) = E(y_{t-k}) = \mu=$'média constante de $y_t$'}\\ &=& E[(\alpha + \phi\,y_{t-2} + \epsilon_t)\,y_{t-k}] -\mu^2, \ \ \text{já que $y_t = \alpha + \phi\,y_{t-2} + \epsilon_t$} \\ &=& E(\alpha\,y_{t-k} + \phi\,y_{t-2}y_{t-k} + \epsilon_ty_{t-k}) - \mu^2, \ \ \ \text{após multiplicarmos}\\ &=& \alpha\, E(y_{t-k}) + \phi\,E(y_{t-2}y_{t-k}) + E(\epsilon_ty_{t-k}) - \mu^2, \text{pois $E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y)$, $\forall a,b$ constantes e $\forall X, Y$ variáveis aleatórias}\\ &=& \alpha\,\mu + \phi\,E(y_{t-2}y_{t-k}) + 0 - \mu^2, \ \ \text{pois série $y_t$ e o erro $\epsilon_t$ não são correlacionados} \\ &=& \alpha\,\mu + \phi\,E(y_{t-2}y_{t-k}) - \mu^2 + \phi\,\mu^2 - \phi\,\mu^2, \ \ \text{após somar e subtrair um termo que desejamos}\\ &=& \alpha\,\mu + \phi\,[E(y_{t-2}y_{t-k}) - \mu^2] - \mu^2 + \phi\,\mu^2, \ \ \text{ agrupando os termos}\\ &=& \alpha\,\mu + \phi\,\gamma_{k-2} - \mu^2 + \phi\,\mu^2, \ \ \ \text{pois $E(y_{t-2}y_{t-k}) - \mu^2 = \gamma_{k-2}$ (adiante verificaremos essa identidade)} \end{eqnarray}\] Portanto, \[\begin{equation} \gamma_k = \alpha\,\mu + \phi\,\gamma_{k-2} - \mu^2 + \phi\,\mu^2. (*) \end{equation}\]

Usando \(k=1\) na expressão acima, temos \[\begin{equation} \gamma_1 = \alpha\,\mu + \phi\,\gamma_{-1} - \mu^2 + \phi\,\mu^2. \end{equation}\] Como \(y_t\) é estacionária, vale que \(\gamma_k = \gamma_{-k}\). Então, \[\begin{equation} \gamma_1 = \alpha\,\mu + \phi\,\gamma_{1} - \mu^2 + \phi\,\mu^2 = \alpha\,\mu + \phi\,\gamma_{1} - \mu^2(1- \phi). \end{equation}\] Isolando \(\gamma_1\), ficamos com \[\begin{equation} \gamma_1 = \frac{\alpha\,\mu}{1-\phi} -\mu^2 = 0. \end{equation}\] Então, substituindo os valores das constantes \(\alpha, \mu, \phi\), a correlação de lag 1 é: \[\begin{equation} \rho_1 = \frac{\gamma_1}{\gamma_0} = \frac{0}{\gamma_0} = 0. \end{equation}\] Portanto, a autocorrelação de ordem 1 é \(\rho_1 = 0\).

Usando (*), obtemos a autocovariância de ordem 2, \(\gamma_2\): \[\begin{eqnarray} \gamma_2 &=& \alpha\,\mu + \phi\,\gamma_0 + \mu^2\,(\phi-1)\\ &=& 0.01*0.0125 + 0.2*0.021 + (0.0125)^2*(0.2 - 1)\\ &=& 1.25*10^{-4} + 4.2*10^{-3} - 1.25*10^{-4}\\ &=& 4.2*10^{-3} \end{eqnarray}\] Logo, a autocorrelação de ordem 2 é \[\begin{equation} \rho_2 = \frac{\gamma_2}{\gamma_0} = \frac{4.2*10^{-3}}{0.021} = 0.2. \end{equation}\] Portanto, \(\rho_2 = 0.2\).

Para verificar que \(E(y_{t-2}\,y_{t-k}) - \mu^2 = \gamma_{k-2}\), podemos fazer a substituição de variáveis \(t^{'} = t-2\) (ou seja, \(t = t^{'}+2\)), então \[\begin{eqnarray} E(y_{t-2}\,y_{t-k}) - \mu^2 &=& cov(y_{t-2}, y_{t-k}), \ \ \ \text{pois $y_{t}$ é estacionária e tem média constante}\\ &=& cov(y_{t^{'}}, y_{(t^{'} + 2) - k}), \ \ \ \text{substituindo $t = t^{'} + 2$}\\ &=& cov(y_{t^{'}}, y_{t^{'} - (k-2)}), \ \ \ \text{agrupando os termos}\\ &=& cov(y_{t}, y_{t - (k-2)}), \ \ \ \text{pois $t$ é um rótulo arbitrário para o subíndice e pode ser alterado}\\ &=& \gamma_{k-2} \end{eqnarray}\]

Questão 2

Descreva como as FAC e FACP são úteis para identificar um modelo ARMA. Como os critérios de informação podem ser usados na construção de um modelo?

Resposta 2

Um modelo ARMA(p, q) pode ser escrito como: \[\begin{equation} y_t = \alpha + \sum_{j=1}^p \phi_j\, y_{t-j} + \sum_{i=0}^q \theta_i\, \epsilon_{t-i}, \end{equation}\] onde os coeficientes e variáveis são conforme vistos em aula. Dessa maneira, o valor atual da série \(y_t\) para um modelo AR(p,q), pode depender do intercepto (drift) \(\alpha\), dos valores passados da série \(y_k\) para \(k < t\) e do erro atual \(\epsilon_t\) (assumido como ruído branco). Para medir a correlação entre as variáveis atuais e passadas utilizamos a função de autocorrelação (abreviada por ACF, em inglês) e a função de autocorrelação parcial (PACF, em inglês). A ACF mede a correlação entre duas variáveis (atual e passado) e a PACF mede a correlação entre duas variáveis eliminando o efeito de outras variáveis (uma forma de se fazer isso, é aplicando uma regressão linear).

Conforme vimos ao longo do curso, a ACF de uma série temporal \(y_t\) é formada por \(\rho_1, \rho_2, \rho_k, \dots, \rho_k\) onde \(\rho_k = \frac{cov(y_t,\, y_{t-k})}{var(y_t)} = \frac{\gamma_k}{\gamma_0}\). Além disso, a PACF é dada por \(\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_k\) em que \(\phi_k\) satisfaz a equção \(y_t = \phi_1\,y_{t-1} + \phi_2\,y_{t-2} + \dots + \phi_k\,y_{t-k} + v_t\).

Adicionalmente, as propriedades dos processos AR(p) e MA(q) podem ser usados na identificação de um modelo ARMA(p, q). De fato, um processo AR(p) é descrito por: (i) uma ACF infinita e declinante; e (ii) uma PACF aproximadamente igual a zero (ou truncada) para lags maiores que p. Já um processo MA(q) é descrito por: (i) uma ACF aproximadamente igual a zero (ou truncada) para lags maiores que q; e (ii) uma PACF infinita e declinante. Analisando o gráfico da ACP e FACP podemos “estimar” visualmente os valores de p e q num modelo ARMA.

Uma propriedade interessante é que MA(\(\infty\)) = AR(1) e MA(1) = AR(\(\infty\)).

Conforme vimos em aula, modelos AR podem ser estimados por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). Já os modelos MA e ARMA são estimados através do método da Máxima Verossimilhança (MV), pois os erros que atuam como variáveis independentes nesses modelos não são diretamente observáveis.

Para usarmos os critérios de informação Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC), calculamos o AIC (ou BIC) para \(k = 0, \dots, n\), onde \(n\) para um inteiro positivo. O valor da ordem \(k\) que possui o valor AIC (ou BIC) mínimo indica a ordem \(k\) que deve ser escolhida para termos o melhor modelo.

Questão 3

Seja a FAC e FACP (ACF e PACF em inglês, respectivamente) de uma série de log-retornos mostrada na página seguinte. Qual seria um modelo do tipo ARMA razoável para descrever a dinâmica dessa série? Como você poderia verificar se o modelo escolhido é adequado? NOTA: As FAC e FACP mostradas abaixo, começam no lag = zero. Então, o primeiro elemento é a autocorrelação de ordem zero, que deve ser desconsiderada para a análise proposta.

fonte: Homework 2 - Questão 3.

fonte: Homework 2 - Questão 3.

Resposta 3

Olhando para o gráfico da PACF notamos um alto valor para o lag = 1, sugerindo que o modelo ARMA possui uma parte AR(1). Enquanto isso o decaimento indicado no gráfico da ACF, sugere uma parte MA(\(\infty\)).

Vejamos alguns testes computacionais antes de decidir qual ordem escolheremos para nosso modelo ARMA.

TT <- 250
#?arima.sim
ma <- acf(arima.sim(model=list(ma=seq(from=1, to=10000, by = 1)), n=TT), 
           ylab=expression(Y[t]),
           main=expression(paste("MA(10000) p/ ", theta, "=1")))

ar <- pacf(arima.sim(model=list(ar=c(0.9, 0.001, 0.05)), n=TT), 
           ylab=expression(Y[t]),
           main=expression(paste("AR(3) p/ ", theta, "=(0.9, 0.001, 0.05)")))

Os testes computacionais sugerem que nossa o modelo é formado por MA(\(\infty\)) e AR(1). Como MA(\(\infty\)) = AR(1), então escolhemos o modelo ARMA(1, \(\infty\)) que equivale a um ARMA(1, 0).

Para saber se o modelo ARMA(1, 0) proposto está adequado, podemos analisar os seus resíduos. Se os resíduos tiverem comportamento de ruído branco, ou seja, média zero, variância constante e ausência de autocorrelação, então o modelo proposto foi adequado. Podemos fazer isso através da análise das FAC e FACP dos resíduos, além dos testes de Ljung-Box e Box-Pierce. No caso de haver autocorrelação na série dos resíduos, devemos revisar o modelo proposto.

Referências