Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:
El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1.Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗2,X∗n conformando la muestra bootstrap.
Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5 . Existen dos métodos para estimarlo:
Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)
Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?
Nota - funciones recomendadas : sample() , apply(), quantile() - las muestras bootstrap se pueden obtener a partir de muestreo aleatorio con repetición (o tambien llamado con sustitución)
# Datos de la muestra
muestra <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)
# Número de repeticiones bootstrap
k <- 1000
# Tamaño de la muestra bootstrap
n <- length(muestra)
# Almacenar las medias bootstrap
medias_bootstrap <- numeric(k)
# Realizar el método Bootstrap
for (i in 1:k) {
muestra_bootstrap <- sample(muestra, replace = TRUE)
medias_bootstrap[i] <- mean(muestra_bootstrap)
}
# Calcular los percentiles inferior y superior
percentil_inferior <- quantile(medias_bootstrap, 0.025)
percentil_superior <- quantile(medias_bootstrap, 0.975)
# Método 1: (P2.5, P97.5)
intervalo_metodo1 <- c(percentil_inferior, percentil_superior)
# Método 2: (2X¯ - P97.5, 2X¯ - P2.5)
media_muestra <- mean(muestra)
intervalo_metodo2 <- c(2 * media_muestra - percentil_superior, 2 * media_muestra - percentil_inferior)
# Resultados
cat("Intervalo de confianza (Método 1):", intervalo_metodo1, "\n")## Intervalo de confianza (Método 1): 4.737143 6.437464cat("Intervalo de confianza (Método 2):", intervalo_metodo2, "\n")## Intervalo de confianza (Método 2): 4.631107 6.331429# Comparación de resultados
cat("Media de la muestra:", media_muestra, "\n")## Media de la muestra: 5.534286cat("Ancho del intervalo (Método 1):", percentil_superior - percentil_inferior, "\n")## Ancho del intervalo (Método 1): 1.700321cat("Ancho del intervalo (Método 2):", intervalo_metodo2[2] - intervalo_metodo2[1], "\n")## Ancho del intervalo (Método 2): 1.700321NOTA: La ejecución del código genera valores aleatorios, por lo que el análisis, se realiza de manera general.
Para analizar el nivel de confianza en las estimaciones, es importante verificar el ancho de los intervalos y el valor de la media muestral. Por lo tanto, en la medida que un intervalo de confianza sea reducido, y a su vez, se encuentre centrado en la media muestral, se podría considerar que es una información precisa, y por tanto, de confianza.
Para este caso, se observa que el ancho del intervalo de los dos métodos es igual, y que el valor presentado se encuentra aún por debajo de la media de la muestra. Por lo tanto, y teniendo en cuenta la premisa general planteada en el párrafo anterior, se confiaría en la estimación.