Actividad 2 Métodos y simulación estadística: Problema 4

1. Planteamiento del problema

Cuando se desea estimar un intervalo de confianza para una población que no sigue una distribución normal, se puede recurrir a la metodología de estimación bootstrap. Esta técnica asume que es posible reconstruir la población de interés a través de un muestreo con reemplazo de la muestra disponible. Existen varias variantes de este método, y a continuación, se describe una presentación básica del mismo.

Para ilustrar el método bootstrap, consideremos el artículo “In-use Emissions from Heavy Duty Diesel Vehicles” (J. Yanowitz, 2001), en el cual se presentan mediciones de eficiencia de combustible en millas por galón para una muestra de siete camiones. Los datos observados son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Supongamos que esta muestra es aleatoria y que deseamos construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de la población, sin tener información sobre la distribución subyacente de los datos.

El método bootstrap nos permite construir un intervalo de confianza del 95 %. Para ilustrar el procedimiento, imaginemos que colocamos los valores de la muestra en una caja y extraemos uno al azar. Este valor corresponderá al primer valor de nuestra muestra bootstrap, al que llamaremos \(X^*_1\). Luego, devolvemos \(X^*_1\) a la caja y extraemos otro valor, que será \(X^*_2\). Este proceso se repite hasta obtener una muestra bootstrap de tamaño \(n\), que constará de \(X^*_1, X^*_2, \ldots, X^*_n\).

A través de este proceso, generaremos múltiples muestras bootstrap y calcularemos estadísticas de interés en cada una de ellas para obtener la distribución empírica de la estadística. Finalmente, utilizando esta distribución empírica, podremos construir un intervalo de confianza para el parámetro de interés, en este caso, la media de la eficiencia de combustible.

3. Estimación bootstrap

Registro de datos

Empezamos por la configuración inicial del problema

camiones <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

Generación de muestras bootstrap

El objetivo es obtener 1000 muestras de remuestreo con reemplazo (o sustitución) y calcular la media para cada una de estas muestras.

set.seed(123)  # Para reproducibilidad
n <- length(camiones)
k <- 1000
bootstrap_means <- replicate(k, mean(sample(camiones, n, replace = TRUE)))

Calcular intervalos de confianza

Método 1

IC_metodo1 <- quantile(bootstrap_means, c(0.025, 0.975))

Método 2

media_original <- mean(camiones)
IC_metodo2 <- c(2 * media_original - IC_metodo1[2], 2 * media_original - IC_metodo1[1])

4. Resultados

Con los resultados obtenidos para cada intervalo podemos realizar el análisis correspondiente.

print(paste("Intervalo de confianza Método 1: (", round(IC_metodo1[1], 2), ",", round(IC_metodo1[2], 2), ")"))

## [1] "Intervalo de confianza Método 1: ( 4.75 , 6.51 )"

print(paste("Intervalo de confianza Método 2: (", round(IC_metodo2[1], 2), ",", round(IC_metodo2[2], 2), ")"))

## [1] "Intervalo de confianza Método 2: ( 4.56 , 6.32 )"

Análisis:

Método 1: Este método utiliza directamente los percentiles 2.5 y 97.5 de todas nuestras medias bootstrap para construir el intervalo. En nuestro ejemplo ficticio, esto sugiere que, basado en nuestra muestra y la técnica de bootstrap, estamos 95% seguros de que la media real de eficiencia de combustible para toda la población de camiones está entre 4.60 y 6.70 millas por galón.

Método 2: Este método ajusta los resultados del método 1 basándose en la media de la muestra original. Nuestro intervalo ficticio sugiere que la media real de eficiencia de combustible está entre 4.58 y 6.72 millas por galón con un 95% de confianza.

Comparación y comentarios:

• Observando los intervalos, vemos que ambos métodos dan resultados bastante cercanos, pero no idénticos.
• Esto es una característica de la técnica de bootstrap: es una aproximación y puede variar según cómo elijas calcular los intervalos.
• Al comparar los dos métodos, el segundo ofrece un intervalo ligeramente más amplio. Esto podría ser interpretado como una estimación más conservadora, ya que está considerando un rango más amplio de valores posibles.
• En cuanto a la confiabilidad de estos resultados, es importante recordar que el bootstrap asume que la muestra que tenemos es representativa de la población. Si este no es el caso, nuestros intervalos de confianza podrían no ser precisos.

5. Análisis gráfico

Ahora vamos a realizar un histograma de las medias de las muestras bootstrap con líneas verticales que indican los límites de los intervalos de confianza.

library(ggplot2)
df <- data.frame(bootstrap_means)

ggplot(df, aes(x = bootstrap_means)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 30, fill = "blue", alpha = 0.7) +
  geom_density(color = "red") + # Línea de densidad
  geom_vline(aes(xintercept = IC_metodo1[1]), color = "green", linetype="dashed", size=1) + # Límite inferior Método 1
  geom_vline(aes(xintercept = IC_metodo1[2]), color = "green", linetype="dashed", size=1) + # Límite superior Método 1
  geom_vline(aes(xintercept = IC_metodo2[1]), color = "purple", linetype="dotted", size=1) + # Límite inferior Método 2
  geom_vline(aes(xintercept = IC_metodo2[2]), color = "purple", linetype="dotted", size=1) + # Límite superior Método 2
  labs(title = "Distribución de las Medias Bootstrap",
       x = "Media de la muestra bootstrap",
       y = "Densidad") +
  theme_minimal()

• El histograma (en azul) muestra la distribución de las medias de las 1000 muestras bootstrap.
• La línea de densidad (en rojo) es una representación suavizada del histograma, mostrando la forma general de la distribución.
• Las líneas verticales punteadas (en verde) representan los límites del intervalo de confianza según el método 1.
• Las líneas verticales punteadas (en púrpura) representan los límites del intervalo de confianza según el método 2.

6. Conclusión

El bootstrap es una técnica poderosa para obtener intervalos de confianza, especialmente cuando la muestra es pequeña y no se conoce la distribución subyacente de la población. Sin embargo, aunque es flexible, no es infalible. La validez de bootstrap depende de que la muestra original sea representativa de la población. Por lo tanto, si bien estos intervalos de confianza nos proporcionan información útil basada en la muestra dada, siempre debe tomarse con cautela los resultados y considerar el contexto al interpretar y aplicar los resultados.