Problema 2

La simulación ayuda a entender y validad las propiedades de los estimadores estadísticos como son. insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

MUESTRA DE 20

 TotalSimulacion = 1000
t1Total = c()
t2Total = c()
t3Total = c()
t4Total = c()
L = 5

Operaciones = function(Muestra, Lamda,estimador,muestra){
  for(i in 1: length(length(Muestra))){
    consistencia = 0
    sesgo = mean(Muestra[i]) - Lamda
    eficiencia = var(Muestra) + (sesgo)^2
    consistencia = (consistencia + (Muestra[i] - Lamda)^2)/Lamda
    print(paste("------------ Muestra",muestra,"Estimador ",estimador,"-----------"))
    print(paste("Sesgo: ",sesgo))
    print(paste("Consistencia: ",consistencia))
  }
  
  eficiencia = var(Muestra) + (sesgo)^2
  print(paste("Eficiencia: ",eficiencia))
}

muestra20 = function(Lambda){
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(20,rate=1/Lambda)
    t1 = ((t[1]+t[2])/6) + ((t[3]+t[4])/3)
    t1Total[i] = t1
  }
  Operaciones(t1Total,Lambda,1,20)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
  t = rexp(20,rate=1/Lambda)
  t2 = (t[1]+2*(t[2])+3*(t[3])+4*(t[4]))/5
  t2Total[i] = t2
  }
  Operaciones(t2Total,Lambda,2,20)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(20,rate=1/Lambda)
    t3 = (t[1]+t[2]+t[3]+t[4])/4
    t3Total[i] = t3
  }
  Operaciones(t3Total,Lambda,3,20)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(20,rate=1/Lambda)
    t4 = (min(t[1],t[2],t[3],t[4]) + max(t[1],t[2],t[3],t[4]))/2
    t4Total[i] = t4
  }
   
    boxplot(t1Total,t2Total,t3Total,t4Total, horizontal = FALSE,col =c("blue","yellow","brown","red"), main = "Diagrama de Cajas para Muestra de 20")

  
 Operaciones(t4Total,Lambda,4,20)
}   
muestra20(L)
## [1] "------------ Muestra 20 Estimador  1 -----------"
## [1] "Sesgo:  -1.70796875520123"
## [1] "Consistencia:  0.58343145374873"
## [1] "Eficiencia:  9.46806725951815"
## [1] "------------ Muestra 20 Estimador  2 -----------"
## [1] "Sesgo:  1.49519087411833"
## [1] "Consistencia:  0.447119150009345"
## [1] "Eficiencia:  32.006678729625"
## [1] "------------ Muestra 20 Estimador  3 -----------"
## [1] "Sesgo:  -1.85005483870051"
## [1] "Consistencia:  0.684540581239837"
## [1] "Eficiencia:  9.53400981020829"

## [1] "------------ Muestra 20 Estimador  4 -----------"
## [1] "Sesgo:  -1.98449526807551"
## [1] "Consistencia:  0.787644293802818"
## [1] "Eficiencia:  12.7435108976755"

MUESTRA DE 50

muestra50 = function(Lambda){
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(50,rate=1/Lambda)
    t1 = ((t[1]+t[2])/6) + ((t[3]+t[4])/3)
    t1Total[i] = t1
  }
  Operaciones(t1Total,Lambda,1,50)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(50,rate=1/Lambda)
    t2 = (t[1]+2*(t[2])+3*(t[3])+4*(t[4]))/5
    t2Total[i] = t2
  }
  Operaciones(t2Total,Lambda,2,50)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(50,rate=1/Lambda)
    t3 = (t[1]+t[2]+t[3]+t[4])/4
    t3Total[i] = t3
  }
  Operaciones(t3Total,Lambda,3,50)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(50,rate=1/Lambda)
    t4 = (min(t[1],t[2],t[3],t[4]) + max(t[1],t[2],t[3],t[4]))/2
    t4Total[i] = t4
  }
   
   boxplot(t1Total,t2Total,t3Total,t4Total, horizontal = FALSE,col =c("green","yellow","pink","red"), main = "Diagrama de Cajas para Muestra de 50")

  
  Operaciones(t4Total,Lambda,4,50)
}   
muestra50(L)
## [1] "------------ Muestra 50 Estimador  1 -----------"
## [1] "Sesgo:  0.381266819131227"
## [1] "Consistencia:  0.0290728774740887"
## [1] "Eficiencia:  6.9462969664864"
## [1] "------------ Muestra 50 Estimador  2 -----------"
## [1] "Sesgo:  11.5261447203822"
## [1] "Consistencia:  26.570402423039"
## [1] "Eficiencia:  160.08537241687"
## [1] "------------ Muestra 50 Estimador  3 -----------"
## [1] "Sesgo:  -3.96253732875644"
## [1] "Consistencia:  3.14034041635764"
## [1] "Eficiencia:  22.1519960902017"

## [1] "------------ Muestra 50 Estimador  4 -----------"
## [1] "Sesgo:  -2.31344029985844"
## [1] "Consistencia:  1.07040120420182"
## [1] "Eficiencia:  17.2310558834707"

MUESTRA DE 100

muestra100 = function(Lambda){
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(100,rate=1/Lambda)
    t1 = ((t[1]+t[2])/6) + ((t[3]+t[4])/3)
    t1Total[i] = t1
  }
  Operaciones(t1Total,Lambda,1,100)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(100,rate=1/Lambda)
    t2 = (t[1]+2*(t[2])+3*(t[3])+4*(t[4]))/5
    t2Total[i] = t2
  }
  Operaciones(t2Total,Lambda,2,100)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(100,rate=1/Lambda)
    t3 = (t[1]+t[2]+t[3]+t[4])/4
    t3Total[i] = t3
  }
  Operaciones(t3Total,Lambda,3,100)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(100,rate=1/Lambda)
    t4 = (min(t[1],t[2],t[3],t[4]) + max(t[1],t[2],t[3],t[4]))/2
    t4Total[i] = t4
  }
     boxplot(t1Total,t2Total,t3Total,t4Total, horizontal = FALSE,col =c("orange","grey","brown","blue"), main = "Diagrama de Cajas para Muestra de 100")

  
  Operaciones(t4Total,Lambda,4,100)

}   
muestra100(L)
## [1] "------------ Muestra 100 Estimador  1 -----------"
## [1] "Sesgo:  -1.82269607867968"
## [1] "Consistencia:  0.664444199046857"
## [1] "Eficiencia:  10.6796671718616"
## [1] "------------ Muestra 100 Estimador  2 -----------"
## [1] "Sesgo:  11.7991854610343"
## [1] "Consistencia:  27.8441555087767"
## [1] "Eficiencia:  168.750273978743"
## [1] "------------ Muestra 100 Estimador  3 -----------"
## [1] "Sesgo:  -4.31771094422389"
## [1] "Consistencia:  3.72852555957415"
## [1] "Eficiencia:  24.6624754538876"

## [1] "------------ Muestra 100 Estimador  4 -----------"
## [1] "Sesgo:  -0.252294292650684"
## [1] "Consistencia:  0.0127304820208218"
## [1] "Eficiencia:  10.9701512086832"

MUESTRA DE 1000

muestra1000 = function(Lambda){
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(1000,rate=1/Lambda)
    t1 = ((t[1]+t[2])/6) + ((t[3]+t[4])/3)
    t1Total[i] = t1
  }
  Operaciones(t1Total,Lambda,1,1000)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(1000,rate=1/Lambda)
    t2 = (t[1]+2*(t[2])+3*(t[3])+4*(t[4]))/5
    t2Total[i] = t2
  }
  Operaciones(t2Total,Lambda,2,1000)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(1000,rate=1/Lambda)
    t3 = (t[1]+t[2]+t[3]+t[4])/4
    t3Total[i] = t3
  }
  Operaciones(t3Total,Lambda,3,1000)
  
  for(i in 1:TotalSimulacion){
    t = rexp(1000,rate=1/Lambda)
    t4 = (min(t[1],t[2],t[3],t[4]) + max(t[1],t[2],t[3],t[4]))/2
    t4Total[i] = t4
  }
    boxplot(t1Total,t2Total,t3Total,t4Total, horizontal = FALSE,col =c("grey","red","green","orange"), main = "Diagrama de Cajas para Muestra de 1000")

  
  Operaciones(t4Total,Lambda,4,1000)
}   
muestra1000(L)
## [1] "------------ Muestra 1000 Estimador  1 -----------"
## [1] "Sesgo:  5.15134259850027"
## [1] "Consistencia:  5.30726611342471"
## [1] "Eficiencia:  33.3945507539844"
## [1] "------------ Muestra 1000 Estimador  2 -----------"
## [1] "Sesgo:  -2.06269205266006"
## [1] "Consistencia:  0.850939700821393"
## [1] "Eficiencia:  36.2889243600518"
## [1] "------------ Muestra 1000 Estimador  3 -----------"
## [1] "Sesgo:  -0.113896158501073"
## [1] "Consistencia:  0.00259446698426032"
## [1] "Eficiencia:  6.50559649197652"

## [1] "------------ Muestra 1000 Estimador  4 -----------"
## [1] "Sesgo:  -1.65594678798297"
## [1] "Consistencia:  0.548431952926226"
## [1] "Eficiencia:  12.3415564260576"

CONCLUSIONES

En todos los casos se utilizo un parametro de valor igual a 5 y en todos se observo sesgo, Los valores de la consistencia no son iguales o cercanos en muchos casos al valor del parametro que se ingreso y por esta razon se puede concluir que su varianza no tendio a 0. Se puede concluir que el estimador sera mas preciso cuando su cantidad de datos a evaluar sea mas grande como muestra.

Utilizando la muestra de 50 se obtuvieron los siguientes datos en el sesgo: -3.36672555714147,2.3329333489811 y -2.58612496558332. en la consistencia con la muestra de 50 se obtuvieron los siguiente resultados: 2.26696819542191,1.08851560215763, 2.53448661388778.

Con muestra de 100 se obtuvieron los siguientes resultados en el sesgo:2.76535686268008,10.9785886649244,1.44388109058689,3.0239362522603. Se puede concluir que sus estimadores no son insesgados y su consistencia fueron de: 1.52943971559437,24.105881814721,0.416958520750875 y 1.82883809154681

Con muestra de 1000 se obtuvieron los siguientes datos en el sesgo:-0.25390276541599,11.9797408358785,4.63357475697307,-0.830191089876711 se obtuvo una eficiencia de: 177.180374991018,6.6358378812825,27.4039455766344,11.9336592159449 y con una consistencia de: 0.0128933228571775,28.7028380989628,4.29400300569161,0.137843449142136