INTRODUCCION

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗2,X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5)

Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones?

Nota

Las muestras bootstrap se pueden obtener a partir de muestreo aleatorio con repetición (o tambien llamado con sustitución)
funciones recomendadas : sample() , apply(), quantile()
Problema tomado de Navidi(2006)

DESARROLLO

Generamos una muestra a partir de los datos de eficiencia de consumo de los 7 camiones.

x=c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) 
set.seed(418)
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)   
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)    
mx=apply(b,1,mean)

Método 1

Utilizamos la funcion quantile para extraer los percentiles P2.5 y P97.5.

ic1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975))
ic1

##     2.5%    97.5% 
## 4.694286 6.524536

Método 2

Utilizamos la funcion quantile para extraer los percentiles P2.5 y P97.5. y la funcion mean para el promedio

ic2=c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1])
ic2

##    97.5%     2.5% 
## 4.563716 6.393966

Analisis de resultados

Generamos otras 1000 muestra aleatoria y verificamos si su media se encontraba dentro de los intervalos calculados a partir de la muestra anterior

set.seed(184)
resultadosic1 <- character(1000)
resultadosic2 <- character(1000)
mediaevalu<-numeric(1000)

for (i in 1:1000) {
  evalu <- sample(x, 7, replace = TRUE)
  mediaevalu[i] <- mean(evalu)

  if (mediaevalu[i] >= ic1[1] && mediaevalu[i] <= ic1[2]) {
    resultadosic1[i] <- "SI"
  } else {
    resultadosic1[i] <- "NO"
  }

  if (mediaevalu[i] >= ic2[1] && mediaevalu[i] <= ic2[2]) {
    resultadosic2[i] <- "SI"
  } else {
    resultadosic2[i] <- "NO"
  }
}

resultados <- data.frame(
  Evalu = mediaevalu,
  Metodo1 = resultadosic1,
  Metodo2 = resultadosic2
)

#resultados

conteoSImetodo1 <- sum(resultados$Metodo1 == "SI")
conteoSImetodo2 <- sum(resultados$Metodo2 == "SI")
conteoNOmetodo1 <- sum(resultados$Metodo1 == "NO")
conteoNOmetodo2 <- sum(resultados$Metodo2 == "NO")

cat("Numero de repeticiones dentro del Metodo 1:", conteoSImetodo1, "\n")

## Numero de repeticiones dentro del Metodo 1: 975

cat("Numero de repeticiones dentro del Metodo 2:", conteoSImetodo2, "\n")

## Numero de repeticiones dentro del Metodo 2: 969

cat("Numero de repeticiones fuera del Metodo 1:", conteoNOmetodo1, "\n")

## Numero de repeticiones fuera del Metodo 1: 25

cat("Numero de repeticiones fuera del Metodo 2:", conteoNOmetodo2, "\n")

## Numero de repeticiones fuera del Metodo 2: 31

Podemos observar:

Para el Método 1, que tiene un intervalo de confianza de (4.694286, 6.524536), se puede observar que de las 1000 repeticiones de la segunda muestra, 975 de ellas están dentro de este intervalo. Esto sugiere que el Método 1 es bastante confiable en términos de precisión.
Para el Método 2, que tiene un intervalo de confianza de (4.563716, 6.393966), 969 de las 1000 repeticiones de las segunda muestra caen dentro de este intervalo, aunque ligeramente menos preciso que el Método 1, el Método 2 sigue siendo bastante confiable en la estimación del valor promedio poblacional.

CONCLUSIÓN

hist(mediaevalu, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="#034A94")
abline(v=ic1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=ic2, col="#0EB0C6",lwd=2)
abline(v=mean(mediaevalu), col="red", lwd=2) 

legend("topright", legend = c("Metodo 1", "Metodo 2", "Media"), 
       col = c("#FF7F00", "#0EB0C6", "red"), lty = c(1, 1, 1))

summary(mediaevalu)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.477   5.213   5.529   5.534   5.826   7.140

Los intervalos de confianza se utilizan para estimar un parámetro desconocido de una población a partir de una muestra de datos, en lugar de proporcionar una única estimación puntual del parámetro, los intervalos de confianza ofrecen un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre el verdadero valor del parámetro con cierto nivel de confianza.

En este caso:

Construimos los intervalos de confianza a partir de una muestra, se evidencia que ambos métodos de construcción de intervalos de confianza producen intervalos similares y cercanos entre sí, lo que sugiere que son consistentes en la estimación del parámetro.
Calculamos y evaluamos una segunda muestra, se encontró que tanto el Método 1 como el Método 2 son bastante confiables en términos de precisión. Ambos métodos tienen una alta proporción de repeticiones dentro de los intervalos de confianza definido con el primer muestreo.

Estos resultados son útiles y confiables en el sentido de que brindan una estimación razonable del parámetro en cuestión (la media de la eficiencia de combustible) con un nivel de confianza mayor al 95%, como se identifica en el grafico, la media y la mayoria de los datos del segundo muestreo se situa dentro de los limites del primer muestreo de ambos metodos. En conclusion, ambos métodos son consistentes y confiables en la estimación del valor promedio.

TALLER 2