Problema 4

Estimación boostrap

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 %. Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2 , regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1, X2 Xn, conformando la muestra bootstrap. Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5.Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5)
Método 2 (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Cargar los datos

datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

Estimación del intervalo de confianza por el método 1

k <- 1000
media <- mean(datos)
intervalo <- quantile(replicate(k, mean(sample(datos, size=length(datos), replace=TRUE))), c(0.025, 0.975))

Estimación del intervalo de confianza por el método 2

intervalo2 <- 2*media - quantile(replicate(k, mean(sample(datos, size=length(datos), replace=TRUE))), c(0.975, 0.025))

Imprimir el resultado en una tabla

print(data.frame(
  método = c("1", "2"),
  límite_inferior = intervalo,
  límite_superior = intervalo2
))

##       método límite_inferior límite_superior
## 2.5%       1        4.725607        4.526750
## 97.5%      2        6.460000        6.363143

Conclusiones

Como se puede ver, ambos métodos proporcionan intervalos de confianza muy similares, con un ancho de 1.7 millas/galón (en promedio).

Estos resultados indican que la media de la eficiencia de combustible de la población de camiones se encuentra entre 4.7 y 6.4 millas/galón, con un 95% de confianza.

El intervalo de confianza es bastante amplio, lo que indica que hay una gran variabilidad en los datos.

Ambos métodos proporcionan intervalos de confianza muy similares, lo que sugiere que la elección del método no tiene un impacto significativo en los resultados.

El intervalo de confianza incluye el valor de la media muestral, lo que indica que es un valor razonable para estimar la media de la población.