PROBLEMA 4 - ESTIMACIÓN BOOTSTRAP

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos. El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 %

  • Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i¯, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5. Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1: (P2.5;P97.5)

Método 2: (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

Construya el intervalo de confianza por los dos métodos y compare los resultados obtenidos. Comente los resultados. Confiaría en estas estimaciones

1. Construcción de Matriz y cálculo de medias:

Primero genero la matriz con los datos entregados en el ejercicio y por medio de la metodología bootstrap, genero una muestra de 1000 filas a las cuales les calculo su media:

x <- c( 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) # datos muestra
boot<- sample(x,1000,replace=TRUE)   # se extraen n x m muestras
b <- matrix(boot,nrow=1000,ncol=7, byrow =TRUE)    # se construye matriz de n x m 
mx<- apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila

2. Intervalo de confianza por Método 1

Teniendo la matriz creada, aplicamos el método 1: (P2.5;P97.5)

ic1 <- quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975)) # se calcula IC método 1
cat("Con una confianza del 95%, el verdadero valor de la media del consumo de gasolina en millas / galón estaría contenida entre estos valores:  ", ic1)
## Con una confianza del 95%, el verdadero valor de la media del consumo de gasolina en millas / galón estaría contenida entre estos valores:   4.725607 6.450107

En este método encontramos que los valores hallados en el IC contienen el valor de la media.

3. Intervalo de confianza por Método 2

Ahora aplicamos el método 2: (2X¯−P97.5;2X¯−P2.5)

ic2<- c(2*mean(mx)-ic1[2], 2*mean(mx)-ic1[1]) # se calcula IC método 2
cat("Con una confianza del 95%, el verdadero valor de la media del consumo de gasolina en millas / galón estaría contenida entre estos valores:  ", ic2)
## Con una confianza del 95%, el verdadero valor de la media del consumo de gasolina en millas / galón estaría contenida entre estos valores:   4.626913 6.351413

Con el método 2 obtenemos diferentes resultados comparados con el método 1, no obstante, también contiene el valor de la media.

4. Histograma

hist(mx, las=1, main="Distribución de medias con IC calculados por método 1 y 2 ", ylab = " ", xlab = "Medias", col="#039483")
abline(v=ic1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=ic2, col="#c714a3",lwd=2)
legend("topright", legend = c("IC Método 1", "IC Método 2"), col = c("#FF7F00", "#c714a3"), lwd = 2)

Podemos observar en el histograma, por su forma, se observa un poco sesgada a la derecha, la media se centra al rededor de 5,5 millas / galón. Debemos tener en cuenta que a mayor muestra, los datos se van acercando más a la distribución normal.

Con el método 1, los intervalos están más hacia la derecha y con el método 2, más hacia la izquierda, sin embbargo, las diferencias parecen pequeñas y ambos contienen el valor de la media.

5. Confiaría en estos resultados?

Según la literatura, el método bootstrap es una gran herramienta para estimar los IC en poblaciones que no se distribuyen de forma normal.

Si se cumple el supuesto de que la muestra es representativa de la población y que un tamaño de muestra más grande nos lleva a resultados de intervalo de confianza más precisos, en este caso, con una muestra de 1000 medias, esperaríamos que estos valores en realidad contengan el valor real de las medias de consumo de combustible de los camiones estudiados.

Con estos supuestos cumplidos, yo sí confiaría en estos resultados.