4. Problema 4 - Estimación de boostrap

Cuando se extrae una muestra de una población que no es normal y se requiere estimar un intervalo de confianza se pueden utilizar los métodos de estimación bootstrap. Esta metodología supone que se puede reconstruir la población objeto de estudio mediante un muestreo con reemplazo de la muestra que se tiene. Existen varias versiones del método. Una presentación básica del método se describe a continuación:

El artículo de In-use Emissions from Heavy Duty Dissel Vehicles (J.Yanowitz, 2001) presenta las mediciones de eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de siete camiones. Los datos obtenidos son los siguientes: 7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24 y 4.45. Se supone que es una muestra aleatoria de camiones y que se desea construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de la eficiencia de combustible de esta población. No se tiene información de la distribución de los datos.

El método bootstrap permite construir intervalos de confianza del 95 % - Para ilustrar el método suponga que coloca los valores de la muestra en una caja y extrae uno al azar. Este correspondería al primer valor de la muestra bootstrap X∗1. Después de anotado el valor se regresa X∗1 a la caja y se extrae el valor X∗2, regresandolo nuevamente. Este procedimiento se repite hasta completar una muestra de tamaño n, X∗1,X∗2,X∗2,X∗n, conformando la muestra bootstrap.

Es necesario extraer un gran número de muestras (suponga k = 1000). Para cada una de las muestra bootstrap obtenidas se calcula la media X∗i, obteniéndose un valor para cada muestra. El intervalo de confianza queda conformado por los percentiles P2.5 y P97.5

Existen dos métodos para estimarlo:

Método 1 (P2.5;P97.5) Método 2 (2X−P97.5;2X−P2.5)

x=c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45) 
# Se obtienen nxm muestras
boot=sample(x,7000,replace=TRUE)  
# Se construye una matriz nxm
b=matrix(boot,nrow=1000,ncol=7)   
mx=apply(b,1,mean)                 # se calculan m medias por fila

Método 1

me1=quantile(mx, probs=c(0.025, 0.975))
me1
##     2.5%    97.5% 
## 4.732857 6.454429

El intervalo de confianza obtenido por el método 1 que no tiene en cuenta las medias, esta definido por 4.721429 representando el 2.5% y el 6.444929 representando el 97.5%.

Método 2

me2=c(2*mean(mx)-me1[2], 2*mean(mx)-me1[1])
me2
##    97.5%     2.5% 
## 4.567337 6.288909

El intervalo de confianza obtenido por el método 2 que si tiene en cuenta las medias, esta definido por 4.659091 representando el 97.5% y el 6.382591 representando el 2.5%.

hist(mx, las=1, main=" ", ylab = " ", xlab = " ", col="#034A94")
abline(v=me1, col="#FF7F00",lwd=2)
abline(v=me2, col="#0EB0C6",lwd=2)

La distribución de bootstrap, representa una aproximación de la verdadera distribución del estadístico en la población. Sin embargo, la muestra debe ser representativa de su población. En la eficiencia del combustible en millas/galón la estimación de los intervalos de confianza que da mayor confiabilidad es el segundo método porqué este corrige el primero y tiene en cuenta los promedios.