Propiedades de un experimento binomial

1. El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos.

2. En cada intento o ensayo son posibles dos resultados. A uno le llamaremos éxito y al otro fracaso.

3. La probabilidad de un éxito, representada por p, no cambia de un intento o ensayo a otro. En consecuencia, la probabilidad de un fracaso , representado por 1-p, no cambia de un intento a otro.

4. Los intentos o ensayos son independientes.

Función de Probabilidad binomial

\[f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {n\choose k} p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n\] Con Esperanza: \[E(X)= np\] Varianza: \[ \qquad V(X)= np(1-p)\]

Ejemplos en Rstudio

  1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de \(0.05\). Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:
  1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?

\[P(X= 2) = {10\choose 2} (0,05)^2\, (1-0,05)^{10-2} = \]

Calculos en Rstudio

unidades<-10
x<-2
p<-0.05
dbinom(x, size=unidades, prob = p) #genera la probabilidad de que el número sea exactamente o igual a...
## [1] 0.0746348

*Respuesta: La probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas es del \(7.46\%\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?
unidades<-10
x<-0
p<-0.05
1-pbinom(x, size=unidades, prob = p)# genera la probabilidad de que el número sea mayor que...
## [1] 0.4012631

R// La probabilidad de que por lo menos una sea defectuosa es del\(40.1\%\)…

Ejercicios en clase

  1. Un jugador encesta con 55% de probabilidad, calcula la probabilidad de que de 12 tiros enceste:
  1. exactamente 3.
p=0.55
n=12
x=3
 dbinom(x,n,p)*100 #exctamente 3
## [1] 2.76964

R/ la probalidad encestar en exctamente 3 tiros es de 2.76%

  1. Por lo mucho 4.
p=0.55
n=12
x=4
pbinom(x,n,p)*100 #por lo mucho 4
## [1] 11.174

R/la probalidad encestar en por lo mucho 4 tiros es de 11.17%%

  1. al menos 2.
p=0.55
n=12
x=1
pbinom(x,n,p)*100 #al menos 2
## [1] 0.1080256

R/ la probalidad encestar en al menos 2 tiros es de 0.10%

  1. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.40, si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad, a.¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez?
p=0.40
n=15
x=9
a=pbinom(x,n,p)*100 #al menos 10
100-a
## [1] 3.38333

R/ la probalidad que sobrevivan al menos 10 es de es de 3.38% b.¿Cuál es la probabilidad de que menos de 4?

p=0.40
n=15
x=3
pbinom(x,n,p)*100 #menos de 4
## [1] 9.05019

R/ la probalidad que sobrevivan menos de 4 es de 9.05% c. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?

p=0.40
n=15
x=5
pbinom(x,n,p)*100 #exctamente 5
## [1] 40.32156

R/ la probalidad que sobrevivan exctamente 5 es del 40.32%