Distribución Binomial

Propiedades de un experimento binomial

1. El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos.

2. En cada intento o ensayo son posibles dos resultados. A uno le llamaremos éxito y al otro fracaso.

3. La probabilidad de un éxito, representada por p, no cambia de un intento o ensayo a otro. En consecuencia, la probabilidad de un fracaso , representado por 1-p, no cambia de un intento a otro.

4. Los intentos o ensayos son independientes.

Función de Probabilidad binomial

\[f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {n\choose k} p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n\] Con Esperanza: \[E(X)= np\] Varianza: \[ \qquad V(X)= np(1-p)\]

Ejemplos en Rstudio

1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de \(0.05\). Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:

1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?

\[P(X= 2) = {10\choose 2} (0,05)^2\, (1-0,05)^{10-2} = \]

Calculos en Rstudio

unidades<-10
x<-2
p<-0.05
dbinom(x, size=unidades, prob = p) #genera la probabilidad de que el número sea exactamente o igual a...

## [1] 0.0746348

*Respuesta: La probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas es del \(7.46\%\)

2. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

unidades<-10
x<-0
p<-0.05
1-pbinom(x, size=unidades, prob = p)# genera la probabilidad de que el número sea mayor que...

## [1] 0.4012631

R// La probabilidad de que por lo menos una sea defectuosa es del\(40.1\%\)…

Ejercicios en clase

1. Un jugador encesta con 55% de probabilidad, calcula la probabilidad de que de 12 tiros enceste:

1. exactamente 3.

n = 12
p = 0.55
x = 3
dbinom(x,n,p)*100

## [1] 2.76964

La probabilidad de que de 12 tiros enceste exactamente 3 es de 2.76%

2. Por lo mucho 4.

n = 12
p = 0.55
x = 4
a =pbinom(x,n,p)
a

## [1] 0.11174

3. al menos 2.

n = 12
p = 0.55
x = 1
a =pbinom(x,n,p)
1-a

## [1] 0.9989197

2. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.40, si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad, a.¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez?

n = 15
p = 0.4
x = 9
a = pbinom(x,n,p)*100
a

## [1] 96.61667

La probabilidad de que sobrevivan al menos 10 es de 96.61%

b.¿Cuál es la probabilidad de que menos de 4?

n = 15
p = 0.4
x=3
a = pbinom(x,n,p)*100
a

## [1] 9.05019

La probabilidad de que menos de 4 sobrevivan es de 9.05%%

3. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?

n = 15
p = 0.4
x = 5
dbinom(x,n,p)*100

## [1] 18.59378

la probabilidad de que sobrevivan exactamente 5 es de 18.59%