Problema 4: Estimación boostrap

Para llevar a cabo la estimación boostrap propuesta en el problema 4 de la actividad 2, se parte desde los datos obtenidos por J.Yanowitz (2001) del artículo In-use Emissions form Heavy Duty Dissel Vehicles, que corresponden siete medicionesde eficiencia de combustible en millas/galón de una muestra de igual número de camiones. Los datos son:

datos <- c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45)

Para realizar el boostrap, en este caso se harán 1.000 muestras con repetición de la muestra de camiones dada:

n <- 1000

k <- 1000
media <- numeric(k)
set.seed(123)

for (i in 1:k) {
  muestra <- sample(datos, n, replace = TRUE)
  media[i]<-mean(muestra)
}

Con lo anterior, se plantea un intervalo de confianzal del 95% para el valor de la media usando los dos métodos planteados en el ejercicio, de la siguiente manera:

# Estimación del intervalo de confianza para la media con metodo 1

metod_1 <- quantile(media, probs = c(0.025, 0.975))
metod_1
##     2.5%    97.5% 
## 5.465842 5.605874

Con el método 1, el intervalo de confianza es (5.465842 ; 5.605874)

# Estimación del intervalo de confianza para la media con metodo 2
metod_2.1 <- (2*mean(media) - quantile(media, probs = 0.975))
metod_2.2 <- (2*mean(media) - quantile(media, probs = 0.025))

mean(media)
## [1] 5.534006
metod_2.1; metod_2.2 
##    97.5% 
## 5.462139
##    2.5% 
## 5.60217

Con el método 2, el intervalo de confianza es (5.462139 ; 5.60217)

Como se puede observar, el resultado obtenido con ambos métodos dan intervalos de confianza casi identicos, ya que en los dos casos, con un 95% de confianza se estima que el valor promedio de eficiencia de combustible está entre 5.46 millas/galón y 5.60 millas/galón. Cabe resaltar que el ancho del intervalo de confianza es reducido en ambos casos.

Plus

Como adicional a lo solicitado en el problema 4, quiero presentar los resultados de la estimación boostrap para la muestra de la eficiencia de combustible en los 7 camiones aplicando la librería “bbot”, que permite, por medio de boostrap, calcular una estimación para cualquier parámetro. En este caso se estimará la media, percentil 2.5 y percentil 97.5.

## Estimación de la media usando la librería boot

library(boot)
set.seed(123)
stat_fun <- function(x, idx) mean(x[idx])
boot_obj <- boot(datos, R=1000, statistic = stat_fun)
boot_obj
## 
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
## 
## 
## Call:
## boot(data = datos, statistic = stat_fun, R = 1000)
## 
## 
## Bootstrap Statistics :
##     original       bias    std. error
## t1* 5.534286 -0.005201429   0.4494611
## Estimación de los percentiles 2.5 y 97.5 usando la librería boot

library(boot)
set.seed(123)
stat_fun_sup <- function(x, idx) quantile(x[idx], probs = 0.975)
boot_obj_sup <- boot(datos, R=1000, statistic = stat_fun_sup)

stat_fun_inf <- function(x, idx) quantile(x[idx], probs = 0.025)
boot_obj_inf <- boot(datos, R=1000, statistic = stat_fun_inf)
boot_obj_sup
## 
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
## 
## 
## Call:
## boot(data = datos, statistic = stat_fun_sup, R = 1000)
## 
## 
## Bootstrap Statistics :
##     original     bias    std. error
## t1*     7.51 -0.3876395   0.6607383
boot_obj_inf
## 
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
## 
## 
## Call:
## boot(data = datos, statistic = stat_fun_inf, R = 1000)
## 
## 
## Bootstrap Statistics :
##     original   bias    std. error
## t1*   4.3565 0.056417   0.1104248

Usando la librería boot, la estimación de la eficiencia promedio de combustible es de 5.534286 millas/galón. Por otra parte, con el método 1 del intervalo de confianza para la media y la librería boot, con un nivel de confianza del 95%, la media está entre (4.36 ; 7.51).

A modo de comparación entre la librería boot y el calculo manual del intervalo de confianza, nos damos cuenta que el intervalo propuesto es más amplio con la librería y tiene en cuenta algunos valores extremos de la muestra inicial.