Problema 3: Teorema del Límite Central

Punto a.

Inicialmente, se plantea el ejercicio de simulación de un lote de 1.000 plantas, de las cuales el \(50\%\) se encuentran enfermas

## Punto a 
lote = 1000 # Lote
p = 0.5 # Proporción de plantas enfermas
set.seed(1995) ## Se fija la semilla
m <- rbinom(lote, 1, p) # simulamos 1000 registros donde 1 es planta enferma y 0 planta sana
sum(m>0.5) ## Cuantas plantas son enfermas? 
## [1] 500

Punto b.

De las 1.000 plantas, se requiere obtener una muestra para calcular una estimación \(\widehat{p}\) que corresponde a la proporción de plantas enfermas en la muestra, para esto, asumiremos el valor del tamaño de la muestra como n=100 y crearemos unafunción que permita obtener la muestra.

set.seed(199)
gen_muestra <- function(n) {
  muestra <- sample(m, n, replace=FALSE) ## obtener una muestra de tamaño n
  p = sum(muestra>0.5)/n
  return(p)
}

gen_muestra(100)
## [1] 0.44

Con la función anterior, obtenemos que en una muestra de 100 plantas, el \(44\%\) están enfermas.

Punto c.

El escenario anterior, se repite 500 veces. Para esto, se crea la función “multiple_muestra” que permite simular el muestreo k veces y obtener k estimaciones de la proporción de plantas enfermas:

p_estimado <- numeric(500)
set.seed(123)

multiple_muestra <- function(n, k) {
  for (i in 1:k) {
    p_estimado[i] <- gen_muestra(n)
  }
  return(p_estimado)
}
  
n<-100
k<-500
p_mue = multiple_muestra(n,k)
hist(p_mue, prob = TRUE, freq = FALSE, main = "Histogram para estimación de p con k=500 y n=100",
     xlab = 'Proporción de plantas enfermas', ylim = c(0,10))
line = mean(p_mue)
abline(v=line, col="green", lwd=3)
lines(density(p_mue), col = 'red', lwd = 1)

boxplot(p_mue, main='Boxplot para p_estimado')
abline(h=0.5, col="red")

mean(p_mue)
## [1] 0.49848
var(p_mue) 
## [1] 0.00247504

Se analizan los resultados en cuanto a la asimetría, sesgo y variabilidad, obteniendo como resultado que \(\widehat{p}\) es un estimador insesgado ya que \(E[\widehat{p}] - p = 0\) siendo que \(E[\widehat{p}]\) es 0.49848 y \(p=0.5\); además, el estimador es eficiente por que tiene poca varianza y el valor de la mediana es igual al valor de la media.

Tambien se presenta el histograma para las estimaciones de las 500 \(\widehat{p}\), donde se evidencia un comportamiento similar a una distribución normal y se tiene mayor concentración cercano al promedio.

Se realiza la prueba de bondad de ajuste y pruebas gráficas a través de qqnorm, obteniendo como resultado que no se rechaza la hipotesis nula con un nivel de confianza del \(95\%\), es decir, la distribución de \(\widehat{p}\) con k=500 es normal. Esta hipotesis se confirma con el gráfico qqnorm, en el que podemos observar que la mayor parte de las estimaciones de \(\widehat{p}\) se distribuyen normal.

## prueba de bondad de ajuste
shapiro.test(p_mue)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.99461, p-value = 0.07644
## métodos gráficos
qqnorm(p_mue); qqline(p_mue, col='red')

Punto d.

t <- c(5,10,15,20,30,60,100,200,500)
k<-500

for (i in 1:length(t)) {
  p_mue = multiple_muestra(t[i],k)
  qqnorm(p_mue, main = paste('n=', t[i])); qqline(p_mue, col='red')
  print(shapiro.test(p_mue))
}

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.92139, p-value = 1.734e-15

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.95991, p-value = 2.002e-10

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.97316, p-value = 6.137e-08

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.98041, p-value = 2.912e-06

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.98722, p-value = 0.0002278

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.98939, p-value = 0.00111

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.99301, p-value = 0.01993

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.99641, p-value = 0.3257

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  p_mue
## W = 0.99592, p-value = 0.2232

Se puede concluir que en tamaño de muestras n=5,10,15,20,30 y n=60 se rechaza la hipotesis nula de la prueba de bondad de ajuste, es decir, la estimación de la proporción de plantas enfermas no se distribuye normal, no obstante, cuando el tamaño de la muestra es de n=100, n=200 y n=500, no se rechaza la hipotesis nula, concluyendo que a medida que se incrementa el número de muestras, la proporción de plantas enfermas tiende a distribuirse normal. Esto tambien se puede apreciar con los métodos gráficos, donde a medida que se aumenta el tamaño de las muestras, la distribución se asemeja más a una normal.