Problema 2: Propiedades de los estimadores.

Para este problema, se presentan 4 estimadores de \(\theta\) cuya distribución es exponencial con parametro desconocido y una muestra de n=4, el objetivo es evaluar las propiedades de los estimadores (insesgadez, eficiencia y consistencia).

Para dar solución al problema 2, inicialmente se supone el valor de \(\theta = 0.5\) y se evaluan las propiedades de los cuatro estimadores:

set.seed(1995) # semilla
lambda <- 0.5 # Parámetro lambda
n <- 4 # Tamaño de muestra
m = 1000*n #Número de replicas del experimento 
x <- matrix(rexp(m, rate=lambda), ncol = n) # matriz de datos m x n

Ahora, se construye la función “estimacion” que se alimenta de un parámetro k, que representa el número de iteraciones que se hará, para determinar las propiedades de los estimadores. El problema plante que se debe evaluar los estimadores con 20, 50, 100 y 1000 muestras de la matriz x construida previamente.

estimacion <- function(k){
  T1 <- numeric(k)
  T2 <- numeric(k)
  T3 <- numeric(k)
  T4 <- numeric(k)
  xk = x[1:k,]
  for (i in 1:k) {
    T1[i] <- ((xk[i,1] + xk[i,2])/6) + ((xk[i,3] + xk[i,4])/3)
    T2[i] <- (xk[i,1]+2*xk[i,2]+3*xk[i,3]+4*xk[i,4])/5
    T3[i] <- (xk[i,1]+xk[i,2]+xk[i,3]+xk[i,4])/4
    Min=min(xk[i,1],xk[i,2],xk[i,3],xk[i,4])
    Max=max(xk[i,1],xk[i,2],xk[i,3],xk[i,4])
    T4[i] <- (Min + Max)/2
  }
  T1234 <- data.frame(T1,T2,T3,T4)
  return(T1234)
}

Se procede a aplicar la función con el número de iteraciones k=20, k=50, k=100 y k=1000

n=20

n20 = estimacion(20)
boxplot(n20, main='Comparación estimadores con n=20')
abline(h=2, col="red")

apply(n20, 2 ,mean) # Valores de las medias
##       T1       T2       T3       T4 
## 2.166125 4.268398 2.027660 2.511003
apply(n20, 2 ,sd) # Valores de las desviaciones estandar
##        T1        T2        T3        T4 
## 0.8230669 1.6932283 0.7281404 1.0908138

Gráficamente, se puede evidenciar que el estimador \(\widehat{\theta}_2\) tiene mayor variabilidad y toma los valores más altos (incluso la mediana duplica la esperanza de \(\theta\)). \(\widehat{\theta}_1\) y \(\widehat{\theta}_3\) tienen un comportamiento similar, sin embargo este último presenta menor variación y la esperanza del estimador tiende al valor de \(\theta = 2\), por lo tanto se puede concluir que este estimador es insesgado, además de presentar la mínima varianza entre los 4, por lo tanto tambien es eficiente. El estimador \(\widehat{\theta}_4\) tiene sesgo.

n=50

n50 = estimacion(50)
boxplot(n50, main='Comparación estimadores con n=50')
abline(h=2, col="red")

apply(n50, 2 ,mean) # Valores de las medias
##       T1       T2       T3       T4 
## 2.008464 3.977240 1.947749 2.368734
apply(n50, 2 ,sd) # Valores de las desviaciones estandar
##        T1        T2        T3        T4 
## 0.8978497 1.8611222 0.7810538 1.0376570

Con tamaño de muestra n=50, los estimadores \(\widehat{\theta}_1\) y \(\widehat{\theta}_3\) son insesgados, ya que la esperanza de ellos menos \(\theta = 2\) es casi cero, además en este último la desviación estandar es mínima, por lo tanto mantienen la propiedad de eficiencia y como podemos ver, a medida que se aumenta el tamaño de muestra la esperanza del estimador tiende al valor del estimador, por lo tanto tambien cumplen la consistencia.

n=100

nx = estimacion(100)
boxplot(nx, main='Comparación estimadores con n=100')
abline(h=2, col="red")

apply(nx, 2 ,mean) # Valores de las medias
##       T1       T2       T3       T4 
## 1.958785 3.865906 1.945738 2.328688
apply(nx, 2 ,sd) # Valores de las desviaciones estandar
##        T1        T2        T3        T4 
## 0.9964552 2.0353709 0.9112021 1.1465312

n=1000

nx = estimacion(1000)
boxplot(nx, main='Comparación estimadores con n=1000')
abline(h=2, col="red")

apply(nx, 2 ,mean) # Valores de las medias
##       T1       T2       T3       T4 
## 2.017585 4.049874 2.011093 2.346896
apply(nx, 2 ,sd) # Valores de las desviaciones estandar
##        T1        T2        T3        T4 
## 1.0463203 2.2004680 0.9899776 1.2694004

Con n=100 y n=1000 se puede apreciar que el comportamiento de los estimadores es muy similar a lo obtenido con n=50, es decir, los estimadores \(\widehat{\theta}_1\) y \(\widehat{\theta}_3\) son insesgados y eficientes, ya que el sesgo es casi cero y tienen menor desviación y por lo tanto menor varianza; sin embargo, este último estimador tiene los mejores resultados. En cuanto a \(\widehat{\theta}_2\), se puede evidenciar que es el estimador con mayor varianza y la media muestral duplica el valor del parámetro, por lo que es un estimador sesgado. El estimador \(\widehat{\theta}_4\) presenta sesgo ya que la diferencia entre la esperanza del estimador y el valor real es diferente de cero, además presenta mayor desviación de los 4 estimadores, por lo tanto no cumple ninguna de las propiedades.

Finalmente, se puede concluir que \(\widehat{\theta}_1\) y \(\widehat{\theta}_3\) son estimadores insesgados y de menor varianza, además cumplen con la consistencia ya que a medida que se aumenta el tamaño de la muestra, estos estimadores tienden a acercarse al valor real. Si solo se debe escoger un estimador, el mejor es \(\widehat{\theta}_3\), ya que es insesgado, tiene desviación mínima y es consistente.