Soal No 1

Vektor rataan dan kovarian

x_bar = c(4.64, 45.4, 9.96)

S = matrix(c(2.88, 10.01, -1.81,
                 10.01, 199.79, -5.64,
                 -1.81, -5.64, 3.63), ncol=3)

miu_0 = c(4, 50, 10)

Uji \(T^2\) Hoteling satu populasi

\[H_{0}:\mu_{0}=\begin{bmatrix} 4\\ 50\\ 10 \end{bmatrix}\]

\[H_{1}:\mu_{0}\neq \begin{bmatrix} 4\\ 50\\ 10 \end{bmatrix}\]

Mencari \(S^-1\)

S.inv = solve(S); S.inv
##             [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.58606819 -0.022082652  0.257916605
## [2,] -0.02208265  0.006066921 -0.001584619
## [3,]  0.25791660 -0.001584619  0.401623087

Mencari \(T^2\)

n = 20
p = 3

# Misalkan d = (x_bar - miu_0)
d = x_bar - miu_0

# Mencari T.square
T.square = n*t(d)%*%S.inv%*%d; T.square
##          [,1]
## [1,] 9.706127

Mencari \(c^2\)

F.tab = 2.44 #diketahui dari soal
c.square = (n-1)*p/(n-p)*F.tab; c.square
## [1] 8.181176

Kesimpulan : Tolak \(H_0\) pada taraf nyata 10% karena \(T^2\) > \(c^2\)
Artinya : Dengan tingkat kepercayaan 90%, dapat disimpulkan bahwa minimal ada salah satu wainta dengan rata-rata kadar gula, garam, dan potasium yang tidak sama dengan 4, 50, atau 10.

Soal No 2

Menghitung vektor rataan dan matriks covarians

X = matrix(c(6,10,8,9,6,3), nrow=3, ncol=2)
X
##      [,1] [,2]
## [1,]    6    9
## [2,]   10    6
## [3,]    8    3
xbar = apply(X[,1:2], 2, mean)
xbar
## [1] 8 6
cov_m = cov(X[,1:2])
cov_m
##      [,1] [,2]
## [1,]    4   -3
## [2,]   -3    9

Uji \(T^2\) Hotelling Satu Populasi

\[H_{0}:\mu_{0}=\begin{bmatrix} 9\\ 5 \end{bmatrix}\]

\[H_{1}:\mu_{0}\neq \begin{bmatrix} 9\\ 5 \end{bmatrix}\]

Dengan Package “MVTEsts”

library(MVTests)
## 
## Attaching package: 'MVTests'
## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     iris
mean0 = c(9,5)
result = OneSampleHT2(X[,1:2],mu0=mean0,alpha=0.1)
summary(result)
##        One Sample Hotelling T Square Test 
## 
## Hotelling T Sqaure Statistic = 0.7777778 
##  F value = 0.194 , df1 = 2 , df2 = 1 , p-value: 0.849 
## 
##                    Descriptive Statistics
## 
##       [,1] [,2]
## N        3    3
## Means    8    6
## Sd       2    3
## 
## 
##                  Detection important variable(s)
## 
##        Lower    Upper Mu0 Important Variables?
## 1  -8.248077 24.24808   9                FALSE
## 2 -18.372115 30.37212   5                FALSE

Dengan Package “ICSNP”

library(ICSNP)
## Loading required package: mvtnorm
## Loading required package: ICS
test = HotellingsT2(X[,1:2],mu=mean0,test="f")
print(test)
## 
##  Hotelling's one sample T2-test
## 
## data:  X[, 1:2]
## T.2 = 0.19444, df1 = 2, df2 = 1, p-value = 0.8485
## alternative hypothesis: true location is not equal to c(9,5)

Kesimpulan : Tidak tolak \(H_0\) pada taraf nyata 10% karena \(p-value = 0.8845 > alpha = 0.1\)
Artinya : Dengan tingkat kepercayaan 90%, dapat disimpulkan bahwa belum cukup bukti untuk mengatakan minimal ada salah satu dari data sampel acak berukuran \(n=3\) yang memiliki rata-rata tidak sama dengan 9 atau 5.