Redacción del problema

La simulación ayuda a entender y validar las propiedades de los estimadores estadísticos como son. insesgadez, eficiencia y la consistencia principalmente. El siguiente problema permite evidenciar las principales características de un grupo de estimadores propuestos para la estimación de un parámetro asociado a un modelo de probabilidad.

Sean X1, X2, X3 y X4, una muestra aleatoria de tamaño n=4 cuya población la conforma una distribución exponencial con parámetro θ desconocido. Determine las características de cada uno de los siguientes estimadores propuestos:

θ1ˆ=(X1+X2)/6+(X3+X4)/3
θ2ˆ=(X1+2X2+3X3+4X4)/5
θ3ˆ=(X1+X2+X3+X4)/4
θ4ˆ=(min{X1,X2,X3,X4}+max{X1,X2,X3,X4})/2
- RESULTADOS INSESGADEZ Y EFICIENCIA

A continuación, se presentan la evaluación de las propiedades: INSESGADEZ y EFICIENCIA para una muestra de tamaño n= 4, 20, 50, 100 y 1000. Lo anterior, se realiza para los 4 estimadores detallados en la sección anterior:

NOTA:

-La presentación de la información, se realiza por medio de la tabulación de la información, del valor que adquiere cada propiedad, a partir de la formulación indicada para cada estimador y la muestra aleatoria que se genera.

Además, se agregan cuatro columnas, donde se presenta el valor que adquiere cada estimador:

# Cargar librería
suppressWarnings(library(dplyr))

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(ggplot2)

# Definición de función para cálculo estimadores
calcular_estimadores <- function(muestra) {
  n <- length(muestra)
  estimador_1 <- (muestra[1] + muestra[2]) / 6 + (muestra[3] + muestra[4]) / 3
  estimador_2 <- (muestra[1] + 2 * muestra[2] + 3 * muestra[3] + 4 * muestra[4]) / 5
  estimador_3 <- (muestra[1] + muestra[2] + muestra[3] + muestra[4]) / 4
  estimador_4 <- (min(muestra) + max(muestra)) / 2
  return(c(estimador_1, estimador_2, estimador_3, estimador_4))
}

# Definición de función para evaluación de propiedades
evaluar_propiedades <- function(estimados, parametro_verdadero) {
  insesgadez <- mean(estimados) - parametro_verdadero
  eficiencia <- var(estimados)
  return(c(insesgadez, eficiencia))
}

# Definición del Parámetro θ
parametro_verdadero <- 8

# Crear un data frame para almacenar resultados
resultados <- data.frame(n = numeric(0), Insesgadez = numeric(0), Eficiencia = numeric(0),
                          Estimador1 = numeric(0), Estimador2 = numeric(0), Estimador3 = numeric(0), Estimador4 = numeric(0))

# Generar muestras y calcular estimadores
muestras <- c(4, 20, 50, 100, 1000)

for (n in muestras) {
  muestras_exponenciales <- matrix(rexp(n, rate = 1 / parametro_verdadero), ncol = n)
  estimados <- apply(muestras_exponenciales, 1, calcular_estimadores)
  insesg_efic_cons <- evaluar_propiedades(estimados, parametro_verdadero)
  resultados <- bind_rows(resultados, data.frame(n = n, Insesgadez = insesg_efic_cons[1], Eficiencia = insesg_efic_cons[2],
                                                  Estimador1 = estimados[1], Estimador2 = estimados[2],
                                                  Estimador3 = estimados[3], Estimador4 = estimados[4]))
}

# Mostrar resultados
print(resultados)

##      n Insesgadez Eficiencia Estimador1 Estimador2 Estimador3 Estimador4
## 1    4  10.826425   70.56397  16.118911   31.23574  15.261557   12.68949
## 2   20   3.605695   33.06882   8.372654   19.67375   6.741584   11.63479
## 3   50   5.451794   37.28595  10.014228   21.87387   8.071036   13.84804
## 4  100   5.458701   58.17900   7.523681   14.84424   7.763376   23.70351
## 5 1000   7.990625  157.11899   8.205079   15.13417   6.661228   33.96202

Análisis de las propiedades Insesgadez y Efiencia

Nota: La ejecución del código genera valores aleatorios, por lo que se establece, de caracter general, las conclusiones del análisis por propiedad evaluada.

La insesgadez, como propiedad clave de estimadores en estadística, se puede concluir con la definición de si la tendencia de comportamiento de un estimador, es parcial o no. En relación con la eficiencia, se puede indicar que mide el nivel de dispersión de las estimaciones.
Por lo tanto, en relación con la insesgadez, si se observa valores positivos, se puede entender que el estimador, tiene a sobreestimar el parámetro definido (θ=8). Si es negativo,a subestimar este parámetro.
Por último, en cuanto a la eficiencia, entre menor varianza, se considera más preciso el estimador.
- A continuación, se presenta el diagrama de caja para el valor que asumen los estimadores para todos los valores de muestras señalados:

# c) Graficar boxplots para cada estimador
boxplot(resultados[,4:7], col = c("red", "green", "blue", "purple"), main = "Gráfico de cajas de los estimadores")
legend("topright", legend = c("Estimador 1", "Estimador 2", "Estimador 3", "Estimador 4"), col = c("red", "green", "blue", "purple"), lty = 1, cex = 0.8)

RESULTADOS CONSISTENCIA

La propiedad de consistencia, es fundamental en el análisis de estimadores, ya que se refiere al comportamiento de un estimador a medida que el tamaño de la muestra aumenta. Por lo tanto, se considera consistente, si a medida que aumenta, el valor de este, converge al parámetro θ definido (8).

# Crear un gráfico de línea para observar el comportamiento de los estimadores
ggplot(resultados, aes(x = n)) +
  geom_line(aes(y = Estimador1, color = "Estimador 1")) +
  geom_line(aes(y = Estimador2, color = "Estimador 2")) +
  geom_line(aes(y = Estimador3, color = "Estimador 3")) +
  geom_line(aes(y = Estimador4, color = "Estimador 4")) +
  geom_hline(aes(yintercept = parametro_verdadero, linetype = "Parámetro Verdadero"), color = "black", size = 1) +
  labs(title = "Comportamiento de los Estimadores a Medida que Aumenta n", x = "Tamaño de Muestra (n)", y = "Valor del Estimador") +
  scale_color_manual(values = c("Estimador 1" = "red", "Estimador 2" = "green", "Estimador 3" = "blue", "Estimador 4" = "purple")) +
  theme_minimal()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

* - Análisis de la propiedad CONSISTENCIA

Nota: La ejecución del código genera valores aleatorios, por lo que se establece, de caracter general, que el comportamiento del estimador que se visualice por medio de la gráfica, como el valor más cercano al parámetro θ definido (8), a medida que aumenta n, es el más consistente.

Por último, y teniendo en cuenta que la consistencia se refiere a la propiedad de que un estimador se acerque al valor verdadero del parámetro definido, a medida que el tamaño de la muestra aumenta, se concluye que un estimador se puede considerar más preciso, en la medida que se obtenga mayor cantidad de datos a evaluar como muestra.

Problema 2

Propiedades de los estimadores

Jonathan Andres Lafaurie Suarez

Septiembre de 2023

Redacción del problema