Definição de sinais e sistemas

Sinal é uma função de uma ou mais variáveis que transmite informações sobre algum fenômeno. Em geral, a variável independente é representada pelo tempo (t). Exemplos: sinais de fala, sinais de áudio, sinais de vídeo, imagens, sinais de radar, sinais biomédicos, séries temporais etc.

Sistema indica o processo de transformação de sinais, que pode incluir o preprocessamento, a extração, o aprimoramento, o armazenamento e a transmissão de informações úteis.

Dentre as diversas ferramentas matemáticas desenvolvidas para o processamento de sinais, tomamos como exemplo a convolução, que comentamos a seguir.

Convolução

A convolução é uma operação matemática, no domínio do tempo, utilizada para alterar sinais de acordo com a resposta ao impulso do sistema, também definida formalmente como uma operação entre duas funções que retorna como resultado uma terceira função.44 A convolução de f e g é denotada por
f * g.

Para sistemas lineares invariantes no tempo, a decomposição de um sinal em uma soma de impulsos unitários é dada pela equação:55 x[n] representa um sinal de tempo discreto e o impulso unitário é descrito matematicamente pela função delta de Dirac. \[x[n] =\sum_{k = {-\infty}}^{+\infty}{({x[k]}\delta[n - k]}\]

Considerando que a resposta ao impulso unitário discreto no tempo é a própria equação do sistema66 A equação do sistema é dada por h[n]., o sinal de saída é determinado pela equação: \[y[n] =\sum_{k = {-\infty}}^{+\infty}{({x[k]}h[n - k]}\]

O somatório de convolução, utilizado na análise de sinais e sistemas em tempo discreto, definido como a operação matemática entre o sinal de entrada e a resposta ao impulso do sistema, é representado pela equação:77 Ressaltamos que a convolução, representada pelo sinal diacrítico ‘asterisco’, é uma operação matemática diferente da multiplicação. Andrew J. Reader, professor do King’s College de Londres, detalha o tema nesse vídeo. \[x[n] * h[n] =\sum_{k = {-\infty}}^{+\infty}{({x[k]}h[n - k]}\]

logo, \[ y[n] = x[k] * h[n].\]

Representação gráfica do sistema

Definimos a função h:

h = [1 zeros(1,20) 0.5 zeros(1,10)];
figure; stem(h,'b', 'LineWidth', 2);
title('Resposta ao impulso')
xlabel('t');
ylabel('Amplitude');
print("fig1.png")

Representação gráfica do sinal de entrada

Definimos a entrada x:

x = [0 1:10 ones(1,5)*5 zeros(1,10)];
figure;
stem(x,'b', 'LineWidth', 2);
title('Entrada x')
xlabel('t');
ylabel('Amplitude');
print("fig2.png")

Representação gráfica da saída do sistema

Realizamos a convolução88 O comando conv tem a seguinte sintaxe: c = conv(a, b, shape), onde a, b são os argumentos de entrada e shape o formato ou forma da convolução. Por padrão, quando ausente, shape recebe o argumento “full”, que retorna a convolução completa. Outros dois parâmetros são: “same”, que retorna a parte central da convolução, e a opção “valid”, realiza a convolução de dois sinais de entrada somente quando eles se sobrepõem completamente. da resposta ao impulso h com a entrada x e usamos o comando subplot para mostrar a resposta ao impulso, a entrada e a saída:

% Declaramos as variáveis
h = [1 zeros(1,20) 0.5 zeros(1,10)];
x = [0 1:10 ones(1,5)*5 zeros(1,10)];
% Realizamos a operação de convolução
y = conv(x, h);

% Definimos o tamanho dos vetores
nh = 0:length(h)-1;
nx = 0:length(x)-1;
ny = 0:length(y)-1;

subplot(3,1,1)
stem(nx, x, 'marker','none','LineWidth',1)
title('x(t)');
ylabel('x');
xlabel('t');

subplot(3,1,2)
stem(nh, h,'marker','none', 'LineWidth',1)
title('h(t)');
ylabel('h');
xlabel('t');

subplot(3,1,3)
stem(ny, y, 'marker','none','LineWidth',1)
title('y(t)');
ylabel('y');
xlabel('t');

print("fig3.png")

Considerações finais

Além da possibilidade de execução de scripts de outras linguagens no RStudio, através do pacote knitr, a ferramenta R Markdown permite a geração de relatórios e documentos em diferentes formatos de saída - html ou pdf, por exemplo - nos mais variados modelos e estilos.

Referências: