Al modelo ARIMA se le pueden hacer varias modificaciones para tener en cuenta el comportamiento estacional y no estacionario. A menudo, la dependencia del pasado tiende a ocurrir con más fuerza en múltiplos de algunos rezagos estacionales \(s\)
Los datos económicos mensuales, hay una fuerte componente anual que ocurre en rezagos que son múltiplos de \(s = 12\), debido a las fuertes conexiones de toda la actividad con el año calendario.
Es apropiado introducir polinomios de media móvil y autorregresivos. que se identifican con los rezagos estacionales. El autorregresivo estacional puro resultante modelo de promedio móvil, \(ARMA (P, Q)_s\),
\[ \Phi_{P}\left(B^{s}\right) x_{t}=\Theta_{Q}\left(B^{s}\right) w_{t} \]
Donde \[ \Phi_{P}\left(B^{s}\right)=1-\Phi_{1} B^{s}-\Phi_{2} B^{2 s}-\cdots-\Phi_{P} B^{P s} \] y \[ \Theta_{Q}\left(B^{s}\right)=1+\Theta_{1} B^{s}+\Theta_{2} B^{2 s}+\cdots+\Theta_{Q} B^{Q s} \]
son los operador autorregresivos estacional y de media móvil estacional de órdenes \(P\) y \(Q\), respectivamente, con período estacional \(s\).
Ejemplo:
Una Serie de medias móviles autorregresivas estacionales de primer orden podrían escribirse como:
\[\left(1-\Phi B^{12}\right) x_{t}=\left(1+\Theta B^{12}\right) w_{t}\] o \[x_{t}=\Phi x_{t-12}+w_{t}+\Theta w_{t-12}\]
Definición: El modelo autorregresivo estacional multiplicativo integrado de media móvil, o modelo SARIMA, de Box y Jenkins (1970) es dado por
\[\Phi_{P}\left(B^{s}\right) \phi(B) \nabla_{s}^{D} \nabla^{d} x_{t}=\alpha+\Theta_{Q}\left(B^{s}\right) \theta(B) w_{t}\]
donde \(w_t\) es el proceso habitual de ruido blanco. El modelo general se denota como \(ARIMA (p, d, q) × (P, D, Q)_s\).
Las componentes autorregresivas y de media móvil ordinarias están representados por polinomios \(\phi(B)\) y \(\theta(B)\) de ordenes \(p\) y \(q\), respectivamente.
Las componentes autorregresivo y de medias moviles estacional \(\Phi(B)\) y \(\Theta(B)\)
Las diferencias ordinarias y estacionales son respectivamente \(\nabla^{d}=(1-B)^d\) y \(\nabla_{s}^{D}=(1-B^s)^D\)
Ejemplo:
El modelo \(SARIMA(0, 1, 1) × (0, 1, 1)_{12}\) se representa como:
\[\left(1-B^{12}\right)(1-B) x_{t}=\left(1+\Theta B^{12}\right)(1+\theta B) w_{t}\]
Tempdup
Temperatura promedio mensual (en grados Fahrenheit) registrada en Dubuque 1/1964 - 12/1975
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library(rio)
tempdub <-rio::import("https://github.com/Wilsonsr/Series-de-Tiempo/raw/main/bases/tempdub.dat")## tempdub
## 1 24.7
## 2 25.7
## 3 30.6
## 4 47.5
## 5 62.9
## 6 68.5Formato serie de tiempo
## Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1964 24.7 25.7 30.6 47.5 62.9 68.5 73.7 67.9 61.1 48.5 39.6 20.0
## 1965 16.1 19.1 24.2 45.4 61.3 66.5 72.1 68.4 60.2 50.9 37.4 31.1
## 1966 10.4 21.6 37.4 44.7 53.2 68.0 73.7 68.2 60.7 50.2 37.2 24.6
## 1967 21.5 14.7 35.0 48.3 54.0 68.2 69.6 65.7 60.8 49.1 33.2 26.0
## 1968 19.1 20.6 40.2 50.0 55.3 67.7 70.7 70.3 60.6 50.7 35.8 20.7
## 1969 14.0 24.1 29.4 46.6 58.6 62.2 72.1 71.7 61.9 47.6 34.2 20.4
## 1970 8.4 19.0 31.4 48.7 61.6 68.1 72.2 70.6 62.5 52.7 36.7 23.8
## 1971 11.2 20.0 29.6 47.7 55.8 73.2 68.0 67.1 64.9 57.1 37.6 27.7
## 1972 13.4 17.2 30.8 43.7 62.3 66.4 70.2 71.6 62.1 46.0 32.7 17.3
## 1973 22.5 25.7 42.3 45.2 55.5 68.9 72.3 72.3 62.5 55.6 38.0 20.4
## 1974 17.6 20.5 34.2 49.2 54.8 63.8 74.0 67.1 57.7 50.8 36.8 25.5
## 1975 20.4 19.6 24.6 41.3 61.8 68.5 72.0 71.1 57.3 52.5 40.6 26.2## tempdub
## Min. : 8.40
## 1st Qu.:27.32
## Median :48.60
## Mean :46.27
## 3rd Qu.:63.12
## Max. :74.00## Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1965 -8.6 -6.6 -6.4 -2.1 -1.6 -2.0 -1.6 0.5 -0.9 2.4 -2.2 11.1
## 1966 -5.7 2.5 13.2 -0.7 -8.1 1.5 1.6 -0.2 0.5 -0.7 -0.2 -6.5
## 1967 11.1 -6.9 -2.4 3.6 0.8 0.2 -4.1 -2.5 0.1 -1.1 -4.0 1.4
## 1968 -2.4 5.9 5.2 1.7 1.3 -0.5 1.1 4.6 -0.2 1.6 2.6 -5.3
## 1969 -5.1 3.5 -10.8 -3.4 3.3 -5.5 1.4 1.4 1.3 -3.1 -1.6 -0.3
## 1970 -5.6 -5.1 2.0 2.1 3.0 5.9 0.1 -1.1 0.6 5.1 2.5 3.4
## 1971 2.8 1.0 -1.8 -1.0 -5.8 5.1 -4.2 -3.5 2.4 4.4 0.9 3.9
## 1972 2.2 -2.8 1.2 -4.0 6.5 -6.8 2.2 4.5 -2.8 -11.1 -4.9 -10.4
## 1973 9.1 8.5 11.5 1.5 -6.8 2.5 2.1 0.7 0.4 9.6 5.3 3.1
## 1974 -4.9 -5.2 -8.1 4.0 -0.7 -5.1 1.7 -5.2 -4.8 -4.8 -1.2 5.1
## 1975 2.8 -0.9 -9.6 -7.9 7.0 4.7 -2.0 4.0 -0.4 1.7 3.8 0.7
Identificación
par(mfrow=c(3,3))
plot(z1,type="o")
acf(z1, lag.max=40)
pacf(z1, lag.max=40)
plot(diff(z1),type="o")
abline(h=2*sqrt(var(diff(z1))),col="red",lty=2)
abline(h=-2*sqrt(var(diff(z1))),col="red",lty=2)
acf(diff(z1), lag.max=40)
pacf(diff(z1), lag.max=40)
plot(diff(z1,12),type="o")
acf(diff(z1,12), lag.max=40)
pacf(diff(z1,12), lag.max=40)
## Warning in adf.test(z1): p-value smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: z1
## Dickey-Fuller = -11.077, Lag order = 5, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary## Warning in adf.test(diff(z1)): p-value smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: diff(z1)
## Dickey-Fuller = -10.856, Lag order = 5, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationaryTest DF sobre la serie desestacionalizada
##
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression none
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -11.8377 -2.5662 0.5987 2.5522 10.8391
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -1.64348 0.36600 -4.490 1.82e-05 ***
## z.diff.lag1 0.72942 0.33382 2.185 0.03108 *
## z.diff.lag2 0.63916 0.31374 2.037 0.04412 *
## z.diff.lag3 0.61574 0.29625 2.078 0.04008 *
## z.diff.lag4 0.50539 0.27730 1.823 0.07119 .
## z.diff.lag5 0.46527 0.25846 1.800 0.07468 .
## z.diff.lag6 0.56632 0.23824 2.377 0.01924 *
## z.diff.lag7 0.52325 0.21942 2.385 0.01887 *
## z.diff.lag8 0.49019 0.19540 2.509 0.01363 *
## z.diff.lag9 0.44101 0.17154 2.571 0.01153 *
## z.diff.lag10 0.45063 0.14953 3.014 0.00323 **
## z.diff.lag11 0.32356 0.12630 2.562 0.01182 *
## z.diff.lag12 -0.11132 0.09405 -1.184 0.23925
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.263 on 106 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5952, Adjusted R-squared: 0.5456
## F-statistic: 11.99 on 13 and 106 DF, p-value: 1.379e-15
##
##
## Value of test-statistic is: -4.4904
##
## Critical values for test statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62Dickey Fuller del paquete tseries
## Warning in adf.test(diff(z1, 12)): p-value smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: diff(z1, 12)
## Dickey-Fuller = -4.9185, Lag order = 5, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationarytest phillips- perron
##
## ##################################
## # Phillips-Perron Unit Root Test #
## ##################################
##
## Test regression with intercept
##
##
## Call:
## lm(formula = y ~ y.l1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -11.0779 -3.1268 0.3738 2.7058 13.0120
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.03669 0.41033 -0.089 0.929
## y.l1 0.08989 0.08660 1.038 0.301
##
## Residual standard error: 4.695 on 129 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.008283, Adjusted R-squared: 0.000595
## F-statistic: 1.077 on 1 and 129 DF, p-value: 0.3012
##
##
## Value of test-statistic, type: Z-tau is: -10.579
##
## aux. Z statistics
## Z-tau-mu -0.0858
##
## Critical values for Z statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## critical values -3.480998 -2.883488 -2.578338Como la serie desestacionalizada es estacionaria vamos a plantear algunos modelos
par(mfrow=c(1,3))
plot(diff(z1,12),type="o")
acf(diff(z1,12), lag.max=40)
pacf(diff(z1,12), lag.max=40)
Ajuste del Modelo
modelo1<-stats::arima(z1,order=c(0,0,11),
seasonal=list(order=c(0,1,1), period=12),
fixed = c(NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA,NA))##
## Call:
## stats::arima(x = z1, order = c(0, 0, 11), seasonal = list(order = c(0, 1, 1),
## period = 12), fixed = c(NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA))
##
## Coefficients:
## ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7 ma8
## 0.0773 -0.0780 -0.0443 -0.1188 -0.0646 0.1583 -0.0557 -0.1154
## s.e. 0.0874 0.0924 0.0897 0.0916 0.0892 0.0913 0.0910 0.0897
## ma9 ma10 ma11 sma1
## -0.1283 0.0038 -0.1521 -1.0000
## s.e. 0.0891 0.1036 0.1009 0.1079
##
## sigma^2 estimated as 10.45: log likelihood = -357.83, aic = 741.66## ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6
## 1.888921e-01 2.002158e-01 3.112488e-01 9.855008e-02 2.352154e-01 4.267266e-02
## ma7 ma8 ma9 ma10 ma11 sma1
## 2.708313e-01 1.002882e-01 7.616236e-02 4.854649e-01 6.713506e-02 4.440892e-16## [1] 779.1329Diagnóstico
et<-residuals(modelo1)
x1.fit <- fitted(modelo1)
par(mfrow=c(3,2))
plot(z1,type="l",lty=2)
lines(x1.fit,type="l",col="red")
plot(scale(et),type="l",main="Residuales")
abline(h=2*sqrt(var(scale(et))),col="red",lty=2)
abline(h=-2*sqrt(var(scale(et))),col="red",lty=2)
acf(et)
pacf(et)
qqPlot(scale(et))## [1] 25 111
Test de Autocorrelacion de Ljung-Box
\(H_0: r1=r2=r3=...=rlag=0\)
\(H_a\): Al menos una es dif de cero
##
## Box-Ljung test
##
## data: et
## X-squared = 2.9849, df = 15, p-value = 0.9996
Test de Normalidad basado en Sesgo y Curtosis
\(H_0:\) Datos provienen de una Dist. Normal
\(H_a:\) Los datos no provienen de una Dist. Normal
##
## Jarque Bera Test
##
## data: et
## X-squared = 2.3646, df = 2, p-value = 0.3066Test de Aleatoriedad
\(H_0:\) Residuales exhiben un comport. de Aleatoriedad \(H_a:\) Residuales no exhiben estructura (Tendencia, o cualquier otro comportamiento predecible)
##
## Runs Test
##
## data: as.factor(sign(et))
## Standard Normal = -1.338, p-value = 0.1809
## alternative hypothesis: two.sided