Resumo

Para o nosso experimento, decidimos trabalhar com 5 tratamentos (um deles sendo o ponto médio entre os outros 4). Para isso, utilizamos 17 cartões (3 por extremidade e 5 para o ponto médio). Para mensurar a diferença entre os grupos, utilizamos técnicas abordadas em sala de aula, buscando compreender se o tempo médio apresentado por cada um dos mesmos foi diferente. É importante perceber que o experimento foi construído e executado de maneira aleatória.

Dados

tb <- read_excel("dados_walmes.xlsx", sheet = "Tabela") |>
      rename_with(tolower) %>%
      rename(altura = comprimento, trat = grupo)

# Primeiras linhas
kable(head(tb))

Visualização

Com a figura abaixo, notamos que o tratamento 5 apresentou tempos mais elevados em relação aos outros. Além disso, é visível um certo padrão de crescimento a direita.

Ajuste

Para compreender o comportamento do nosso experimento, ajustamos dois modelos, o primeiro aditivo, e o segundo multiplicativo (com interação). Após avaliar o ajuste dos dois, optamos por trabalhar com o primeiro modelo (aditivo), por conta de sua simplicidade e elevado coeficiente de determinação. Além disso, para verificar se os nossos tratamentos apresentaram diferenças significativas em suas médias, utilizamos a ANOVA, que não rejeitou a hipótese nula de que as médias entre os grupos não são diferentes.

tb_m <-
  tb |>
  group_by(trat, altura, largura) |>
  summarise(y = mean(tempo),
            s = sd(tempo),
            n = n()) |>
  ungroup()

# Modelo multiplicativo
m0 <- lm(y ~ altura * largura, data = tb_m)

# Modelo aditivo
m1 <- lm(y ~ altura + largura, data = tb_m)

anova(m0)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: y
##                Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## altura          1 0.84221 0.84221  3.0179 0.3325
## largura         1 0.15734 0.15734  0.5638 0.5900
## altura:largura  1 0.08218 0.08218  0.2945 0.6835
## Residuals       1 0.27907 0.27907

car::Anova(m0)

## Anova Table (Type II tests)
## 
## Response: y
##                 Sum Sq Df F value Pr(>F)
## altura         0.84221  1  3.0179 0.3325
## largura        0.15734  1  0.5638 0.5900
## altura:largura 0.08218  1  0.2945 0.6835
## Residuals      0.27907  1

# Teste para abandono de termo
anova(m1, m0)

## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: y ~ altura + largura
## Model 2: y ~ altura * largura
##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
## 1      2 0.36125                           
## 2      1 0.27907  1  0.082178 0.2945 0.6835

# Estimativas
summary(m1)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ altura + largura, data = tb_m)
## 
## Residuals:
##        1        2        3        4        5 
##  0.26198 -0.02468 -0.47250 -0.02573  0.26093 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)  0.06613    0.85119   0.078    0.945
## altura       0.40787    0.18889   2.159    0.163
## largura      0.39667    0.42500   0.933    0.449
## 
## Residual standard error: 0.425 on 2 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7345, Adjusted R-squared:  0.4691 
## F-statistic: 2.767 on 2 and 2 DF,  p-value: 0.2655

Superfície

Para facilitar a compreensão do gráfico apresentado na seção Visualização, traçamos um plano representando os tempos médios associados a cada tratamento. Com isso, podemos observar um padrão crescente no experimento, indicando que, se continuássemos a explorar o comportamento dos helicópteros de papel realizando novos experimentos, deveríamos nos concentrar em pares de altura e largura mais altos.

Superfície Média

Como uma alternativa ao plano do tópico anterior, trouxemos a figura abaixo, que ilustra, novamente, o padrão crescente da média.

lattice::levelplot(fit ~ altura + largura,
                   data = tb_grid, contour = TRUE)

Erro Padrão

O gráfico abaixo ilustra o erro padrão presente nas observações, que apresenta maiores valores nas extremidades, indicando que a variação da média amostral em relação à média da população nesses pontos é mais elevada.

lattice::levelplot(se.fit ~ altura + largura,
                   data = tb_grid, contour = TRUE)

Conclusão

Apesar do estudo não apresentar uma diferença significativa entre as médias dos tratamentos, o ajuste de um modelo de regressão linear aditivo e a visualização da superfície do experimento apontaram um padrão linear crescente. Isso nos levaria, caso tivéssemos a oportunidade de avaliar o tempo de queda de helicópteros de papel novamente, a trabalhar com unidades experimentais com pares de altura e largura mais elevados.