em que Y = participação dos trabalhadores e t = tempo. Com base em dados anuais relativos ao período 1949-1964, foram obtidos os seguintes resultados para a indústria de mineração:
em que os números entre parênteses são as razões t.
Existe correlação serial no modelo A? E no modelo B?
Sim, existe grande evidências de que os dois modelos existe correlação serial, como podemos observar pelo\(R^2\)que acabou sendo um pouco superestimada nos dois modelos.
O que explica a correlação serial?
Como poderíamos distinguir uma autocorrelação “pura” do viés de especificação?
Questão 12.6
Estimativa de Theil-Nagar para\(\rho\)com base na estatística d. Theil e Nagar sugeriram que, em pequenas amostras, em vez de estimar \(\rho\) como (1– d / 2), ele deve ser estimado como:
em que n = número total de observações, d = d de Durbin-Watson e k = número dos coeficientes (incluindo o intercepto) a serem estimados.
Mostre que, em grandes amostras, a estimativa de \(\rho\) é igual àquela obtida pela fórmula mais simples (1-d / 2).
Questão 12.15
Em um estudo para determinação dos preços do produto final a custos de produção no Reino Unido, foram obtidos os seguintes resultados de uma regressão com base em dados anuais relativos ao período 1951-1969:
em que PF = preços do produto final a custos de produção; W = salários e ordenados por pessoa empregada; X = produto interno bruto por pessoa empregada; M = preços das importações; \(M_{t-1}\) = preços das importações com defasagem de um ano; e \(PF_{t-1}\) = preços do produto final a custo de produção no ano anterior.
“Com 18 observações e 5 variáveis explanatórias, os valores de d inferior e superior foram de 0, 71 e de 2,06, no nível de 5%, o valor d estimado de 2,54 indica que não se registra autocorrelação positiva”. Comente.
A afirmação está correta, pois provavelmente existe grande evideências de uma autocorrelação negativa, sendo maior do que o limite superior.
Questão 12.25
Os resíduos da regressão dos salários contra a produtividade apresentados na Equação (12.5.2) foram gerados usando uma regressão contra resíduos defasados em seis períodos (AR[6]), obtendo-se os seguintes resultados:
Com base no resultado anterior, o que se pode dizer sobre a natureza da autocorrelação nos dados de salários e produtividade?
Que os dados são altamente correlacionados, depois do primeiro lag, sendo assim podemos observar que a natureza da correlação é com os períodos posteriores ao primeiro.
Se considerarmos que um processo AR(1) caracteriza a autocorrelação nos dados, deveríamos usar uma transformação de primeiras diferenças para eliminá-las? Justifique sua resposta.
Não, não seria necessário tomar uma transformação nas primeiras diferenças.
Questão 12.26
Passemos aos dados sobre a indústria do cobre da Tabela 12.7.
Estime com esses dados o seguinte modelo de regressão:
library(dplyr)banco <- gujarati::Table12_7banco[] <-sapply(banco, function(x) as.numeric(as.character(x)))names(banco)[c(3,6)] <-c("PNB", "P")banco %>% knitr::kable(caption ="Banco de dados para realizar a questão")
Banco de dados para realizar a questão
YEAR
C
PNB
I
L
P
A
1951
21.89
330.2
45.1
220.4
1491.0
19.00
1952
22.29
347.2
50.9
259.5
1504.0
19.41
1953
19.63
366.1
53.3
256.3
1438.0
20.93
1954
22.85
366.3
53.6
249.3
1551.0
21.78
1955
33.77
399.3
54.6
352.3
1646.0
23.68
1956
39.18
420.7
61.1
329.1
1349.0
26.01
1957
30.58
442.0
61.9
219.6
1224.0
27.52
1958
26.30
447.0
57.9
234.8
1382.0
26.89
1959
30.70
483.0
64.8
237.4
1553.7
26.85
1960
32.10
506.0
66.2
245.8
1296.1
27.23
1961
30.00
523.3
66.7
229.2
1365.0
25.46
1962
30.80
563.8
72.2
233.9
1492.5
23.88
1963
30.80
594.7
76.5
234.2
1634.9
22.62
1964
32.60
635.7
81.7
347.0
1561.0
23.72
1965
35.40
688.1
89.8
468.1
1509.7
24.50
1966
36.60
753.0
97.8
555.0
1195.8
24.50
1967
38.60
796.3
100.0
418.0
1321.9
24.98
1968
42.20
868.5
106.3
525.2
1545.4
25.58
1969
47.90
935.5
111.1
620.7
1499.5
27.18
1970
58.20
982.4
107.8
588.6
1469.0
28.72
1971
52.00
1063.4
109.6
444.4
2084.5
29.00
1972
51.20
1171.1
119.7
427.8
2378.5
26.67
1973
59.50
1306.6
129.8
727.1
2057.5
25.33
1974
77.30
1412.9
129.3
877.6
1352.5
34.06
1975
64.20
1528.8
117.8
556.6
1171.4
39.79
1976
69.60
1700.1
129.8
780.6
1547.6
44.49
1977
66.80
1887.2
137.1
750.7
1989.8
51.23
1978
66.50
2127.6
145.2
709.8
2023.3
54.42
1979
98.30
2628.8
152.5
935.7
1749.2
61.01
1980
101.40
2633.1
147.1
940.9
1298.5
70.87
Código
fit <-lm(log(C) ~log(I)+log(L)+log(P), data = banco)summary(fit)
Call:
lm(formula = log(C) ~ log(I) + log(L) + log(P), data = banco)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.33067 -0.08141 0.02609 0.09419 0.26012
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.7281 1.2553 -0.580 0.56691
log(I) 0.6917 0.1999 3.461 0.00187 **
log(L) 0.3533 0.1444 2.447 0.02146 *
log(P) -0.1049 0.1795 -0.585 0.56374
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.1551 on 26 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8922, Adjusted R-squared: 0.8797
F-statistic: 71.71 on 3 and 26 DF, p-value: 1.057e-12
Interpretação: Podemos observar que o modelo de regressão ajustado consegue explicar cerca de 87.97 % da variabilidade total dos dados, e que obtivemos estimativas pequenas para os erros padrões das variáveis regressoras, e que todas as variáveis regressoras, exceto a variável P foram significativas para o modelo ajustado.
Obtenha os resíduos e os resíduos padronizados da regressão e faça um gráfico. O que poderíamos dizer sobre a presença de autocorrelação nesses resíduos?
Visualização gráfica dos valores ajustados vs Resíduos
Código
new_df <-data.frame(fitted(fit), residuos, residuos_padronizados)resvsajus <- ggplot2::ggplot(new_df, ggplot2::aes(x = new_df[,1], y = new_df[,2]))+ ggplot2::geom_point()+ ggplot2::labs(x ="Valores Ajustados", y ="Resíduos")+ ggplot2::ggtitle("Gráfico de dispersão dos resíduos VS Valores Ajustados")respdvsajus <- ggplot2::ggplot(new_df, ggplot2::aes(x = new_df[,1], y = new_df[,3]))+ ggplot2::geom_point()+ ggplot2::labs(x ="Valores Ajustados", y ="Resíduos Padronizados")+ ggplot2::ggtitle("Gráfico de dispersão dos resíduos Padronizados VS Valores Ajustados")gridExtra::grid.arrange(respdvsajus, resvsajus, nrow =1, ncol =2)
Resposta: De acordo com a visualização gráfica, parece haver indicíos de autocorrelação nos resíduos.
Calcule a estatística d de Durbin-Watson e comente a natureza da autocorrelação presente nos dados.
Código
lmtest::dwtest(fit)
Durbin-Watson test
data: fit
DW = 0.64542, p-value = 8.959e-07
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
Resposta: De acordo com o resultado da estatística de Durbin-Watson, podemos analisar que o valor estimado de \(d\) foi de 0.64542, e que existe autocorrelação positiva nos resíduos, ao nível de significância de 5%.
Faça o teste das carreiras e verifique se sua resposta difere daquela dada em c.
Não sei qual teste é esse.
Como poderíamos verificar se um processo AR(p) descreve melhor a autocorrelação do que o processo AR(1)?
Um procedimento seria olhar o gráfico do ACF
Código
acf(residuos_padronizados, main ="Gráfico de Autocorrelação Parcial")
Comentário: Neste exemplo, podemos observar que o ajuste é de um AR(1) mesmo, e não de outra ordem como pode ser sugerido.
Questão 12.29
Consulte o Exemplo 7.4. Omita as variáveis \(X^2\) e \(X^3\), faça a regressão e examine os resíduos em busca de correlação “serial”. Se for encontrada a correlação serial, como você a explicaria? Quais medidas corretivas você sugere?
Questão 12.34
Utilizando os dados da Tabela 12.9, estime o modelo
\[Y_t = \beta_1 + \beta_2X_t + u_t\] em que Y = estoque e X = vendas, ambos medidos em billhões de dólares
fit2 <-lm(Estoque~Vendas, data = banco2)summary(fit2)
Call:
lm(formula = Estoque ~ Vendas, data = banco2)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-54733 -29795 -873 25538 51798
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 6.667e+04 1.090e+04 6.119 3.54e-07 ***
Vendas 1.184e+00 4.662e-02 25.396 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 31800 on 39 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.943, Adjusted R-squared: 0.9415
F-statistic: 645 on 1 and 39 DF, p-value: < 2.2e-16
Resposta: Conforme podemos analisar, o resultado do modelo ajustado, temos um \(R^2\) de 94.15%, um ótimo valor que explica a variabilidade total dos dados, temos que o modelo foi bem ajustado, como podemos analisar pelo teste t, que a variável regressora foi significativa para o modelo ajustado.
Verifique se os resíduos estimados apresentam autocorrelação positiva aplicando (i) o teste de Durbin-Watson e (ii) o teste de normalidade para grandes amostras da Equação (12.6.13).
Aplicando o teste de Durbin-Watson para verificar se existe correlação nos resíduos
Código
res_padron <-rstandard(fit2)lmtest::dwtest(fit2)
Durbin-Watson test
data: fit2
DW = 0.12555, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
Resposta: Ao nível de significância de 5% rejeitamos \(H_0\), ou seja, existe evidências estatísticas de que os resíduos são correlacionados.
Aplicando o teste de normalidade nos resíduos padronizados
Código
shapiro.test(res_padron)
Shapiro-Wilk normality test
data: res_padron
W = 0.95726, p-value = 0.126
Resposta: Ao nível de significância de 5% não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não existe evidências estatísticas de que os resíduos não estão distribuídos normalmente.
Se \(\rho\) for positivo, aplique o teste Berenblutt-Webb para testar a hipótese de que \(\rho = 1\).
Não encontrei tal teste para aplicar
Se desconfiar que a estrutura autorregressiva do erro é de ordem p, utilize o teste de Breusch-Godfrey para verificar isso. Como você escolheria a ordem de p?
Vamos observar o gráfico de autocorrelação amostral, mais conhecido como ACF
Código
acf(res_padron, main ="Gráfico de Autocorrelação Amostral")
Resposta: Podemos observar que o gráfico sugere um processo de ordem (5), sendo assim vamos realizar o teste com esse valor.
Código
lmtest::bgtest(fit2, order =5, type ="F")
Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 5
data: fit2
LM test = 39.612, df1 = 5, df2 = 34, p-value = 3.098e-13
Resposta Ao nível de significância de 5%, rejeitamos \(H_0\), ou seja, existe evidências estatísticas de que os resíduos são correlacionados.
Com base nos resultados desse teste, como transformaria os dados para eliminar autocorrelação? Mostre todos os cálculos.
Tentaria realizar uma ponderação por uma variável, como ele sugere, no caso pela variável regressora.
Repita as etapas anteriores usando o seguinte modelo:
fit3 <-lm(log(Estoque)~log(Vendas), data = banco2)summary(fit3)
Call:
lm(formula = log(Estoque) ~ log(Vendas), data = banco2)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.15361 -0.05333 0.00500 0.05881 0.17385
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.48698 0.23390 10.63 4.38e-13 ***
log(Vendas) 0.83220 0.01935 43.00 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.0804 on 39 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9793, Adjusted R-squared: 0.9788
F-statistic: 1849 on 1 and 39 DF, p-value: < 2.2e-16
Resposta: Conforme podemos analisar, o resultado do modelo ajustado, temos um \(R^2\) de 97.88%, um ótimo valor que explica a variabilidade total dos dados, temos que o modelo foi bem ajustado, como podemos analisar pelo teste t, que a variável regressora foi significativa para o modelo ajustado.
Aplicando o teste de Durbin-Watson para verificar se existe correlação nos resíduos
Código
res_padron2 <-rstandard(fit3)lmtest::dwtest(fit3)
Durbin-Watson test
data: fit3
DW = 0.22927, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
Resposta: Ao nível de significância de 5% rejeitamos \(H_0\), ou seja, existe evidências estatísticas de que os resíduos são correlacionados.
Aplicando o teste de normalidade nos resíduos padronizados
Código
shapiro.test(res_padron2)
Shapiro-Wilk normality test
data: res_padron2
W = 0.98584, p-value = 0.8817
Resposta: Ao nível de significância de 5% não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não existe evidências estatísticas de que os resíduos não estão distribuídos normalmente.
Vamos observar o gráfico de autocorrelação amostral, mais conhecido como ACF
Código
acf(res_padron2, main ="Gráfico de Autocorrelação Amostral")
Comentário: O gráfico de autocorrelação sugere que a ordem do processo é de ordem 6.
Código
lmtest::bgtest(fit3, order =6, type ="F")
Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 6
data: fit3
LM test = 19.199, df1 = 6, df2 = 33, p-value = 1.743e-09
Resposta Ao nível de significância de 5%, rejeitamos \(H_0\), ou seja, existe evidências estatísticas de que os resíduos são correlacionados.
Como decidir entre as especificações linear e log-linear? Mostre explicitamente o(s) teste(s) aplicado(s).
Comentário: Devido aos melhores resultados que foram encontrados com o modelo de elasticidade é preferível a utilização do mesmo, como podemos analisar, trazendo inclusive resultados mais interpretativos para o modelo em questão.
