Problema 1

Estimación del valor de π

La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un circuito con un área igual a π/4 , está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a este, la cual es π/4 . Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4 . De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π .

“Figura Tentativa de Dispresion”
“Figura Tentativa de Dispresion”

Solucion del problema planteado

  1. En primera instancia debemos crear una serie de coordenadas tanto en el eje X como en el Eje Y y este seria una muestra de la matriz creada:

#seteamos la cantidad de coordenadas
coordenadas = 100000
#primero creamos las coordenadas en X
CoordenadasX= runif(coordenadas,min=0,max=1) # generamos coordenadas X entre 0 y 1
CoordenadasY= runif(coordenadas,min=0,max=1) # generamos coordenadas y entre 0 y 1

#creamos un dataframe con las dos coodenadas
dataframe = data.frame(corX=CoordenadasX,corY=CoordenadasY)

Muestra = dataframe[1:10, 1:2]
Muestra
##            corX       corY
## 1  0.3183808650 0.91007051
## 2  0.0792412108 0.63595131
## 3  0.4714398207 0.04364484
## 4  0.5837078900 0.15341921
## 5  0.3118840619 0.00465588
## 6  0.6839641216 0.59576309
## 7  0.2976962207 0.19481904
## 8  0.0006773365 0.68614743
## 9  0.5625010270 0.99693421
## 10 0.7892843394 0.97692760

  1. Ahora procederemos a ver una distribución de las coordenadas en una pequeña gráfica:

#graficamos los puntos de dispercion
plot(dataframe, pch = 19, col = "black")
points(mean(dataframe$corX), mean(dataframe$corY), cex = 2, col = 'red', pch = 16)

  1. ahora procederemos a crear una función la cual nos permitirá reconocer cuantos puntos estan dentro de la distancia del circulo , esto da como resultado lo siguiente

#procederemos a carlucalr la distancia del centro con una funcion
Calculo_diferencia <- function(dataframe){
  diferencia =(dataframe$corX-0.5)^2+(dataframe$corY-0.5)^2
  
  #devolvemos la variable
   return(diferencia)
}

ConteoDentro=0
ConteoFuera=0
TotalCoordenadas=0

#llamamos a la funcion y le pasamos las coordenadas
Resultado=Calculo_diferencia(dataframe)
for (i in 1:coordenadas){
  #realizamos conteo de cuantos estan dentro del circulo
   if(Resultado[i]<=0.25)
   {
     ConteoDentro=ConteoDentro+1
   }else{
       ConteoFuera=ConteoFuera+1
       }
   TotalCoordenadas=TotalCoordenadas+1
}
## [1] "Los registros dentro de la circunferencia son 78348"
## [1] "Los registros fuera de la circunferencia son 21652"

  1. Como siguiente paso calcularemos el porcentaje de área que cubren los puntos

#buscamos el porcentraje de adentro 
porcentajeD = (ConteoDentro*100)/TotalCoordenadas
paste("porcentaje dentro de la circunferencia son",porcentajeD)
## [1] "porcentaje dentro de la circunferencia son 78.348"
#calcular el area del cirulo
area = (1*porcentajeD)/100
area
## [1] 0.78348

  1. Y como paso final obtendremos la simulación de l valor de PI

# realizamos estimacion del PI
PI= area/(0.5^2)
paste("la estimacion de PI para un caso de ",TotalCoordenadas,"es de: ",PI)
## [1] "la estimacion de PI para un caso de  1e+05 es de:  3.13392"

Resultado

Como resultados finales del proceso se obtuvieron los siguientes puntos:


  1. Cantidad de puntos dentro y fueras del área del círculo fueron:

## [1] "Los registros dentro de la circunferencia son 78348"
## [1] "Los registros fuera de la circunferencia son 21652"

  1. Se tiene como resultado de estimación de π es siguiente valor

## [1] "la estimacion de PI para un caso de  1e+05 es de:  3.13392"

Conclusion

Teniendo en cuenta todo el proceso llevado a cabo en la solución del problema podemos llegar a las siguientes conclusiones:
• Para el caso de la simulación del valor PI, se evidencia que entre mayor sea la cantidad de coordenadas creadas será mas cercano el valor de PI
• La simulación permite llegar aun valor cercano mas no exacto de PI y este puede varias de iteración a iteración debido a que las coordenadas se crean aleatoriamente
• Se considera que la simulación fue un éxito y se llegó a un valor muy cercano de PI