L’opérateur somme

Pour exprimer une somme d’éléments de façon compacte, on utilise l’opérateur somme, symbolisé par la lettre grecque majuscule “Sigma”.

Sigma \(\longrightarrow \sum\) opérateur somme . Exemple. Soit quatre valeurs d’une variable \(\mathrm{x}\), indicées par \(\mathrm{i}: \mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \mathrm{x}_3, \mathrm{x}_4\). Le produit de ces 4 valeurs est donné par l’expression : \[ \sum_{i=1}^4 x_i=x_1+x_2+x_3+x_4 \] L’expression de gauche se lit ainsi “somme des \(x_i\) pour \(i\) allant de 1 à 4”. Plus généralement, pour une somme de \(\mathrm{n}\) éléments, on écrit : \[ \sum_{i=1}^n x_i=x_1+x_2+\ldots+x_4 \] Exemple. soit le tableau de valeurs suivant. \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \mathrm{x}_{\mathrm{i}} & \mathrm{y}_{\mathrm{i}} \\ \hline 1 & 2 \\ \hline-3 & 3 \\ \hline-4 & 4 \\ \hline 2 & 5 \\ \hline \end{array} \] Calculons les expressions : \[ \sum_{i=1}^4 x_i,~~\sum_{i=1}^4 y_i,~~\sum_{i=1}^4 x_i^2,~~ \sum_{i=1}^4\left(x_i+y_i\right)~~\texttt{et}~~\sum_{i=1}^4 x_i^2 y_i. \]

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & y_i & x_i^2 & x_i+y_i & x_i^2 y_i \\ \hline 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ \hline-3 & 3 & 9 & 0 & 27 \\ \hline-4 & 4 & 16 & 0 & 64 \\ \hline 2 & 5 & 4 & 7 & 20 \\ \hline \sum_{i=1}^4 x_i=-4 & \sum_{i=1}^4 y_i=14 & \sum_{i=1}^4 x_i^2=30 & \sum_{i=1}^4\left(x_i+y_i\right)=10 & \sum_{i=1}^4 x_i^2 y_i=113 \\ \hline \end{array} \]

L’opérateur produit

Pour exprimer un produit d’élément de façon compacte, on utilise l’opérateur produit, symbolisé par : \[ \prod \] Exemple. Soit quatre valeurs d’une variable \(\mathrm{x}\), indicées par \(\mathrm{i}: \mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \mathrm{x}_3, \mathrm{x}_4\). Le produit de ces 4 valeurs est donnée par l’expression : \[ \prod_{i=1}^4 x_i=x_1 \times x_2 \times x_3 \times x_4 \] L’expression de gauche se lit ainsi “produit des \(x_i\) pour \(i\) allant de 1 à 4”. Plus généralement, pour un produit de \(n\) éléments, on écrit : \[ \prod_{i=1}^n x_i=x_1 \times x_2 \times \ldots \times x_4 \] Exemple. soit le tableau de valeurs suivant. \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x_i & y_i \\ \hline 1 & 2 \\ \hline-3 & 3 \\ \hline-4 & 4 \\ \hline 2 & 5 \\ \hline \end{array} \] Calculons les expressions : On a donc : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & y_i & x_i^2 & x_i+y_i & x_i^2 y_i \\ \hline1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ -3 & 3 & 9 & 0 & 27 \\ -4 & 4 & 16 & 0 & 64 \\ 2 & 5 & 4 & 7 & 20 \\ \hline \prod_{i=1}^4 x_i=24 & \prod_{i=1}^4 y_i=120 & \prod_{i=1}^4 y_i^2=576 & \prod_{i=1}^4\left(x_i+y_i\right)=0 & \prod_{i=1}^4 x_i^2 y_i=69120 \\ \hline \end{array} \]

Diagramme en secteurs

Les fréquences d’une variable qualitative ordinale sont représentées au moyen d’un diagramme en secteurs

Diagramme en barres des effectifs

Les effectifs d’une variable qualitative ordinale sont représentés au moyen d’un diagramme en barres

Diagramme en barres des effectifs cumulés

Les effectifs cumulés d’une variable qualitative ordinale sont représentés au moyen d’un diagramme en barres

Diagramme en bâtonnets des effectifs

Quand la variable est discrète, les effectifs sont représentés par des bâtonnets

Fonction de répartition

Les fréquences cumulées sont représentées au moyen de la fonction de répartition. Cette fonction est définie par : \[ F(x)= \begin{cases}0 &si& x<x_1 \\ F_j & si&x_j \leq x<x_{j+1} \\ 1 &si& x_{max} \leq x\end{cases} \]

Le tableau statistique

Une variable quantitative continue peut prendre une infinité de valeurs possibles. pour faire des représentations graphiques et construire le tableau statistique, il faut procéder à des regroupements en classes.

Le tableau regroupé en classe est souvent appelé distribution groupée. Si \([c^−_j; c^+_j[\) désigne la classe \(j\), on note, de manière générale :

• \(c_j^{-}\) la borne inférieure de la classe \(j\)

• \(c_j^{+}\) la borne supérieure de la classe \(j\),

• \(c_j=\left(c_j^{+}+c_j^{-}\right) / 2\) le centre de la classe \(j\),

• \(a_j=c_j^{+}-c_j^{-}\) l’amplitude de la classe \(j\),

• \(n_j\) l’effectif de la classe \(j\),

• \(N_j\) l’effectif cumulé de la classe \(j\),

• \(f_j\) la fréquence de la classe \(j\),

• \(F_j\) la fréquence cumulée de la classe \(j\).

La répartition en classes des données nécessite de définir a priori le nombre de classes \(J\) et donc l’amplitude de chaque classe. En règle générale, on choisit au moins cinq classes de même amplitude. Cependant, il existent des formules qui nous permettent d’établir le nombre de classes et l’intervalle de classe (l’amplitude) pour une série statistique de \(n\) observations.

• La règle de Sturge \(: J=1+\left(3.3 \log _{10}(n)\right)\).

• La règle de Yule : \(J=2.5 \sqrt[4]{n}\).

L’intervalle de classe est obtenue ensuite de la mani`ere suivante : longueur de l’intervalle = \((x_{max} − x_{min})/J\), oû \(x_{max}\) (resp. \(_{min}\)) désigne la plus grande (resp. la plus petite) valeur observée.

Il faut arrondir le nombre de classe J à l’entier le plus proche.

Par commodité, on peut aussi arrondir la valeur obtenue de l’intervalle de classe.

A partir de la plus petite valeur observée, on obtient les bornes de classes,en additionnant successivement l’intervalle de classe (l’amplitude).

Exemple. On mesure la taille en centimètres de 50 élèves d’une classe : \[ \begin{array}{llllllllll} 152 & 152 & 152 & 153 & 153& 154 & 154 & 154 & 155 & 155 \\ 156 & 156 & 156 & 156 & 156 &157 & 157 & 157 & 158 & 158 \\ 159 & 159 & 160 & 160 & 160 &161 & 160 & 160 & 161 & 162 \\ 162 & 162 & 163 & 164 & 164 &164 & 164 & 165 & 166 & 167 \\ 168 & 168 & 168 & 169 & 169 &170 & 171 & 171 & 171 & 171 \end{array} \] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \hline\left[c_j^{-}, c_j^{+}\right[ & n_j & N_j & f_j & F_j \\ \hline[151,5 ; 155,5[ & 10 & 10 & 0.20 & 0.20 \\ {[155,5 ; 159,5[} & 12 & 22 & 0.24 & 0.44 \\ {[159,5 ; 163,5[} & 11 & 33 & 0.22 & 0.66 \\ {[163,5 ; 167,5[} & 7 & 40 & 0.14 & 0.80 \\ {[167,5 ; 171,5[} & 10 & 50 & 0.20 & 1 \\ \hline & 50 & & 1 & \\ \hline \end{array} \]

          Eff EffCum Freq FreqCum
(151,155]  10     10 0.20    0.20
(155,159]  12     22 0.24    0.44
(159,163]  11     33 0.22    0.66
(163,167]   7     40 0.14    0.80
(167,171]  10     50 0.20    1.00

Histogramme

L’histogramme consiste à représenter les effectifs (resp. les fréquences) des classes par des rectangles contigus dont la surface (et non la hauteur) représente l’effectif (resp. la fréquence). Pour un histogramme des effectifs, la hauteur du rectangle correspondant à la classe \(j\) est donc donnée par : \[ h_j=\frac{n_j}{a_j} \] - On appelle \(h_j\) la densité d’effectif.

• L’aire de l’histogramme est égale à l’effectif total \(n\), puisque l’aire de chaque rectangle est égale à l’effectif de la classe \(j: a_j \times h_j=n_j\). Pour un histogramme des fréquences on a \[ d_j=\frac{f_j}{a_j} \]

• On appelle \(d_j\) la densité de fréquence.

• L’aire de l’histogramme est égale à 1, puisque l’aire de chaque rectangle est égale à la fréquence de la classe \(j: a_j \times d_j=f_j\).

Fonction de répartition

La fonction de répartition \(F(x)\) est une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \([0,1]\), qui est définie par \[ F(x)= \begin{cases}0 &si& x<c_1^{-} \\ F_{j-1}+\frac{f_j}{c_j^{+}-c_j^{-}}\left(x-c_j^{-}\right) &si& c_j^{-} \leq x<c_j^{+} \\ 1 &si& c_J^{+} \leq x\end{cases} \]

Le mode

Le mode est la valeur distincte correspondant à l’effectif le plus élevé ; il est noté \(x_M\).

Si on reprend la variable ‘Etat civil’ , dont le tableau statistique est le suivant : \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \hline x_j & n_j & f_j \\ \hline C & 9 & 0.45 \\ M & 7 & 0.35 \\ V & 2 & 0.10 \\ D & 2 & 0.10 \\ \hline & n=20 & 1 \\ \hline \hline \end{array} \] le mode est \(C\) : célibataire.

• Le mode peut être calculé pour tous les types de variable, quantitative et qualitative.

• Le mode n’est pas nécessairement unique.

• Quand une variable continue est découpée en classes, on peut définir une classe modale (classe correspondant à l’effectif le plus élevé).

La moyenne

La moyenne ne peut être définie que sur une variable quantitative.

La moyenne est la somme des valeurs observées divisée par leur nombre, elle est notée \(\bar{x}_n\) : \[ \bar{x}_n=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_i+\cdots+x_n}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i . \] La moyenne peut être calculée à partir des valeurs distinctes et des effectifs \[ \bar{x}_n=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^J n_j x_j . \]

Les nombres d’enfants de 8 familles sont les suivants \(0,0,1,1,1,2,3,4\). La moyenne est \[ \bar{x}_8=\frac{0+0+1+1+1+2+3+4}{8}=\frac{12}{8}=1.5 \] On peut aussi faire les calculs avec les valeurs distinctes et les effectifs. On considère le tableau : \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \hline x_j & n_j \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1 \\ \hline & 8 \\ \hline \hline \end{array} \] \[ \begin{equation} \begin{aligned} \bar{x}_8 & =\frac{2 \times 0+3 \times 1+1 \times 2+1 \times 3+1 \times 4}{8} \\ & =\frac{3+2+3+4}{8} \\ & =1.5 . \end{aligned} \end{equation} \]

Moyenne géométrique

Si \(x_i \geq 0\), on appelle moyenne géométrique la quantité \[ G=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\dfrac 1n}=\left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{\dfrac 1n} \] On peut écrire la moyenne géométrique comme l’exponentielle de la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs observées \[ G=\exp \log G=\exp \log \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\dfrac 1n}=\exp \frac{1}{n} \log \prod_{i=1}^n x_i=\exp (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log x_i). \] La moyenne géométrique s’utilise, par exemple, quand on veut calculer la moyenne de taux d’intérêt.

Exemple. Supposons que les taux d’intérêt pour 4 années consécutives soient respectivement de \(5,10,15\), et \(10 \%\). Que va-t-on obtenir après 4 ans si je place 100 DH ?

• Après 1 an on a, \(100 \times 1.05=105\) DH

• Après 2 ans on a, $100 =115.5 $DH.

• Après 3 ans on a, \(100 \times 1.05 \times 1.1 \times 1.15=132.825\) DH

• Après 4 ans on a, $100 =146.1075 $DH. Si on calcule la moyenne arithmétique des taux on obtient \[ \bar{x}=\frac{1.05+1.10+1.15+1.10}{4}=1.10 . \] Si on calcule la moyenne géométrique des taux, on obtient \[ G={(1.05 \times 1.10 \times 1.15 \times 1.10)}^{\dfrac14}=1.099431377 \] Le bon taux moyen est bien \(G\) et non \(\bar{x}\), car si on applique 4 fois le taux moyen

\(G\) aux 100 DH, on obtient \[ 100 \times G^4=100 \times 1.099431377^4=146.1075. \]

Moyenne harmonique

Si \(x_i \geq 0\), on appelle moyenne harmonique la quantité \[ H=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n \dfrac1{x_i}} \] Il est judicieux d’appliquer la moyenne harmonique sur des vitesses. Exemple. Un cycliste parcourt 4 étapes de \(100 \mathrm{~km}\). Les vitesses respectives pour ces étapes sont de \(10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Quelle a été sa vitesse moyenne?

• Un raisonnement simple nous dit qu’il a parcouru la première étape en \(10 \mathrm{~h}\), la deuxième en \(3 \mathrm{~h} 20\) la troisième en \(2 \mathrm{~h} 30\) et la quatrième en \(5 \mathrm{~h}\). Il a donc parcouru le total des \(400 \mathrm{~km}\) en \[ 10h+3 h 20+2 h 30+5 h=20 h 50=20.8333 h \] sa vitesse moyenne est donc \[ \text { Vmoy }=\frac{400}{20.8333}=19.2 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \]
• Si on calcule la moyenne arithmétique des vitesses, on obtient \[ \bar{x}=\frac{10+30+40+20}{4}=25 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \]
• Si on calcule la moyenne harmonique des vitesses, on obtient \[ H=\frac{4}{\frac{1}{10}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}+\frac{1}{20}}=19.2 \mathrm{~km} / \mathrm{h} =Vmoy. \]

Il est possible de montrer que la moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à la moyenne géométrique qui est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique \[ H \leq G \leq \bar{x} \]

Moyenne harmonique Moyenne pondérée

Dans certains cas, on n’accorde pas le même poids à toutes les observations. Par exemple, si on calcule la moyenne des notes pour un programme d’étude, on peut pondérer les notes de l’étudiant par le nombre de crédits ou par le nombre d’heures de chaque cours. Si \(w_i>0, i=1, \ldots, n\) sont les poids associés à chaque observation, alors la moyenne pondérée par \(w_i\) est définie par : \[ \bar{x}_w=\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} . \] Exemple. Supposons que les notes soient pondérées par le nombre de crédits, et que les notes de l’étudiant soient les suivantes :

La moyenne pondérée des notes par les crédits est alors \[ \bar{x}_w=\frac{6 \times 5+3 \times 4+4 \times 3+3 \times 6+4 \times 5}{6+3+4+3+4}=\frac{30+12+12+18+20}{20}=\frac{92}{20}=4.6 \text {. } \]

Quantiles

La notion de quantile d’ordre \(p\) (où \(0<p<1\) ) généralise la médiane. Formellement un quantile est donné par l’inverse de la fonction de répartition : \[ x_p=F^{-1}(p) . \] Si la fonction de répartition était continue et strictement croissante, la définition du quantile serait sans équivoque. La fonction de répartition est cependant discontinue et “par palier”. Quand la fonction de répartition est par palier, il existe au moins 9 manières différentes de définir les quantiles selon que l’on fasse ou non une interpolation de la fonction de répartition. Nous présentons une de ces méthodes, mais il ne faut pas s’étonner de voir les valeurs des quantiles différer légèrement d’un logiciel statistique à l’autre.

• Si \(n p\) est un nombre entier, alors \[ x_p=\frac{1}{2}\left\{x_{(n p)}+x_{(n p+1)}\right\} \]

• Si \(n p\) n’est pas un nombre entier. alors

• La médiane est le quantile d’ordre \(p=\dfrac12\).

• On utilise souvent

\(x_{\dfrac14}\) le premier quartile,

\(x_{\dfrac34}\) le troisième quartile,

\(x_{\dfrac{1}{10}\) le premier décile,

\(x_{\dfrac15}\) le premier quintile,

\(x_{\dfrac45}\) le quatrième quantile,

\(x_{\dfrac{9}{10}\) le neuvième décile,

\(x_{0.05}\) le cinquième percentile ,

\(x_{0.95}\) le nonante-cinquième percentile.

• Si \(F(x)\) est la fonction de répartition, alors \(F\left(x_p\right) \geq p\). Exemple. Soit la série statistique 12, 13, 15, 16, 18, 19, 22, 24, 25, 27, 28, 34 contenant 12 observations \((n=12)\).
• Le premier quartile : Comme \(n p=0.25 \times 12=3\) est un nombre entier, on a \[ x_{\frac14}=\frac{x_{(3)}+x_{(4)}}{2}=\frac{15+16}{2}=15.5 \text {. } \]
• La médiane: Comme \(n p=0.5 \times 12=6\) est un nombre entier, on a \[ x_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left\{x_{(6)}+x_{(7)}\right\}=(19+22) / 2=20.5 . \]
• Le troisième quartile : Comme \(n p=0.75 \times 12=9\) est un nombre entier, on a \[ x_{\dfrac34}=\frac{x_{(9)}+x_{(10)}}{2}=\frac{25+27}{2}=26 . \] Exemple. Soit la série statistique \(12,13,15,16,18,19,22,24,25,27\) contenant 10 observations.
• Le premier quartile: Comme \(n p=0.25 \times 10=2.5\) n’est pas un nombre entier, on a \[ x_{\dfrac14}=x_{([2.5])}=x_{(3)}=15. \]
• La médiane : Comme \(n p=0.5 \times 10=5\) est un nombre entier, on a \[ x_{\frac12}=\frac{1}{2}\left\{x_{(5)}+x_{(6)}\right\}=(18+19) / 2=18.5 . \]
• Le troisième quartile : Comme \(n p=0.75 \times 10=7.5\) n’est pas un nombre entier, on a \[ x_{\frac34}=x_{([7.57)}=x_{(8)}=24 \]

L’étendue

L’étendue est simplement la différence entre la plus grande et la plus petite valeur observée. \[ \mathrm{E}=x_{(n)}-x_{(1)} \]

La distance interquartile

La distance interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile : \[ I Q=x_{\frac34}-x_{\frac14} \]

La variance

La variance est la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par le nombre d’observations : \[ s_x^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2 \]

L’écart-type

L’écart-type est la racine carrée de la variance: \[ s_x=\sqrt{s_x^2} \] Quand on veut estimer l’écart-type d’une variable \(X\) partir d’un échantillon de taille \(n\), utilise la variance “corrigée” pour définir l’écart type \[ S_x=\sqrt{S_x^2}=s_x \sqrt{\frac{n}{n-1}} . \] La plupart des logiciels statistiques calculent \(S_x\) et non \(s_x\).

L’écart moyen absolu

L’écart moyen absolu est la somme des valeurs absolues des écarts à la moyenne divisée par le nombre d’observations : \[ e_{\text {moy }}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left|x_i-\bar{x}\right| . \]

L’écart médian absolu

L’écart médian absolu est la somme des valeurs absolues des écarts à la médiane divisée par le nombre d’observations : \[ e_{m e d}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left|x_i-x_{1 / 2}\right| . \]

Coefficient d’asymétrie de Fisher (skewness)

Le moment centré d’ordre trois est défini par \[ m_3=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^3 . \] Il peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles. L’asymétrie se mesure au moyen du coefficient d’asymétrie de Fisher \[ g_1=\frac{m_3}{s_x^3} \] où \(s_x^3\) est le cube de l’écart-type.

Coefficient d’asymétrie de Yule

Le coefficient d’asymétrie de Yule est basé sur les positions des 3 quartiles (1er quartile, médiane et troisième quartile), et est normalisé par la distance interquartile : \[ A_Y=\frac{x_{\frac34}+x_{\frac14}-2 x_{\frac12}}{x_{\frac34}-x_{\frac14}} . \]

Coefficient d’asymétrie de Pearson

Le coefficient d’asymétrie de Pearson est basé sur une comparaison de la moyenne et du mode, et est standardisé par l’écart-type : \[ A_P=\frac{\bar{x}-x_M}{s_x} \] Tous les coefficients d’asymétrie ont les mêmes propriétés, ils sont nuls si la distribution est symétrique, négatifs si la distribution est allongée à gauche, et positifs si la distribution est allongée à droite.

Paramètre d’aplatissement (kurtosis)

L’aplatissement est mesuré par le coefficient d’aplatissement de Pearson \[ \beta_2=\frac{m_4}{s_x^4} \] ou le coefficient d’aplatissement de Fisher \[ g_2=\beta_2-3=\frac{m_4}{s_x^4}-3, \] où \(m_4\) est le moment centré d’ordre 4 , et \(s_x^4\) est le carré de la variance.

• Une courbe mésokurtique si \(g_2 \approx 0\).

• Une courbe leptokurtique si \(g_2>0\). Elle est plus pointue et possède des queues plus longues.

• Une courbe platykurtique si \(g_2<0\). Elle est plus arrondie et possède des queues plus courtes.

Covariance

La covariance est une mesure statistique qui quantifie la relation linéaire entre deux variables aléatoires. Elle indique comment les variations des deux variables sont liées les unes aux autres. Plus précisément, la covariance mesure la direction et l’intensité de la relation linéaire entre les variables.

La formule de la covariance entre deux variables \(X\) et \(Y\), basée sur un échantillon, est la suivante : \[ \operatorname{Cov}(X, Y)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nx_iy_i-\bar{x}\bar{y} \] où :

• \(n\) est le nombre d’observations dans l’échantillon.
• \(x_i\) et \(y_i\) sont les valeurs observées des variables \(X\) et \(Y\) respectivement.
• \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes des variables \(X\) et \(Y\) respectivement.

La covariance peut prendre différentes valeurs :

• une covariance positive indique une relation linéaire directe, ce qui signifie que lorsque les valeurs de X augmentent, les valeurs de Y ont tendance à augmenter également, et vice versa.
• une covariance négative indique une relation linéaire inverse, ce qui signifie que lorsque les valeurs de X augmentent, les valeurs de Y ont tendance à diminuer, et vice versa.
• une covariance proche de zéro indique une absence de relation linéaire.

Corrélation

La corrélation est une mesure statistique qui quantifie la relation linéaire entre deux variables aléatoires. Contrairement à la covariance, qui est sensible à l’échelle des variables, le coefficient de corrélation normalise la mesure pour obtenir une valeur standardisée entre -1 et 1, ce qui permet une comparaison plus facile entre différentes séries de données.

Le coefficient de corrélation le plus couramment utilisé est le coefficient de corrélation de Pearson, noté par \(r\). La formule pour le coefficient de corrélation de Pearson entre deux variables \(X\) et \(Y\), basée sur un échantillon, est la suivante : \[ r=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{s_X \cdot s_Y} \] où : - \(\operatorname{Cov}(X, Y)\) est la covariance entre \(X\) et \(Y\). - \(s_X\) et \(s_Y\) sont les écarts-types des variables \(X\) et \(Y\) respectivement.

Le coefficient de corrélation de Pearson peut prendre des valeurs entre -1 et 1 :

Un coefficient de corrélation proche de 1 indique une relation linéaire positive forte, ce qui signifie que les valeurs de \(Y\) ont tendance à augmenter lorsque les valeurs de \(X\) augmentent.

Un coefficient de corrélation proche de -1 indique une relation linéaire négative forte, ce qui signifie que les valeurs de \(Y\) ont tendance à diminuer lorsque les valeurs de \(X\) augmentent.

Un coefficient de corrélation proche de zéro indique une faible relation linéaire, voire une absence de relation linéaire, entre les variables \(X\) et \(Y\). Elle mesure la relation linéaire entre les variables et ne tient pas compte d’autres types de relations.

Droite de régression

La droite de régression est une droite qui représente la relation linéaire entre deux variables. Elle est utilisée pour prédire ou estimer les valeurs d’une variable (variable dépendante) en fonction des valeurs de l’autre variable (variable indépendante).

La droite de régression est souvent obtenue à partir d’une analyse de régression linéaire, qui cherche à déterminer l’équation de la droite qui minimise les écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par la droite.

L’équation de la droite de régression linéaire est généralement exprimée sous la forme : \[ y=a+bx \] où : - \(a\) est l’ordonnée à l’origine, qui représente la valeur de \(Y\) lorsque \(X\) est égal à zéro. - \(b\) est la pente de la droite, qui représente le changement moyen de \(Y\) pour chaque unité de changement de \(X\). La droite de régression est déterminée en utilisant des méthodes d’estimation statistique pour trouver les valeurs optimales de \(a\) et \(b\) qui minimisent les écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par la droite.

Une fois que l’équation de la droite de régression est obtenue, elle peut être utilisée pour prédire ou estimer les valeurs de la variable dépendante Y pour de nouvelles valeurs de la variable indépendante \(X\). Cela permet d’effectuer des prévisions ou des estimations basées sur la relation linéaire observée entre les variables.

Il est important de noter que la droite de régression suppose une relation linéaire entre les variables, ce qui signifie que les variations de la variable dépendante sont proportionnelles aux variations de la variable indépendante. Si la relation entre les variables est non linéaire, d’autres types de modèles de régression peuvent être utilisés.

On a \[ \left\{\begin{array}{l} b=\dfrac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{s_X^2} \\ a=\bar{y}-b \bar{x} \end{array}\right. \] Remarque. La droite de régression de \(y\) en \(x\) n’est pas la même que la droite de régression de \(x\) en \(y\).

Valeurs ajustées et Résidus

Les valeurs ajustées et les résidus sont des concepts importants utilisés dans l’analyse de régression pour évaluer la qualité de l’ajustement du modèle de régression aux données observées.

Les valeurs ajustées (ou valeurs prédites) sont les valeurs de la variable dépendante estimées par le modèle de régression pour chaque observation, en utilisant les valeurs de la variable indépendante et les coefficients du modèle. Les valeurs ajustées représentent la position théorique des observations sur la droite de régression.

Les résidus, quant à eux, sont les différences entre les valeurs observées de la variable dépendante et les valeurs ajustées par le modèle. Ils représentent les erreurs ou les écarts entre les données réelles et les prédictions du modèle. Les résidus \(e_i\) sont calculés en soustrayant les valeurs ajustées \(y_i^*\) des valeurs observées \(y_i\): \[ e_i=y_i-y_i^* \] Pour chaque observation, un résidu est calculé, et l’ensemble des résidus permet d’évaluer la qualité de l’ajustement du modèle. Si le modèle de régression est bien ajusté, les résidus devraient être aléatoires, centrés autour de zéro et ne présenter aucun schéma ou tendance.

Tableau de contingence

Les données observées peuvent être regroupées sous la forme d’un tableau de contingence \[ \begin{array}{c|ccccc|c} & y_1 & \cdots & y_k & \cdots & y_K & Total \\ \hline x_1 & n_{11} & \cdots & n_{1 k} & \cdots & n_{1 K} & n_{1 .} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \\ x_j & n_{j 1} & \cdots & n_{j k} & \cdots & n_{j K} & n_{j .} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \\ x_J & n_{J 1} & \cdots & n_{J k} & \cdots & n_{J K} & n_{J .} \\ \hline Total & n_{.1} & \cdots & n_{. k} & & n_{. K} & n \end{array} \] avec - \(n_{j.}\) et \(n_{. k}\) sont appelés les effectifs marginaux, - \(n_j\). représente le nombre de fois que la modalité \(x_j\) apparaît, - \(n_{. k}\) représente le nombre de fois que la modalité \(y_k\) apparaît, - \(n_{j k}\) représente le nombre de fois que les modalités \(x_j\) et \(y_k\) apparaissent ensemble.

On a les relations \[ \begin{gathered} \sum_{j=1}^J n_{j k}=n_{. k}, \text { pour } k=1, \ldots, K, \\ \sum_{k=1}^K n_{j k}=n_{j .}, \text { pour } j=1, \ldots, J, \end{gathered} \] et \[ \sum_{j=1}^J n_{j .}=\sum_{k=1}^K n_{. k}=\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K n_{j k}=n \]

Tableau des fréquences

Le tableau de fréquences s’obtient en divisant tous les effectifs par la taille de l’échantillon : \[ \begin{array}{cl} f_{j k}=\dfrac{n_{j k}}{n}, &j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K \\ f_{j .}=\dfrac{n_{j .}}{n}, &j=1, \ldots, J, \\ f_{. k}=\dfrac{n_{. k}}{n}, &k=1, \ldots, K . \end{array} \] Le tableau des fréquences est \[ \begin{array}{c|ccccc|c} & y_1 & \cdots & y_k & \cdots & y_K & Total \\ \hline x_1 & f_{11} & \cdots & f_{1 k} & \cdots & f_{1 K} & f_{1 .} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \\ x_j & f_{j 1} & \cdots & f_{j k} & \cdots & f_{j K} & f_{j .} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \\ x_J & f_{J 1} & \cdots & f_{J k} & \cdots & f_{J K} & f_{J .} \\ \hline Total & f_{.1} & \cdots & f_{. k} & & f_{. K} & 1 \end{array} \]

Profils lignes et profils colonnes

Les profils lignes sont définis par \[ f_k^{(j)}=\frac{n_{j k}}{n_j}=\frac{f_{j k}}{f_{j .}}, k=1, \ldots, K, j=1, \ldots, J \] et les profils colonnes par \[ f_j^{(k)}=\frac{n_{j k}}{n_{. k}}=\frac{f_{j k}}{f_{. k}}, j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K . \] ##### Effectifs théoriques et khi-carré Pour mettre en évidence le lien entre des lignes et des colonnes, on construit un tableau d’effectifs théoriques qui représente la situation où les variables ne sont pas liées (indépendance). Ces effectifs théoriques sont calculés en utilisant la formule suivante : \[ n_{j k}^*=\frac{n_{j \cdot} n_{. k}}{n} . \] Les effectifs observés \(n_{j k}\) ont les mêmes marges que les effectifs théoriques \(n_{j k}^*\). Enfin, les écarts à l’indépendance sont définis par \[ e_{j k}=n_{j k}-n_{j k}^* . \] - La dépendance du tableau se mesure au moyen du khi-carré défini par \[ \chi_{o b s}^2=\sum_{k=1}^K \sum_{j=1}^J \frac{\left(n_{j k}-n_{j k}^*\right)^2}{n_{j k}^*}=\sum_{k=1}^K \sum_{j=1}^J \frac{e_{j k}^2}{n_{j k}^*} . \] - Le khi-carré peut être normalisé pour ne plus dépendre du nombre d’observations. On définit le phi-deux par : \[ \phi^2=\frac{\chi_{o b s}^2}{n} . \] Le \(\phi^2\) ne dépend plus du nombre d’observations. Il est possible de montrer que \[ \phi^2 \leq \min (J-1, K-1) . \] - Le \(V\) de Cramer est définit par \[ V=\sqrt{\frac{\phi^2}{\min (J-1, K-1)}}=\sqrt{\frac{\chi_{o b s}^2}{n \min (J-1, K-1)}} . \] - Le \(V\) de Cramer est compris entre 0 et 1. Il ne dépend ni de la taille de l’échantillon ni de la taille du tableau. Si \(V ≈ 0\), les deux variables sont indépendantes. Si \(V = 1\), il existe une relation fonctionnelle entre les variables, ce qui signifie que chaque ligne et chaque colonne du tableau de contingence ne contiennent qu’un seul effectif différent de 0 (il faut que le tableau ait le même nombre de lignes que de colonnes).

Indice de Laspeyres

L’indice de Laspeyres, est défini par \[ L(t / 0)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{0 i} p_{t i}}{\sum_{i=1}^n q_{0 i} p_{0 i}} . \] On utilise pour le calculer, les quantités \(q_{0 i}\) du temps de référence.

Exemple : prix et quantités de trois bien pendant 3 ans \[ \begin{array}{|l|cc|cc|cc|} \hline Temps & 0 & & 1 & & 2& \\ & Prix \left(p_{0 i}\right) & Quantités \left(q_{0 i}\right) & Prix \left(p_{1 i}\right) & Quantités \left(q_{1 i}\right) & Prix \left(p_{2 i}\right) & Quantités \left(q_{2 i}\right) \\ \hline Bien 1 & 100 & 14 & 150 & 10 & 200 & 8 \\ Bien 2 & 60 & 10 & 50 & 12 & 40 & 14 \\ Bien 3 & 160 & 4 & 140 & 5 & 140 & 5 \\ \hline \end{array} \] L’indice de Laspeyres peut aussi être présenté comme une moyenne pondérée des indices simples. Soient l’indice simple du bien \(i\) : \[ I_i(t / 0)=100 \times \frac{p_{t i}}{p_{0 i}} \] et le poids \(w_{0 i}\) correspondant à la recette totale du bien \(i\) au temps 0 \[ w_{0 i}=p_{0 i} q_{0 i}. \] L’indice de Laspeyres peut alors être défini comme une moyenne des indices simples pondérés par les recettes au temps 0 : \[ L(t / 0)=\frac{\sum_{i=1}^n w_{0 i} I_i(t / 0)}{\sum_{i=1}^n w_{0 i}}=\frac{\sum_{i=1}^n p_{0 i} q_{0 i} 100 \times \frac{p_{t i}}{p_{0 i}}}{\sum_{i=1}^n p_{0 i} q_{0 i}}=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{0 i} p_{t i}}{\sum_{i=1}^n p_{0 i} q_{0 i}} . \] L’indice de Laspeyres ne possède ni la propriété de circularité ni de réversibilité. L’indice de Laspeyres est facile à calculer, car seules les quantités \(q_{0 i}\) du temps

Exemple. Avec le tableau précédent, les indices de Laspeyres sont les suivants \[ \begin{aligned} & L(1 / 0)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{0 i} p_{1 i}}{\sum_{i=1}^n q_{0 i} p_{0 i}}=100 \times \frac{14 \times 150+10 \times 50+4 \times 140}{14 \times 100+10 \times 60+4 \times 160}=119.6970, \\ & L(2 / 0)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{0 i} p_{2 i}}{\sum_{i=1}^n q_{0 i} p_{0 i}}=100 \times \frac{14 \times 200+10 \times 40+4 \times 140}{14 \times 100+10 \times 60+4 \times 160}=142.4242, \\ & L(2 / 1)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{1 i} p_{2 i}}{\sum_{i=1}^n q_{1 i} p_{1 i}}=100 \times \frac{10 \times 200+12 \times 40+5 \times 140}{10 \times 150+12 \times 50+5 \times 140}=113.5714 \end{aligned} \]

Indice de Paasche

L’indice de Paasche, est défini par \[ P(t / 0)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{t i} p_{t i}}{\sum_{i=1}^n q_{t i} p_{0 i}} \] On utilise, pour le calculer, les quantités \(q_{t i}\) du temps par rapport auquel on veut calculer l’indice.

L’indice de Paasche peut aussi être présenté comme une moyenne harmonique pondérée des indices simples. Soient l’indice simple du bien \(i\) : \[ I_i(t / 0)=100 \times \frac{p_{t i}}{p_{0 i}} \] et le poids \(w_{t i}\) correspondant à la recette totale du bien \(i\) au temps \(t\) \[ w_{t i}=p_{t i} q_{t i} \] L’indice de Paasche peut alors être défini comme une moyenne harmonique des indices simples pondérés par les recettes au temps \(t\) : \[ P(t / 0)=\frac{\sum_{i=1}^n w_{t i}}{\sum_{i=1}^n w_{t i} / I_i(t / 0)}=\frac{\sum_{i=1}^n p_{t i} q_{t i}}{\sum_{i=1}^n p_{t i} q_{t i} \frac{p_{0 i}}{100 \times p_{t i}}}=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{t i} p_{t i}}{\sum_{i=1}^n q_{t i} p_{0 i}} . \] L’indice de Paasche ne possède ni la propriété de circularité ni de réversibilité. L’indice de Paasche est plus difficile à calculer que l’indice de Laspeyres, car on doit connaître les quantités pour chaque valeur de \(t\).

Exemple. Avec le tableau précédent, les indices de Laspeyres sont les suivants

\[ \begin{aligned} &P(1 / 0)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{1 i} p_{1 i}}{\sum_{i=1}^n q_{1 i} p_{0 i}}=100 \times \frac{10 \times 150+12 \times 50+5 \times 140}{10 \times 100+12 \times 60+5 \times 160}=111.1111, \\ &P(2 / 0)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{2 i} p_{2 i}}{\sum_{i=1}^n q_{2 i} p_{0 i}}=100 \times \frac{8 \times 200+14 \times 40+5 \times 140}{8 \times 100+14 \times 60+5 \times 160}=117.2131, \\ &P(2 / 1)=100 \times \frac{\sum_{i=1}^n q_{2 i} p_{2 i}}{\sum_{i=1}^n q_{2 i} p_{1 i}}=100 \times \frac{8 \times 200+14 \times 40+5 \times 140}{8 \times 150+14 \times 50+5 \times 140}=110 . \end{aligned} \] ##### L’indice de Fisher

L’indice de Laspeyres est en général plus grand que l’indice de Paasche, ce qui peut s’expliquer par le fait que l’indice de Laspeyres est une moyenne arithmétique d’indices élémentaires tandis que l’indice de Paasche est une moyenne harmonique. Nous avons vu qu’une moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à une moyenne arithmétique. Cependant ici, ce résultat est approximatif, car on n’utilise pas les mêmes poids pour calculer l’indice de Paasche \(\left(w_{t i}\right)\) et de Laspeyres \(\left(w_{0 i}\right)\).

Fisher a proposé d’utiliser un compromis entre l’indice de Paasche et de Laspeyres en calculant simplement la moyenne géométrique de ces deux indices \[ F(t / 0)=\sqrt{L(t / 0) \times P(t / 0)} \] L’avantage de l’indice de Fisher est qu’il jouit de la propriété de réversibilité. Avec les donnyes de notre exemple \[ \begin{aligned} & F(1 / 0)=\sqrt{L(1 / 0) \times P(1 / 0)}=115.3242, \\ & F(2 / 0)=\sqrt{L(2 / 0) \times P(2 / 0)}=129.2052, \\ & F(2 / 1)=\sqrt{L(2 / 1) \times P(2 / 1)}=111.7715 \end{aligned} \]

Schéma additif :

\[ \mathrm{y}=\mathrm{T}+\mathrm{S}+\mathrm{A} \] On suppose que les variations accidentelles ou résiduelles (A) sont nulles. \[ \mathrm{Y}=\mathrm{T}+\mathrm{S}, \] et \[ \mathrm{S}=\mathrm{Y}-\mathrm{T} \Rightarrow S_{i j}=Y_{i j}-M_{i j}. \] On doit estimer la tendance ou le trend \(\mathrm{T}\) en utilisant les moyennes mobiles \(M_{m i j}\).

Etape 1 : calcul des moyennes mobiles d’ordre 4 (on a 4 trimestres) \[ \mathrm{Mm}_{1 3}=\frac{1}{4}\left(\frac{y_{1 1}}{2}+\mathrm{y}_{1 2}+\mathrm{y}_{1 3}+\mathrm{y}_{1 4}+\frac{y_{2 1}}{2}p\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{118.2}{2}+129+138.9+157.1+\frac{148.6}{2}\right)=139.6 \] \[ \mathrm{Mm}_{1 4}=\frac{1}{4}\left(\frac{129}{2}+138.9+157.1+148.6+\frac{154.5}{2}\right)=146.59 \approx 146.6 \] On obtient le tableau(2) suivant : \[ \begin{array}{|c|cc|cc|cc|} \hline & 1 & & 2 & & 3 & \\ \hline 1 & 118.2 & y_{1 1} & 148.6 & y_{2 1} & 163.3 & y_{3 1} \\ \hline 2 & 129 & y_{1 2} & 154.5 & y_{2 2} & 175.3 & y_{3 2} \\ \hline 3 & 138.9 & y_{1 3} & 163 & y_{2 3} & 189.1 & y_{3 3} \\ \hline 4 & 157.1 & y_{1 4} & 184 & y_{2 4} & 217.9 & y_{3 4} \\ \hline \end{array} \] Tableau \(2\) : moyennes mobiles \(M_{m i j}\). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & & 152.8 & 174.7~~~~~~ \\ \hline 2 & & 159.2 & 182.2 ~~(c) \\ \hline 3 & 139.6~~ (a)& 164.4 & \\ \hline 4 & 146.6~~ (b)& 168.8 & \\ \hline \end{array} \] Etape 2 : on calcule les coefficients saisonniers bruts \(S_{i j}\).

On a \[ Y_{i j}=M_{m i j}+\mathrm{S}_{\mathrm{ij}} \leadsto Y_{i j}-M_{m i j}. \] On fait donc la différence entre les données brutes et les moyennes mobiles pour obtenir les coefficients saisonniers bruts \(S_{i j}\), on procède comme suit : \[ \begin{aligned} & \mathrm{S}_{1 3}=138.9-139.6=-0.7 \text { (a) } \\ & \mathrm{S}_{1 4}=157.1-146.6=1.05 \text { (b) }\\ & \mathrm{S}_{3 2}=175.3-182.2=-6.9,~~ etc \end{aligned} \] Les résultats sont donnés par le tableau (3).

Tableau 3 : les coefficients saisonniers bruts \(S_{i j}\). \[ \begin{array}{|l|cc|c|cc|} \hline & 1 & & 2 & 3& \\ \hline 1 & & & -4.2 & -11.4& \\ \hline 2 & & & -4.7 & -7 \quad & (c) \\ \hline 3 &-0.7&(a)& -1.4 & \\ \hline 4 &10.5&(b)& 15.2 & \\ \hline \end{array} \]

Etape 3 : on calcule les \(S_j\) (coefficients saisonniers définitifs) qui sont les moyennes trimestrielles des coefficients bruts \(S_{i j}\). \[ \mathrm{S}_{1}=\frac{(-4.2)+(-11.4)}{2}=-7.8. \]

\[ \mathrm{S}_{2}=\frac{(-4.7)+(-7)}{2}=-5.85 \approx-5.9 \] \[ \mathrm{S}_2=\frac{(-0.7)+(-1.4)}{2}=-1.05 \approx-1.1 \] \[ \mathrm{S}_{4}=\frac{(10.5)+(15.2)}{2}=12.85 \approx 12.9 \] En théorie, la moyenne de ces 4 coefficients doit être égale à zéro dans le modèle additif. Dans le cas contraire, on doit corriger ces coefficients et calculer les \(\grave{S}_j\) appelés coefficients saisonniers corrigés. Ici \[ \sum \mathrm{S}_{\mathrm{j}}=-1.9 \text{ et la moyenne } \frac{-1.9}{4}=-0.475 \]
On va alors soustraire \((-0.475)\) à tous les coefficients trimestriels \(\mathrm{S}_{\mathrm{j}}\).

Tableau 4 des coefficients définitifs \(\mathrm{S}_{\mathrm{j}}\) et coefficients définitifs corrigés \(S_j\) : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline TRIM & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline S_j & -7.8 & -5.9 & -1.1 & +12.9 \\ \hline \dot{S}_j & -7.3 & -5.4 & -0.6 & +13.3 \\ \hline \end{array} \] On peut alors déterminer la série corrigée des variations saisonnières ( SCVS) qui est la série désaisonnalisée demandée notée \(Y_{i j}^*\).

Etape 4 : détermination de la \(\operatorname{SCVS}\left(Y_{i j}^*\right)\) comme suit \(: Y_{i j}^*=\mathbf{Y}_{\mathrm{ij}}-\grave{S}_j\) \[ \mathrm{Y}^*{ }_{11}=118.2-(-7.3)=125.5 \] \[ \mathrm{Y}_{3 \mathrm{~N}}=217.9-(13.3)=204.6 \] Etc… on obtient le dernier tableau (5) suivant : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 125.5 & 155.9 & 170.6 \\ \hline 2 & 134.4 & 159.9 & 180.7 \\ \hline 3 & 139.5 & 163.6 & 189.7 \\ \hline 4 & 143.8 & 170.7 & 204.6 \\ \hline \end{array} \] Les chiffres de ce tableau sont obtenus en retranchant à chaque valeur \(Y_{i j}\) le coefficient correspondant : pour la \(1^{\text {ère }}\) ligne, on retranche le coefficient du \(1^{\text {èr }}\) trimestre à savoir -7.3. Pour la \(2^{\text {ème }}\) ligne, on retranche -5.4 ; la \(3^{\text {ème }}\) ligne -0.6 et pour la dernière ligne, on retranche 13.3

Schéma multiplicatif :

une entreprise a constaté l’évolution suivante de son chiffre d’affaire (C.A en \(10^6\) ) sur 4 années. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & Année 1 & Année 2 & Année 3 & Année 4 \\ \hline Trim 1 & 112.8 & 122.1 & 134.1 & 138.2 \\ \hline Trim 2 & 123.6 & 132.4 & 144.4 & 150.3 \\ \hline Trim 3 & 130.3 & 138.3 & 150.2 & 157.1 \\ \hline Trim 4 & 115.2 & 123.4 & 132.4 & 140.5 \\ \hline \end{array} \]

Le schéma étant multiplicatif, \(\mathrm{Y}=\mathrm{S}.T\). Et on suppose toujours que les variations aléatoires sont nulles \((A(t))=0)\).

Calcul des moyennes mobiles \(M_{m i j}\) : Période \(\mathrm{P}=4\) trimestres. \(Mm_{1 3}\) est centrée sur le troisième trimestre. \[ \mathrm{Mm}_{1 3}=\frac{1}{4}\left(\frac{112.8}{2}+123.6+130.3+115.2+\frac{122.1}{2}\right)=121.63 \] \[ \operatorname{Mm}_{1 4}=\frac{1}{4}\left(\frac{123.6}{2}+130.3+115.2+122.1+\frac{132.4}{2}\right)=123.9 \] \[ \mathrm{Mm}_{2 1}=\frac{1}{4}\left(\frac{130.3}{2}+115.2+122.1+132.4+\frac{138.3}{2}\right)=126 \] \[ \operatorname{Mm}_{2 2}=\frac{1}{4}\left(\frac{115.2}{2}+122.1+132.4+138.3+\frac{123.4}{2}\right)=128.02, \] etc. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant (les moyennes mobiles \(M_{m i j}\)) : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & & 126 & 136.53 & 143.63 \\ \hline 2 & & 128.02 & 139.15 & 145.51 \\ \hline 3 & 121.63 & 130.55 & 140.78 & \\ \hline 4 & 123.9 & 133.55 & 142.03 & \\ \hline \end{array} \] L’étape suivante consistera à calculer les coefficients saisonniers bruts \(\mathrm{S}_{\mathrm{ij}}\). Nous avons \[ \mathrm{Y}=\mathrm{T}.S \Longrightarrow Y_{i j}=M_{m i j} \cdot S_{i j} \] d’où \[ S_{i j}=\frac{Y_{i j}}{M m_{i j}} \] Par exemple nous avons \[ \mathrm{S}_{1 3}=\frac{130.3}{121.63}=1.07. \] Tous les autres calculs sont consignés dans suivant (les coefficients bruts saisonniers \(S_{i j}\)): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & & 0.97 & 0.98 & 0.96 \\ \hline 2 & & 1.03 & 1.04 & 1.03 \\ \hline 3 & 1.07 & 1.06 & 1.07 & \\ \hline 4 & 0.93 & 0.92 & 0.93 & \\ \hline \end{array} \] A partir de ce tableau, on détermine la moyenne trimestrielle de ces coefficients bruts et on obtient les 4 coefficients définitifs \(\mathrm{S}_{\mathrm{j}}\). \[ \mathrm{S}_{1}=\frac{0.97+0.98+0.96}{3}=0.97. \] Même chose pour les 3 autres, ce qui nous donne \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Trim & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathrm{S}_{\mathrm{j}} & 0.97 & 1.03 & 1.07 & 0.93 \\ \hline \end{array} \] On teste à quoi est égale la moyenne de ces coefficients: si elle est égale à un (schéma multiplicatif), on les garde, sinon on les corrige et on calcule les \[ S_j=\frac{S j}{\Sigma \mathrm{Sj} / 4}. \]

Dans le cas présent nous avons bien \(\sum \mathrm{S}_{\mathrm{j}}=4\), nous pouvons alors déterminer la série corrigée des variations saisonnières (SCVS) \[ Y_{i j}^*=\mathbf{Y}_{\mathrm{ij}} / \mathbf{S}_{\mathrm{j}}. \]

Par exemple \[ \mathrm{Y}^*{ }_{1 \mathrm{I}}=\mathrm{Y}_{1 \mathrm{I}} / \mathrm{S}_{\mathrm{I}}=112.8 / 0.97=116.28$ soit 116.3, \] La série CVS : \(\mathrm{Y}^* \mathrm{ij}\) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 116.3 & 125.9 & 138.24 & 142.5 \\ \hline 2 & 120 & 128.5 & 140.2 & 145.9 \\ \hline 3 & 121.8 & 129.25 & 140.4 & 146.8 \\ \hline 4 & 123.9 & 132.7 & 142.4 & 151.1 \\ \hline \end{array} \]

Pour une croissance de \(5 \%\) du chiffre d’affaire (C.A) sur la quatrième année, on peut estimer que ce \(\mathrm{CA}\) au premier trimestre de la cinquième année sera égal à : - En termes réels : \[ \mathrm{CA}=\mathrm{Y}_{4 \mathrm{I}} \times 1.05=138.2 \times 1.05=145.11 \times 10^6. \] - En termes de coefficients saisonniers : \[ \mathrm{CA}=142.5 \times 0.97=138.225 \times 10^6. \]