TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
MARIA ALEJANDRA IBARRA CALVACHE
2023-08-17
Introducción
El Teorema del Límite Central es uno de los más importantes en la inferencia estadística y habla sobre la convergencia de los estimadores como la proporción muestral a la distribución normal. Algunos autores afirman que esta aproximación es bastante buena a partir del umbral n>30.
Teorema del Limite Central
Metodos y Resultados
Se realiza una simulación en la cual genere una población de n=1000 (Lote), donde el porcentaje de individuos (supongamos plantas) enfermas es del 50%.
set.seed(123)
library(tidyverse)## Warning: package 'tidyverse' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'tibble' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'tidyr' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'readr' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'purrr' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'stringr' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'forcats' was built under R version 4.1.3## Warning: package 'lubridate' was built under R version 4.1.3## -- Attaching core tidyverse packages ------------------------ tidyverse 2.0.0 --
## v dplyr 1.1.2 v readr 2.1.4
## v forcats 1.0.0 v stringr 1.5.0
## v ggplot2 3.4.2 v tibble 3.2.1
## v lubridate 1.9.2 v tidyr 1.3.0
## v purrr 1.0.1
## -- Conflicts ------------------------------------------ tidyverse_conflicts() --
## x dplyr::filter() masks stats::filter()
## x dplyr::lag() masks stats::lag()
## i Use the ]8;;http://conflicted.r-lib.org/conflicted package]8;; to force all conflicts to become errorslibrary(moments)## Warning: package 'moments' was built under R version 4.1.3GeneracionPoblacion = function(Tamaño = 1000, Enfermos = 0.5, Sanos = 0.5) {
E = round(Tamaño * Enfermos, 0)
S = round(Tamaño * Sanos, 0)
Poblacion = c(rep("Enfermo", E), rep("Sana",S))
print(paste("Lote Generado de tamaño: ", Tamaño, " Enfermos: ",E,"Sanos: ",S))
return(Poblacion)
}
Lote = GeneracionPoblacion(Tamaño = 1000, Enfermos = 0.5, Sanos = 0.5)## [1] "Lote Generado de tamaño: 1000 Enfermos: 500 Sanos: 500"Se genera una función que permite obtener una muestra aleatoria de la poblacion y se calcula el estimador de la proporción muestral (p estimado) para un tamaño de muestra dado, en este caso es de 300 donde se obtuvo un P(estimado) cercano a 0.5.
set.seed(123)
GeneracionMuestra = function(Poblacion, Tamaño, Condicion) {
if (Tamaño<=length(Poblacion)) {
muestra1 = sample(x = Poblacion, size = Tamaño)
P_muestra = sum(muestra1 == Condicion)/Tamaño
return(P_muestra)
}
else {
print("Error: el tamaño de la muestra supera el tamaño de la población.")
return(-1)
}
}
n = 300
muestra1 = GeneracionMuestra (Poblacion = Lote, Tamaño = n, Condicion = "Enfermo")
print(paste("Para una muestra de tamaño:", n, "se obtuvo un P(estimado) =",muestra1))## [1] "Para una muestra de tamaño: 300 se obtuvo un P(estimado) = 0.49"Se repite el escenario anterior n=500 veces y ahora pasamos a analizar los resultados en cuanto al comportamiento de los 500 resultados del estimador P(estimado).
GeneracionMuestras_Iteraciones = function(Poblacion, Tamaño, Condicion, Iteraciones) {
if (Tamaño<=length(Poblacion)) {
muestras_iteraciones = array(NA,Iteraciones)
for (i in 1:Iteraciones) {
muestras_iteraciones[i] = GeneracionMuestra (Poblacion, Tamaño, Condicion)
}
return(muestras_iteraciones)
}
else {
print("Error: el tamaño de la muestra supera el tamaño de la población.")
return(-1)
}
}
iterac = 500
P_muestras = GeneracionMuestras_Iteraciones (Poblacion = Lote, Tamaño = n, Condicion = "Enfermo",Iteraciones = iterac)
hist(P_muestras, prob = TRUE, main = "Histogram with density curve")
line = mean(P_muestras)
abline(v=line, col="blue", lwd=3)
lines(density(P_muestras), col = 2, lwd = 2)
Resultado=data.frame("ID"=0,"Tamaño_muestra"=n, "Media"=mean(P_muestras),"Mediana"=median(P_muestras),"Desvest"=sd(P_muestras),"Varianza"=var(P_muestras), "Mín."=min(P_muestras), "Máx"=max(P_muestras),"Asimetría"=skewness(P_muestras), "Curtosis"= kurtosis(P_muestras))
Resultado## ID Tamaño_muestra Media Mediana Desvest Varianza Mín. Máx
## 1 0 300 0.49946 0.5 0.02377897 0.0005654393 0.4166667 0.5833333
## Asimetría Curtosis
## 1 0.05088417 3.319979Ahora repetiremos los puntos b y c para tamaños de muestra n=5, 10, 15, 20, 30, 50, 60, 100, 200, 500. Al calcular el P(estimado) para los distintos tamaños de muestra:
- n=5 (p(estimado)=7.153e-15=0.00000218811)
- n=10 (p(estimado)=1.371e-09=0.00016919484)
- n=15 (p(estimado)=1.448e-07=0.00132040508)
- n=20 (p(estimado)=5.089e-07=0.00464056732)
- n=30 (p(estimado)=2.267e-05=0.01527492585)
- n=50 (p(estimado)=0.001308)
- n=60 (p(estimado)=0.004301)
- n=100 (p(estimado)=0.006885)
- n=200 (p(estimado)=0.1709)
- n=500 (p(estimado)=0.0368)
t_Muestras = c(5, 10,15,20,30,50,60,100,200,500)
iterac = 500
set.seed(123)
for (i in 1:length(t_Muestras)) {
P_muestras = GeneracionMuestras_Iteraciones (Poblacion = Lote, Tamaño = t_Muestras[i], Condicion = "Enfermo",Iteraciones = iterac)
par(mfrow=c(1,2))
hist(P_muestras, las=1, ylab = "Frecuencia", title = t_Muestras[i], main = paste("Muestra de tamaño:", t_Muestras[i]), col = "gray",prob = TRUE)
abline(v=mean(P_muestras), col="blue", lwd=3)
lines(density(P_muestras), col = 2, lwd = 2)
qqnorm(P_muestras, xlab="Cuantiles teóricos", ylab="Cuantiles muestrales",main="qq-normalidad")
qqline(P_muestras,col = 'red', lwd = 2, lty = 2)
print(paste('Para una muestra de tamaño: ', t_Muestras[i]))
print(shapiro.test(P_muestras))
x=data.frame("ID"=i,"Tamaño_muestra"=t_Muestras[i],
"Media"=mean(P_muestras),
"Mediana"=median(P_muestras),
"Desvest"=sd(P_muestras),
"Varianza"=var(P_muestras),
"Mín."=min(P_muestras),
"Máx"=max(P_muestras),
"Asimetría"=skewness(P_muestras),
"Curtosis"= kurtosis(P_muestras)
)
Resultado=rbind(Resultado,x)
} ## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 5"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.92703, p-value = 7.153e-15## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 10"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.96473, p-value = 1.371e-09## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 15"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.97488, p-value = 1.448e-07## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 20"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.97729, p-value = 5.089e-07## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 30"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.98378, p-value = 2.267e-05## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 50"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.9896, p-value = 0.001308## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 60"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.99113, p-value = 0.004301## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 100"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.99172, p-value = 0.006885## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 200"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.99559, p-value = 0.1709## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 500"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.99374, p-value = 0.0368Resultado## ID Tamaño_muestra Media Mediana Desvest Varianza Mín.
## 1 0 300 0.4994600 0.5000000 0.02377897 0.0005654393 0.4166667
## 2 1 5 0.5000000 0.4000000 0.22418858 0.0502605210 0.0000000
## 3 2 10 0.4932000 0.5000000 0.16151140 0.0260859319 0.0000000
## 4 3 15 0.4884000 0.4666667 0.12304538 0.0151401648 0.1333333
## 5 4 20 0.5038000 0.5000000 0.10633991 0.0113081764 0.2500000
## 6 5 30 0.5014000 0.5000000 0.09203552 0.0084705366 0.2333333
## 7 6 50 0.5022400 0.5000000 0.06989100 0.0048847519 0.2800000
## 8 7 60 0.4972667 0.5000000 0.06651014 0.0044235983 0.3333333
## 9 8 100 0.5008600 0.5000000 0.04802576 0.0023064733 0.3500000
## 10 9 200 0.4991600 0.5000000 0.03086584 0.0009526998 0.4050000
## 11 10 500 0.5012280 0.5020000 0.01534180 0.0002353708 0.4540000
## Máx Asimetría Curtosis
## 1 0.5833333 0.050884174 3.319979
## 2 1.0000000 0.149545376 2.612692
## 3 0.9000000 -0.126792411 2.778414
## 4 0.8666667 0.009958313 2.832073
## 5 0.9000000 0.065718103 3.083091
## 6 0.7666667 -0.139175486 2.847222
## 7 0.7000000 -0.053596887 3.019376
## 8 0.6666667 0.026196750 2.775000
## 9 0.6500000 0.210494281 3.032641
## 10 0.5950000 0.060154599 2.940673
## 11 0.5400000 -0.181761726 2.768702Se repetirá toda la simulación (puntos a – d), pero ahora para lotes con 10% de plantas enfermas y de nuevo para lotes con un 90% de plantas enfermas. Se genera un lote de tamaño 1000 donde hay 100 enfermos y 900 sanos.
Lote de 10% enfermas
Lote2 = GeneracionPoblacion(Tamaño = 1000, Enfermos = 0.1, Sanos = 0.9)## [1] "Lote Generado de tamaño: 1000 Enfermos: 100 Sanos: 900"n2 = 300
muestra2 = GeneracionMuestra (Poblacion = Lote2, Tamaño = n2, Condicion = "Enfermo")
print(paste("Para una muestra de tamaño:", n, "se obtuvo un ^P =",muestra2))## [1] "Para una muestra de tamaño: 300 se obtuvo un ^P = 0.12"P_muestras2 = GeneracionMuestras_Iteraciones (Poblacion = Lote2, Tamaño = n2, Condicion = "Enfermo",Iteraciones = iterac)
hist(P_muestras2,prob = TRUE, main = "Histogram with density curve")
line = mean(P_muestras2)
abline(v=line, col="blue", lwd=3)
lines(density(P_muestras2), col = 2, lwd = 2)
Resultado2=data.frame("ID"=0,"Tamaño_muestra"=n2, "Media"=mean(P_muestras2),"Mediana"=median(P_muestras2),"Desvest"=sd(P_muestras2),"Varianza"=var(P_muestras2), "Mín."=min(P_muestras2), "Máx"=max(P_muestras2),"Asimetría"=skewness(P_muestras2), "Curtosis"= kurtosis(P_muestras2))
Resultado2## ID Tamaño_muestra Media Mediana Desvest Varianza Mín. Máx Asimetría
## 1 0 300 0.1014 0.1 0.0143421 0.0002056958 0.06 0.14 0.0853583
## Curtosis
## 1 2.693459for (i in 1:length(t_Muestras)) {
P_muestras = GeneracionMuestras_Iteraciones (Poblacion = Lote2, Tamaño = t_Muestras[i], Condicion = "Enfermo",Iteraciones = iterac)
par(mfrow=c(1,2))
hist(P_muestras, las=1, ylab = "Frecuencia", title = t_Muestras[i], main = paste("Muestra de tamaño:", t_Muestras[i]), col = "gray",prob = TRUE)
abline(v=mean(P_muestras), col="blue", lwd=3)
lines(density(P_muestras), col = 2, lwd = 2)
qqnorm(P_muestras, xlab="Cuantiles teóricos", ylab="Cuantiles muestrales",main="qq-normalidad")
qqline(P_muestras,col = 'red', lwd = 2, lty = 2)
print(paste('Para una muestra de tamaño: ', t_Muestras[i]))
print(shapiro.test(P_muestras))
x=data.frame("ID"=i,"Tamaño_muestra"=t_Muestras[i],
"Media"=mean(P_muestras),
"Mediana"=median(P_muestras),
"Desvest"=sd(P_muestras),
"Varianza"=var(P_muestras),
"Mín."=min(P_muestras),
"Máx"=max(P_muestras),
"Asimetría"=skewness(P_muestras),
"Curtosis"= kurtosis(P_muestras)
)
Resultado2=rbind(Resultado2,x)
} ## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 5"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.67805, p-value < 2.2e-16## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 10"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.84314, p-value < 2.2e-16## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 15"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.90387, p-value < 2.2e-16## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 20"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.91565, p-value = 4.413e-16## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 30"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.94839, p-value = 3.417e-12## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 50"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.95545, p-value = 3.826e-11## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 60"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.97837, p-value = 9.204e-07## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 100"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.98681, p-value = 0.0001708## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 200"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.98974, p-value = 0.001451## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 500"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.99169, p-value = 0.006758Resultado2## ID Tamaño_muestra Media Mediana Desvest Varianza Mín.
## 1 0 300 0.1014000 0.10000000 0.014342100 2.056958e-04 0.060
## 2 1 5 0.0908000 0.00000000 0.132780350 1.763062e-02 0.000
## 3 2 10 0.0988000 0.10000000 0.089970826 8.094749e-03 0.000
## 4 3 15 0.1065333 0.06666667 0.078858365 6.218642e-03 0.000
## 5 4 20 0.0970000 0.10000000 0.063553742 4.039078e-03 0.000
## 6 5 30 0.0966000 0.10000000 0.052286784 2.733908e-03 0.000
## 7 6 50 0.1031600 0.10000000 0.041267668 1.703020e-03 0.000
## 8 7 60 0.0997000 0.10000000 0.036755207 1.350945e-03 0.000
## 9 8 100 0.1004400 0.10000000 0.028646949 8.206477e-04 0.030
## 10 9 200 0.1003200 0.10000000 0.018514404 3.427832e-04 0.050
## 11 10 500 0.1006480 0.10200000 0.009658502 9.328667e-05 0.074
## Máx Asimetría Curtosis
## 1 0.1400000 0.08535830 2.693459
## 2 0.8000000 1.44406114 5.159901
## 3 0.4000000 0.70111455 3.002826
## 4 0.3333333 0.56906412 2.859523
## 5 0.3500000 0.68693318 3.728972
## 6 0.2666667 0.45906245 2.958784
## 7 0.2600000 0.66997010 3.896265
## 8 0.2000000 0.17544897 2.856064
## 9 0.1900000 0.01411462 2.744640
## 10 0.1700000 0.09112019 3.095484
## 11 0.1300000 -0.06691101 3.150707Lote de 90% enfermas
Lote3 = GeneracionPoblacion(Tamaño = 1000, Enfermos = 0.9, Sanos = 0.1)## [1] "Lote Generado de tamaño: 1000 Enfermos: 900 Sanos: 100"n3 = 300
muestra3 = GeneracionMuestra (Poblacion = Lote3, Tamaño = n, Condicion = "Enfermo")
print(paste("Para una muestra de tamaño:", n, "se obtuvo un ^P =",muestra3))## [1] "Para una muestra de tamaño: 300 se obtuvo un ^P = 0.903333333333333"P_muestras3 = GeneracionMuestras_Iteraciones (Poblacion = Lote3, Tamaño = n, Condicion = "Enfermo",Iteraciones = iterac)
hist(P_muestras3,prob = TRUE, main = "Histogram with density curve")
line = mean(P_muestras3)
abline(v=line, col="blue", lwd=3)
lines(density(P_muestras3), col = 2, lwd = 2)
Resultado3=data.frame("ID"=0,"Tamaño_muestra"=n2, "Media"=mean(P_muestras3),"Mediana"=median(P_muestras3),"Desvest"=sd(P_muestras3),"Varianza"=var(P_muestras3), "Mín."=min(P_muestras3), "Máx"=max(P_muestras3),"Asimetría"=skewness(P_muestras3), "Curtosis"= kurtosis(P_muestras3))
Resultado3## ID Tamaño_muestra Media Mediana Desvest Varianza Mín.
## 1 0 300 0.9010733 0.9 0.01466099 0.0002149445 0.8566667
## Máx Asimetría Curtosis
## 1 0.9366667 -0.1126169 2.69794for (i in 1:length(t_Muestras)) {
P_muestras = GeneracionMuestras_Iteraciones (Poblacion = Lote3, Tamaño = t_Muestras[i], Condicion = "Enfermo",Iteraciones = iterac)
par(mfrow=c(1,2))
hist(P_muestras, las=1, ylab = "Frecuencia", title = t_Muestras[i], main = paste("Muestra de tamaño:", t_Muestras[i]), col = "gray",prob = TRUE)
abline(v=mean(P_muestras), col="blue", lwd=3)
lines(density(P_muestras), col = 2, lwd = 2)
qqnorm(P_muestras, xlab="Cuantiles teóricos", ylab="Cuantiles muestrales",main="qq-normalidad")
qqline(P_muestras,col = 'red', lwd = 2, lty = 2)
print(paste('Para una muestra de tamaño: ', t_Muestras[i]))
print(shapiro.test(P_muestras))
x=data.frame("ID"=i,"Tamaño_muestra"=t_Muestras[i],
"Media"=mean(P_muestras),
"Mediana"=median(P_muestras),
"Desvest"=sd(P_muestras),
"Varianza"=var(P_muestras),
"Mín."=min(P_muestras),
"Máx"=max(P_muestras),
"Asimetría"=skewness(P_muestras),
"Curtosis"= kurtosis(P_muestras)
)
Resultado3=rbind(Resultado3,x)
} ## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 5"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.69902, p-value < 2.2e-16## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 10"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.84162, p-value < 2.2e-16## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 15"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.89195, p-value < 2.2e-16## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 20"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.92482, p-value = 4.071e-15## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 30"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.95011, p-value = 6.03e-12## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 50"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.97019, p-value = 1.499e-08## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 60"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.97583, p-value = 2.356e-07## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 100"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.9878, p-value = 0.0003431## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 200"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.99088, p-value = 0.003524## Warning in plot.window(xlim, ylim, "", ...): "title" is not a graphical
## parameter## Warning in title(main = main, sub = sub, xlab = xlab, ylab = ylab, ...):
## "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(1, ...): "title" is not a graphical parameter## Warning in axis(2, ...): "title" is not a graphical parameter
## [1] "Para una muestra de tamaño: 500"
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: P_muestras
## W = 0.99399, p-value = 0.04544Resultado3## ID Tamaño_muestra Media Mediana Desvest Varianza Mín.
## 1 0 300 0.9010733 0.9000000 0.01466099 2.149445e-04 0.8566667
## 2 1 5 0.9032000 1.0000000 0.13366185 1.786549e-02 0.4000000
## 3 2 10 0.9020000 0.9000000 0.08770053 7.691383e-03 0.6000000
## 4 3 15 0.9040000 0.9333333 0.07341891 5.390336e-03 0.6666667
## 5 4 20 0.9021000 0.9000000 0.06291667 3.958507e-03 0.6500000
## 6 5 30 0.9012000 0.9000000 0.05063287 2.563687e-03 0.7333333
## 7 6 50 0.9019600 0.9000000 0.04077602 1.662684e-03 0.7600000
## 8 7 60 0.9022667 0.9000000 0.03683021 1.356464e-03 0.7833333
## 9 8 100 0.9028600 0.9000000 0.02845417 8.096397e-04 0.8200000
## 10 9 200 0.9008200 0.9000000 0.01794077 3.218713e-04 0.8500000
## 11 10 500 0.9001840 0.9000000 0.00958195 9.181377e-05 0.8660000
## Máx Asimetría Curtosis
## 1 0.9366667 -0.11261694 2.697940
## 2 1.0000000 -1.20767363 3.859408
## 3 1.0000000 -0.71680702 3.239462
## 4 1.0000000 -0.63461241 3.053212
## 5 1.0000000 -0.47782339 2.978094
## 6 1.0000000 -0.43177436 3.296470
## 7 1.0000000 -0.35725711 2.940646
## 8 1.0000000 -0.31071488 3.143667
## 9 0.9900000 -0.03649376 2.835067
## 10 0.9500000 -0.08272468 2.782354
## 11 0.9300000 0.01288532 2.990180Conclusiones
- Podemos ver que al obtener 500 muestras de tamaño 300 el valor del estimador da muy cerca al valor del parametro, alrededor de 0.5. Al graficar el histograma se puede observar que el coeficiente de asimetria es distinto de cero (muy cercana) esto mismo sucede con su varianza que es muy cercana a cero, como anotación la grafica es leptocurtica, la media y la mediana son casi iguales por lo que es casi simetrica.
- A medida que se aumenta el tamaño de la muestra, va aumentando el valor de P(estimado) acercandose cada vez mas al valor de P, además podemos observar que aumentando el tamaño de muestra disminuye la varianza, en cuanto a la prueba de Shapiro-Wilk (plantea la hipótesis nula que una muestra proviene de una distribución normal) nos encontramos con un valor de P(estimado) mayor a 0.05 por lo que se rechazaria la hipotesis nula, esto ocurre en un tamaño de muestra grande, en cuanto a la grafica qqnorm nos encontramos que a medida que aumenta el tamaño de muestra, los puntos se van aproximando mas a la linea.
- Al modificar el tamaño de las proporciones del 50% de plantas enfermas (Lote A) al 10% y 90% de plantas enfermas (Lote B), podemos observar que P(estimado) para ambos lotes estan muy cercanos al valor del parametro. En el caso de la varianza esta disminuye cuando n aumenta, por lo que se puede concluir que siempre los valores del estimador al aumentar el tamaño de la muestra van a converger al valor del parametro (teorema del limite central). En cuanto al grafico qq-normalidad las observaciones se acercan cada vez más a la linea a medida que aumenta el tamaño de muestra.