Introdução aos Números Complexos
Fundamentos de Matemática I - Licenciatura em Química - IFRO campus Ji-Paraná
Gleison Guardia
18 de August, 2023
1 Conjunto dos números complexos
Nesta lição iremos entender como funcionam os números complexos. Este
números foram criados para resolver problemas clássicos, impossíveis
dentro dos reais, tais como \(\sqrt{-1}\), vamos conhecer a sua unidade
imaginária i e compreender o seu valor \(i^2=-1\) bem como ele pode ser útil nas
nossas aplicações.
Quando o conjunto real foi criado, achávamos que poderíamos operar todos os valores que nossas pesquisas e atividades comerciais necessitavam. Foi com o advento da eletricidade e operações mais complexas que percebemos que não tínhamos soluções para raízes de índice para números negativos.
O conjunto dos números complexos foi criado para resolver este tipo de problema, avançando mais uma vez a fronteira numérica.
O conjunto dos número complexos \(\mathtt{C}\) pode ser definido como o conjunto de pares ordenados de números reais \((a, b)\) em que estão definidas certas operações:
\[z \in \mathtt{C} \Leftrightarrow z = (a,b), \quad \forall (a,b) \in \mathtt{R}\]
1.1 Representação algébrica de um número complexo
Um número complexo 𝑧 pode ser representado da seguinte forma: \(z=a+bi\), com \(a \in \mathtt{R}, b \in \mathtt{R}\) e \(i^2=-1\), em que \(i\) é chamada de unidade imaginária.
Veja os vídeos abaixo para melhor compreender este conceito. OBS: clique no link com o botão direito do mouse e abra o vídeo em uma nova guia, o rpubs não premite o redirecionamento.
Vídeo 02: Números Complexos: Exercícios
1.2 Representação geométrica de um número complexo
Iremos compreender a representação geométrica do número complexo no plano de Argand-Gauss ou plano cartesiano. Também veremos exemplos práticos desta aplicação:
Vídeo 03: Números Complexos: Forma Geométrica
2 Operações com números complexos
2.1 Adição, subtração e multiplicação
Considerando os números complexos, \(𝑧\) , com \(z_1=𝑎 + 𝑏𝑖\) 𝑒 \(𝑧_2 = 𝑐 + 𝑑𝑖\) com \(𝑎, 𝑏, c\) e \(𝑑 \in \mathtt{R}\), temos:
- Adição:
\(z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di) \Rightarrow (a+c)+(b+d)i\)
- Subração:
\(z_1 - z_2 = (a+bi) - (c+di) \Rightarrow (a-c)+(b-d)i\)
- Multiplicação:
\(z_1 \cdot z_2 = (a+bi) \cdot (c+di) \Rightarrow (ac - bd)+(ad+bc)i\)
Exemplo 01:
Dados os números complexos: \(z_1 = 2+3i\) e \(z_2= -2+i\), determine:
- \(z_1+z_2\)
\[\begin{eqnarray} z_1 + z_2 &=& (2+3i) + (-2+i)\\ &=& 2+3i -2+i\\ &=& 2-2 + 3i+i\\ &=& 0 + 4i\\ &=& 4i \end{eqnarray}\]
- \(z_1-z_2\)
\[\begin{eqnarray} z_1 - z_2 &=& (2+3i) - (-2+i)\\ &=& 2+3i +2-i\\ &=& 2+2 + 3i-i\\ &=& 4 + 2i \end{eqnarray}\]
- \(z_1\cdot z_2\)
\[\begin{eqnarray} z_1 \cdot z_2 &=& (2+3i) \cdot (-2+i)\\ &=& 2 \cdot (-2) + 2 \cdot i + 3i \cdot (-2) + 3i \cdot i\\ &=& -4 + 2i -6i +3i^2\\ como \quad i^2 = -1, \quad temos:\\ &=& -4 -4i +3(-1)\\ &=& -4 -4i -3\\ &=& -7 -4i\\ \end{eqnarray}\]
Agora vejam outros exemplos disponíveis:
Vídeo 04: Operações com Números Complexos: Adição, Subtração e Multiplicação
2.2 Divisão de números complexos
Dados dois números complexos \(z_1\) e \(z_2\), definimos a divisão entre eles como sendo:
\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}}\]
Onde \(\overline{z_2}\) é o conjugado de \(z_2\) e definimos o conjugado de um número complexo \(z=a+bi\) como sendo \(z=a -bi\).
Exemplo 02:
Dados os números complexos: \(z_1 = 2+3i\) e \(z_2= -2+i\), determine \(\dfrac{z_1}{z_2}\):
- 1º encontrar \(\overline{z_2}\)
dado \(z_2 = -2+i \Rightarrow \overline{z_2} = -2-i\), agora temos:
\[\begin{eqnarray} \dfrac{z_1}{z_2} &=& \dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}}\\ &=& \dfrac{(2+3i) \cdot (-2-i)}{(-2+i) \cdot (-2-i)}\\ &=& \dfrac{2(-2) + 2(-i) + 3i(-2) +3i(-i)}{(-2)(-2) + (-2)(-i) + (i)(-2)+(i)(-i)}\\ &=& \dfrac{-4 -2i -6i -3i^2}{4 + 2i -2i -i^2}\\ &=& \dfrac{-4 -2i -6i -3(-1)}{4 + \not{2i} - \not{2i} -(-1)}\\ &=& \dfrac{-4 -8i +3}{4 +1}\\ &=& \dfrac{-1 -8i}{5}\\ \end{eqnarray}\]
Veja mais explicações sobre o assunto no vídeo abaixo:
Vídeo 06: Conjugado de um Número Complexo
3 Potências de i
Vamos compreender como as potências de \(i\) funcionam:
| Potência | Resultado |
|---|---|
| \(i^0\) | \(1\) |
| \(i^1\) | \(i\) |
| \(i^2\) | \(-1\) |
| \(i^3\) | \(-i\) |
| \(i^4\) | \(1\) |
| \(i^5\) | \(i\) |
| \(i^6\) | \(-1\) |
| \(i^7\) | \(-i\) |
| \(i^8\) | \(1\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Observe que a cada 4 novas rodadas, o valor de \(i\) se repete, ou seja, temos um padrão importante para sua determinação. Observe o exemplo abaixo:
Exemplo 03:
Encontre o valor de \(i^{18}\)
Primeiramente vamos encontrar a divisão inteira do expoente de \(i\) por 4:
\(\frac{18}{4} = 4\) e sobra resto \(2\),
logo o valor será igual o de \(i\) elevado ao resto da divisão:
\(i^{18} = i^2 = -1\)
Veja o seguinte vídeo com mais explicações:
Vídeo 08: Números Complexos: Potências de i
4 Módulo de um número complexo
Chamamos de módulo de um número complexo a distância entre o ponto geométrico do número e a origem do sistema. Para encontrarmos o módulo de um número complexo, iremos aplicar a seguinte equação:
\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
Isso é devido o módulo de um número complexo representar a hipotenuza do triângulo retângulo determinado por suas posições no plano cartesiano:
Assim, podemos compreender melhor sua representação. Vamos agora ver um exemplo desta aplicação:
Exemplo 04:
Dado o número complexo: \(z_1 = 2+3i\) determine o valor de \(|z_1|\):
\[\begin{eqnarray} |z|&=&\sqrt{a^2+b^2}\\ &=&\sqrt{(2)^2+(3)^2}\\ &=&\sqrt{4+9}\\ &=&\sqrt{13}\\ \end{eqnarray}\]
Assim, o \(|z_1| = \sqrt{13}\). Para ver mais explicações e exemplos assista o vídeo abaixo:
Vídeo 09: Módulo de um Número Complexo
O estudo dos números complexos não param aqui, porém nós sim. Se quiser aprofundar sua revisão, sugiro continuar os vídeos disponíveis no youtube, no mesmo canal onde acessaram os anteriores e conhecer de que outras formas podemos nos deparar com os números complexos.
5 Exercícios
Calcule a soma dos seguintes números complexos: \((3 + 2i) + (1 - 5i)\).
Realize a operação: \((4 - 7i) + (2 + 3i)\).
Encontre a soma dos números complexos: \((-2 + 6i) + (5 - 4i)\).
Calcule a subtração: \((8 + 3i) - (2 - 5i)\).
Realize a operação: \((6 - 2i) - (3 + 4i)\).
Encontre a diferença entre os números complexos: \((-5 + 2i) - (1 - 3i)\).
Calcule a soma dos seguintes números complexos: \((7 + 6i) + (2 + 9i)\).
Realize a operação: \((-3 - 4i) + (1 + 7i)\).
Encontre a soma dos números complexos: \((2 - 5i) + (6 + 3i)\).
Calcule a subtração: \((9 + 8i) - (4 + 6i)\).
Calcule o produto dos números complexos: \((3 + 2i)(1 - 5i)\).
Realize a operação: \((4 - 7i)(2 + 3i)\).
Encontre o produto dos números complexos: \((-2 + 6i)(5 - 4i)\).
Calcule o produto: \((8 + 3i)(2 - 5i)\).
Realize a operação: \((6 - 2i)(3 + 4i)\).
Realize a divisão: \(\frac{(3 + 2i)}{(1 - 5i)}\).
Calcule a operação: \(\frac{(4 - 7i)}{(2 + 3i)}\).
Encontre o resultado da divisão: \(\frac{(-2 + 6i)}{(5 - 4i)}\).
Realize a divisão: \(\frac{(8 + 3i)}{(2 - 5i)}\).
Calcule o resultado da operação: \(\frac{(6 - 2i)}{(3 + 4i)}\).
Calcule \(i^{12}\).
Determine o valor de \(i^{23}\).
Encontre \(i^{34}\).
Calcule \(i^{45}\).
Determine o valor de \(i^{56}\).
Qual é o módulo de \(3 + 4i\)?
Encontre o módulo de \(-2 - 6i\).
Determine o módulo de \(2i\).
Qual é o módulo de \(1 + i\)?
Encontre o módulo de \(-5 + 12i\).
Bibliografia
ARAUJO, Luís Cláudio Lopes de. Aprendendo matemática com o GeoGebra. São Paulo: Editora Exato, 2010.
BOALER, Jo. Mentalidades Matemáticas na sala de aula: Ensino fundamental. Porto Alegre: Penso, 2018.
CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do Ensino da Matemática. 4ª ed. São Paulo: Cortez, 2011
DEMANA, Franklin e outros. Pré-cálculo - 2ª Ed. Pearson, 2013.
EDEIROS, Valéria Zuma. Pré-cálculo. 4. ed. São Paulo: Pioneira Thompson, 2006.
LAPA, Nilton. Matemática Aplicada. São Paulo: Saraiva, 2012.
IEZZI, G. e outros. Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004. v. 1.
WICKHAM, Hadley. R para Data Science: Importe, Arrume, Transforme, Visualize e Module. Rio de Janeiro: Alta Books, 2019.