1.1 합과 곱

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합의 기호 \(\sum\)

\(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\) 에 대하여 더하기 연산
\(a_1 = 80\), \(a_2 = 75\), \(a_3 = 90\), \(a_4 = 83\), \(a_5 = 70\)

a <- c(80, 75, 90, 83, 70)
a

## [1] 80 75 90 83 70

a[1]

## [1] 80

a[c(2, 5)]

## [1] 75 70

a[-3]

## [1] 80 75 83 70

length(a)

## [1] 5

합의 계산

\(\sum_{i=1}^5 a_i\) 와 \(\sum_{i=3}^{10} c_i\)

sum(a)

## [1] 398

b <- rev(a)
b

## [1] 70 83 90 75 80

c <- c(a, b)
c

##  [1] 80 75 90 83 70 70 83 90 75 80

c[3:10]

## [1] 90 83 70 70 83 90 75 80

sum(c[3:10])

## [1] 641

\(a_i\)의 함수들의 합

\(\sum_{i=1}^5 a_i^3\), \(\sum_{i=1}^5 (a_i + b_i)\)

a^3

## [1] 512000 421875 729000 571787 343000

sum(a^3)

## [1] 2577662

\(a_{ij}\) 는 행렬의 \(i\)번째 행, \(j\)번째 열에 있는 원소를 지칭.

A <- rbind(a, b)
A

##   [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## a   80   75   90   83   70
## b   70   83   90   75   80

dimnames(A) <- list(paste("r", 1:2, sep=""), paste("c", 1:5, sep=""))
A

##    c1 c2 c3 c4 c5
## r1 80 75 90 83 70
## r2 70 83 90 75 80

A[1, 1]

## [1] 80

A[2, 1]

## [1] 70

A[1, c(1, 3)]

## c1 c3 
## 80 90

A[-1, ]

## c1 c2 c3 c4 c5 
## 70 83 90 75 80

A[, 1]

## r1 r2 
## 80 70

A[, 1, drop = FALSE]

##    c1
## r1 80
## r2 70

열의 합과 행의 합

\(i=1, 2\) 행에 대하여 \(j= 1, 2, 3\) 열에 속한 원소들의 합을 구하면

A[1, 1:3]

## c1 c2 c3 
## 80 75 90

sum(A[1, 1:3])

## [1] 245

A[2, 1:3]

## c1 c2 c3 
## 70 83 90

sum(A[2, 1:3])

## [1] 243

apply(A[, 1:3], 1, sum)

##  r1  r2 
## 245 243

sum(A[1, 1:3]) + sum(A[2, 1:3])

## [1] 488

sum(apply(A[, 1:3], 1, sum))

## [1] 488

sum(A[, 1:3])

## [1] 488

\(j = 1, 2, 3\) 열에 대하여 \(i = 1, 2\) 행에 속한 원소들의 합을 구하면

A[, 1]

## r1 r2 
## 80 70

sum(A[, 1])

## [1] 150

A[, 2]

## r1 r2 
## 75 83

sum(A[, 2])

## [1] 158

A[, 1]

## r1 r2 
## 80 70

sum(A[, 2])

## [1] 158

apply(A[, 1:3], 2, sum)

##  c1  c2  c3 
## 150 158 180

sum(A[, 1]) + sum(A[, 2]) + sum(A[, 2])

## [1] 466

sum(apply(A[, 1:3], 2, sum))

## [1] 488

sum(A[, 1:3])

## [1] 488

곱의 기호 \(\prod\)

a[1]*a[2]*a[3]*a[4]*a[5]

## [1] 3137400000

prod(a)

## [1] 3137400000

a + b

## [1] 150 158 180 158 150

prod(a + b)

## [1] 101104200000

\(\huge\cdot\) 기호의 활용

열의 합이나 행의 합을 간단히 표현
\(\sum_{i=1}^n a_{ij} = a_{\cdot j}\), \(\sum_{j=1}^m a_{ij} = a_{i\cdot}\)

##    c1 c2 c3 c4 c5
## r1 80 75 90 83 70
## r2 70 83 90 75 80

sum(A[, 1])

## [1] 150

sum(A[, 2])

## [1] 158

sum(A[, 3])

## [1] 180

sum(A[, 4])

## [1] 158

sum(A[, 5])

## [1] 150

apply(A, 2, sum)

##  c1  c2  c3  c4  c5 
## 150 158 180 158 150

colSums(A)

##  c1  c2  c3  c4  c5 
## 150 158 180 158 150

sum(A[1, ])

## [1] 398

sum(A[2, ])

## [1] 398

apply(A, 1, sum)

##  r1  r2 
## 398 398

rowSums(A)

##  r1  r2 
## 398 398

\(a_{\cdot\cdot} = \sum_{i=1}^n a_{i\cdot} = \sum_{j=1}^m a_{\cdot j} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_{ij}\)

rowSums(A)

##  r1  r2 
## 398 398

sum(rowSums(A))

## [1] 796

colSums(A)

##  c1  c2  c3  c4  c5 
## 150 158 180 158 150

sum(colSums(A))

## [1] 796

\(a_{\cdot j}^2 = (\sum_{i=1}^n a_{ij})^2\) 과 \(\sum_{i=1}^n a_{ij}^2\) 의 구분.
합의 제곱

##    c1 c2 c3 c4 c5
## r1 80 75 90 83 70
## r2 70 83 90 75 80

sum(A[, 1])

## [1] 150

sum(A[, 1])^2

## [1] 22500

sum(A[, 2])

## [1] 158

sum(A[, 2])^2

## [1] 24964

sum(A[, 3])

## [1] 180

sum(A[, 3])^2

## [1] 32400

sum(A[, 4])

## [1] 158

sum(A[, 4])^2

## [1] 24964

sum(A[, 5])

## [1] 150

sum(A[, 5])^2

## [1] 22500

colSums(A)^2

##    c1    c2    c3    c4    c5 
## 22500 24964 32400 24964 22500

제곱의 합

A[, 1]

## r1 r2 
## 80 70

A[, 1]^2

##   r1   r2 
## 6400 4900

sum(A[, 1]^2)

## [1] 11300

A[, 2]

## r1 r2 
## 75 83

A[, 2]^2

##   r1   r2 
## 5625 6889

sum(A[, 2]^2)

## [1] 12514

A[, 3]

## r1 r2 
## 90 90

A[, 3]^2

##   r1   r2 
## 8100 8100

sum(A[, 3]^2)

## [1] 16200

A[, 4]

## r1 r2 
## 83 75

A[, 4]^2

##   r1   r2 
## 6889 5625

sum(A[, 4]^2)

## [1] 12514

A[, 5]

## r1 r2 
## 70 80

A[, 5]^2

##   r1   r2 
## 4900 6400

sum(A[, 5]^2)

## [1] 11300

A^2

##      c1   c2   c3   c4   c5
## r1 6400 5625 8100 6889 4900
## r2 4900 6889 8100 5625 6400

colSums(A^2)

##    c1    c2    c3    c4    c5 
## 11300 12514 16200 12514 11300

1.2 행렬의 정의

통계학 점수와 전체 평점

열 방향으로 읽어들여 차원 정하기

M1 <- matrix(c(80, 75, 90, 83, 70, 3.0, 3.5, 4.0, 3.1, 2.2), ncol=2)
M1

##      [,1] [,2]
## [1,]   80  3.0
## [2,]   75  3.5
## [3,]   90  4.0
## [4,]   83  3.1
## [5,]   70  2.2

str(M1)

##  num [1:5, 1:2] 80 75 90 83 70 3 3.5 4 3.1 2.2

통계학 점수와 전체평점, 즉 열 벡터 단위로 읽어서 합치기

stat.score <- c(80, 75, 90, 83, 70)
GPA <- c(3.0, 3.5, 4.0, 3.1, 2.2)
M2 <- cbind(stat.score, GPA)
M2

##      stat.score GPA
## [1,]         80 3.0
## [2,]         75 3.5
## [3,]         90 4.0
## [4,]         83 3.1
## [5,]         70 2.2

dimnames(M2)[[1]] <- paste("student", 1:5, sep="")
M2

##          stat.score GPA
## student1         80 3.0
## student2         75 3.5
## student3         90 4.0
## student4         83 3.1
## student5         70 2.2

str(M2)

##  num [1:5, 1:2] 80 75 90 83 70 3 3.5 4 3.1 2.2
##  - attr(*, "dimnames")=List of 2
##   ..$ : chr [1:5] "student1" "student2" "student3" "student4" ...
##   ..$ : chr [1:2] "stat.score" "GPA"

각 학생의 통계학점수와 전체평점을 모아서 행 단위로 읽어서 합치기

M3 <- matrix(c(80, 3.0, 75, 3.5, 90, 4.0, 83, 3.1, 70, 2.2), ncol=2, byrow=TRUE)
M3

##      [,1] [,2]
## [1,]   80  3.0
## [2,]   75  3.5
## [3,]   90  4.0
## [4,]   83  3.1
## [5,]   70  2.2

\(r\times c\) 행렬의 표시

dim(M3)

## [1] 5 2

nrow(M3)

## [1] 5

ncol(M3)

## [1] 2

\(2\times 3\) 행렬의 예시

A <- matrix(c(3, -2, -1, 6, 8, 4), nrow=2)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    3   -1    8
## [2,]   -2    6    4

대각행렬

D <- diag(c(-3, 5, -6))
D

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -3    0    0
## [2,]    0    5    0
## [3,]    0    0   -6

주의 사항

diag(3)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

diag(3, nrow=1)

##      [,1]
## [1,]    3

하삼각행렬과 상삼각행렬

T.lower <- matrix(c(1, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 3, -1, 3, 0, 4, 2, 5, 6), nrow=4)
T.lower

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    3    3    4
## [2,]    0    0   -1    2
## [3,]    0    0    3    5
## [4,]    0    0    0    6

Matrix::isTriangular(T.lower)

## [1] TRUE
## attr(,"kind")
## [1] "U"

T.upper <- matrix(c(3, -2, 5, 0, 0, 5, -4, 2, 0, 0, 3, 7, 0, 0, 0, 0), nrow=4)
T.upper

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    3    0    0    0
## [2,]   -2    5    0    0
## [3,]    5   -4    3    0
## [4,]    0    2    7    0

Matrix::isTriangular(T.upper)

## [1] TRUE
## attr(,"kind")
## [1] "L"

Transition Probability Matrix

P <- matrix(c(0.2, 0.4, 0.8, 0.6), nrow=2)
P

##      [,1] [,2]
## [1,]  0.2  0.8
## [2,]  0.4  0.6

rowSums(P)

## [1] 1 1

1.3 벡터와 스칼라

열 벡터와 행 벡터

x <- c(3, -2, 0, 1)
is.vector(x)

## [1] TRUE

is.matrix(x)

## [1] FALSE

dim(x)

## NULL

length(x)

## [1] 4

str(x)

##  num [1:4] 3 -2 0 1

x.mat <- matrix(x, ncol=1)
x.mat

##      [,1]
## [1,]    3
## [2,]   -2
## [3,]    0
## [4,]    1

is.vector(x.mat)

## [1] FALSE

is.matrix(x.mat)

## [1] TRUE

dim(x.mat)

## [1] 4 1

length(x.mat)

## [1] 4

str(x.mat)

##  num [1:4, 1] 3 -2 0 1

t(x.mat)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    3   -2    0    1

is.vector(t(x.mat))

## [1] FALSE

is.matrix(t(x.mat))

## [1] TRUE

dim(t(x.mat))

## [1] 1 4

length(t(x.mat))

## [1] 4

str(t(x.mat))

##  num [1, 1:4] 3 -2 0 1

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Chapter_1_class

coop711

2015년 9월 5일

1.1 합과 곱

합의 기호 \(\sum\)

\(a_i\)의 함수들의 합

열의 합과 행의 합

곱의 기호 \(\prod\)

\(\huge\cdot\) 기호의 활용

1.2 행렬의 정의

통계학 점수와 전체 평점

1.3 벡터와 스칼라