Wprowadzenie

Cel: wyznaczenie prognoz kursu wymiany USD-GBP za pomocą wygładzania wykładniczego oraz modelu ARIMA. Porównanie jakości otrzymanych prognoz.

Dane

Dane z okresu 2019-01-01–2022-12-31 podzielono na dwa zbiory: uczący (2019-01-01–2022-11-30) i testowy (2022-12-01–2022-12-31). Model jest szacowny na podstawie danych ze zbioru uczącego a jego zdolność predykcyjna (jakość prognoz) jest szacowana przez porównanie z wartościami ze zbioru testowego.

dat_xts <- as.xts(read.zoo('USD-GBP_r.csv', header=T,
                           index.column = 1, 
                           sep = ",", format = "%Y/%d/%m"))
dat_train <- dat_xts["2019-01-01/2022-11-30"]
dat_test <- dat_xts["2022-12-01/2022-12-31"]

hmax <- length(dat_test)
n_train <-length(dat_train)
n_test <-length(dat_test)

Zbiór uczący ma 1022 obserwacji.

Zbiór testowy ma 22 obserwacji.

Metoda wygładzania wykładniczego

m_es <- holt(dat_train, h=hmax, alpha=.33)

#summary(m_es)

accuracy(m_es)
##                         ME        RMSE         MAE          MPE      MAPE
## Training set 0.00003243548 0.006965649 0.004727911 -0.002491196 0.5982294
##                  MASE      ACF1
## Training set 1.360272 0.7040088
##checkresiduals(m_es)
res_es <- m_es$residuals

m_es.fitted <- m_es$fitted
autoplot(m_es.fitted, series="teoret") +  autolayer(m_es$x, series="empir")

Box.test(res_es, type='Ljung-Box')
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  res_es
## X-squared = 508.02, df = 1, p-value < 0.00000000000000022
## wyznaczenie prognoz


m_esf <- forecast(m_es, h=hmax)
autoplot(m_esf)

m_esa <- accuracy(m_esf, dat_test)

Dokładność prognoz

m_esa
##                          ME        RMSE         MAE          MPE      MAPE
## Training set  0.00003243548 0.006965649 0.004727911 -0.002491196 0.5982294
## Test set     -0.01160272755 0.013619570 0.011602728 -1.419761112 1.4197611
##                  MASE      ACF1
## Training set 1.360272 0.7040088
## Test set     3.338232        NA

ARIMA

Stosowany jest wariant ARIMA(0,1,0) z dryfem.

m_aa  <- auto.arima(dat_train)
##summary(m_aa)
accuracy(m_aa)
##                         ME        RMSE         MAE         MPE      MAPE
## Training set 0.00004591731 0.004885595 0.003459473 0.003821782 0.4396782
##                   MASE          ACF1
## Training set 0.9953285 -0.0006688156
##checkresiduals(m_aa)
res_aa <- m_aa$residuals

m_aa.fitted <- m_aa$fitted
autoplot(m_aa.fitted, series="teoret") +  autolayer(m_aa$x, series="empir")

Box.test(res_aa, type='Ljung-Box')
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  res_aa
## X-squared = 0.0004585, df = 1, p-value = 0.9829
##Wyznacznie prognoz na 4 miesiace i porównanie z wartościami ze zbioru testowgo

m_aaf <- forecast(m_aa, h=hmax)
autoplot(m_aaf)

m_aaa <- accuracy(m_aaf, dat_test)
m_aaa
##                          ME        RMSE         MAE          MPE      MAPE
## Training set  0.00004591731 0.004885595 0.003459473  0.003821782 0.4396782
## Test set     -0.00767361928 0.010708434 0.008217079 -0.941968726 1.0073373
##                   MASE          ACF1
## Training set 0.9953285 -0.0006688156
## Test set     2.3641440            NA

Metoda Naiwna

W metodzie naiwnej prognozą jest ostatnia zaobserowana wartość. Zwykle służy jako twz. benchmark (jeżeli bardziej skomplikowana metoda daje jakościowo te same prognozy to tejże skomplikowanej metody nie warto stosować)

m_sn  <- naive(dat_train, h=hmax)
f.naive.forecast <- forecast(m_sn, h=hmax)

e.residuals1 <- m_sn$residuals
e.fitted1 <- m_sn$fitted

plot(m_sn)

autoplot(m_sn)

##e.acc.naive <- accuracy(f.naive.forecast, ets.t)
e.acc.naive <- accuracy(f.naive.forecast, dat_test)

Porównanie prognoz

A.table <- rbind( m_esa, m_aaa, e.acc.naive)
row.names(A.table) <- c('es', 'es/t', 'arima', 'arima/t', 'naive', 'naive/t')
A.table <- as.data.frame(A.table)
A.table <- A.table[order(A.table$RMSE),]
A.table
##                     ME        RMSE         MAE          MPE      MAPE      MASE
## arima    0.00004591731 0.004885595 0.003459473  0.003821782 0.4396782 0.9953285
## naive    0.00004397649 0.004952445 0.003475710  0.003578828 0.4409876 1.0000000
## es       0.00003243548 0.006965649 0.004727911 -0.002491196 0.5982294 1.3602719
## naive/t -0.00750000000 0.010490905 0.008100000 -0.920708169 0.9928825 2.3304590
## arima/t -0.00767361928 0.010708434 0.008217079 -0.941968726 1.0073373 2.3641440
## es/t    -0.01160272755 0.013619570 0.011602728 -1.419761112 1.4197611 3.3382323
##                  ACF1
## arima   -0.0006688156
## naive    0.0843591673
## es       0.7040087987
## naive/t            NA
## arima/t            NA
## es/t               NA

Jakość prognoz jest bardzo dobra a wielkość błędu podobna przy zastosowaniu wszystkich trzech metod. Czyli można naiwną :-)

Porównanie na wykresie (dane empiryczne + prognozy dla trzech metod):

autoplot(as.ts(dat_xts), series="empir") +  
  autolayer(m_esf$mean, series="es") +
  autolayer(m_aaf$mean, series="aa") +
  autolayer(f.naive.forecast$mean, series="naive")

Porównanie na wykresie (dane empiryczne tylko dla zbioru testowego + prognozy dla trzech metod):

autoplot(as.ts(dat_test, start= n_train +1), series="empir") +  
  autolayer(m_esf$mean, series="es") +
  autolayer(m_aaf$mean, series="aa") +
  autolayer(f.naive.forecast$mean, series="naive")

Widać co zaszło: wartości szeregu rosnąco osycolowały od wartości 0,815 do wartości 0,825. ARIMA oraz MN przewidywały w zasadzie stałą wartość na poziomie 0.83 a wygładzanie wykładnicze lekko rosnącą na poziomie około 0.835. Różnice między metodami są niewielkie. Wszystkie trzy zawyżają wartości; WW zawyża najbardziej.