1. GENERE UN VECTOR Y A PARTIR DE EL COSNTRUYA UN VECTOR UNITARIO

library(knitr)
v <- c(3,2,4) # generamos el vector

a <- norm(v, type = "2") # calculamos la norma


w <- (1/a)*v # generamos el nuevo vector

norm(w, type = "2") # probamos que sea unitario calculando su norma
## [1] 1

2. A PARTIR DE UNA MATRIZ CUADRADA DETERMINE SUS VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS.

FINALMENTE PRUEBE QUE

\(A*V=\lambda*V\)

x <- c(1,2,3,6,7,8,9,4,5)

A <- matrix(x, nrow = 3) # se crea una matriz cuadrada

s1 <- eigen(A) # se generan los vlares propios y vectores propios

valp <- data.frame(s1$values)

vecp <- data.frame(s1$vectors)

valp1 <- valp[1,] # extraemos el primer valor propio

vecp1 <- vecp[,1] # extraemos el primer vector propio

A%*%vecp1 # observamos el resultado
##           [,1]
## [1,] -9.046719
## [2,] -7.115257
## [3,] -8.838041
valp1%*%vecp1 # observamos el resultado
##           [,1]      [,2]      [,3]
## [1,] -9.046719 -7.115257 -8.838041
valp2 <- valp[2,]
vecp2 <- vecp[,2]

A%*%vecp2
##            [,1]
## [1,]  2.2571349
## [2,] -0.1673564
## [3,] -0.7361156
valp2%*%vecp2
##          [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] 2.257135 -0.1673564 -0.7361156
valp3 <- valp[3,]
vecp3 <- vecp[,3]

A%*%vecp3
##            [,1]
## [1,]  0.7231162
## [2,] -0.4052308
## [3,]  0.2595980
valp3%*%vecp3
##           [,1]       [,2]     [,3]
## [1,] 0.7231162 -0.4052308 0.259598
### finalmente los resultados son iguales, por tanto, A*V=LAMDA*V

3. VERIFICAR EL TEOREMA 1.4.7.

\[A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\vec{\mu}_{i}\cdot\vec{\mu}_{i}^{T}\]

y <- c(4,7,8, 7,9, 1, 8, 1, 2) # generamos un vector

B <- matrix(y, ncol = 3) # generamos una matriz simétrica
B
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    4    7    8
## [2,]    7    9    1
## [3,]    8    1    2
s2 <- eigen(B) # generamos los valores y vectores propios

valpB <- data.frame(s2$values) # guardamos los valores propios

vecpB <- data.frame(s2$vectors) # guardamos los vectores propios


B2 <-valpB[1,]*vecpB[,1]%*%t(vecpB[,1])+ valpB[2,]*vecpB[,2]%*%t(vecpB[,2])+ 
  valpB[3,]*vecpB[,3]%*%t(vecpB[,3])


## note que B y B2 son la misma matriz por lo que se verifica el teorema
4. VERIFIQUE QUE

\(B = U\cdot D \cdot U^{T}\)

U <- matrix(c(vecpB[,1],vecpB[,2],vecpB[,3]), ncol = 3) #generamos la matriz U de vectores propios
D <- matrix(c(16.331899, 0, 0, 0,4.874000,0,0,0,-6.205899), ncol = 3) # generamos la matriz D de valores propios


U%*%D%*%t(U) # realizamos la multiplicación y efectivamente da igual. 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    4    7    8
## [2,]    7    9    1
## [3,]    8    1    2