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1. Permutaciones y combinaciones.

a) Explique brevemente la diferencia entre permutación y combinación y exprese las ecuaciones para calcular permutaciones y combinaciones.

Definición de permutación: Una permutación es un arreglo ordenado de objetos de un grupo, sin repeticiones, es decir, se refiere a todas las formas posibles en las que se pueden organizar los elementos de un conjunto, teniendo en cuenta que cada elemento se usa una sola vez y que el orden importa.

Formula de permutación: Para calcular el número de permutaciones de un conjunto de elementos se puede escribir como “P(n, r)”. Donde: \(P(n) = n!\).

Se debe tener en cuenta que:

-“n” es el número total de elementos del conjunto.

-“!” denota el factorial.

Ejemplo: Por ejemplo, para el conjunto {1, 2, 3}, las permutaciones posibles son: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2} y {3, 2, 1}.

Donde utilizando la formula tenemos que: P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Definición de combinación: Una combinación corresponden al número de formas en que se puede extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado, es decir, se refiere a una selección de elementos sin importar el orden en el que se elijan. A diferencia de las permutaciones, en las combinaciones el orden de los elementos no es relevante, solo importa cuáles elementos están presentes en la selección.

Formula de combinación: Para calcular el numero de combinaciones, debemos tomar en cuenta si en el conjunto se permite las repeticiones o no. Para esto se presentan las siguientes formulas:

1. Sin repetición: \(C(n, r) = n!/ r!(n - r)!\)

Donde:

-“n” es el número total de elementos.

-“r” es el número de elementos seleccionados para la combinación.

Ejemplo: Por ejemplo, para el conjunto {A, B, C}, tomando en cuenta que se quiere juntar solamente 2 letras y no se permite repeticiones, las combianciones posibles son: (A, B), (A, C) y (B, C)

Donde utilizando la formula tenemos que: C(3, 2) = 3!/3!(3 - 2)! = 3!/2! * 1! = 3!/2! = 3 x 2!/2! = 3

2. Con repetición \(C(n,r) = (n + r - 1)!/r!(n - 1)!\)

Ejemplo: En base al conjunto anterior, pero tomando en cuenta que se quiere juntar solamente 2 letras y se permite repetir, las combinaciones posibles son: (A, A), (A, B), (A, C), (B, B), (B, C) y (C, C).

donde utilizando la formula tenemos que: c(3, 2) = (3 + 2 - 1)!/2!(3 - 1)! = 4! / 2! * 2! = 4 x 3 x 2 x 1/ 4 = 3 x 2 x 1 = 6

b) Busque en la ayuda de R las funciones combinations y permutations y expliquebrevemente cómo funcionan.

Permutación: La función “permutations” muestra todas las posibles permutaciones del conjunto de elementos a seleccionar.

combinatoria: La función “combinations” muestra todas las combinaciones del conjunto de elementos a seleccionar.

#combinations(n, r, v = 1:n, set = TRUE, repeats = FALSE)
#permutations(n, r, v = 1:n, set = TRUE, repeats = FALSE)
  • “n”: Es el conjunto de posibilidades.
  • “r”: Tamaño de la muestra deseada.
  • “v”: Selección de muestras dentro del cojunto n.
  • “set”: Como TRUE o FALSE. Permite o impide valores duplicados.
  • “repeats”: Como TRUE o FALSE para permitir o impedir que valores se repitan.

2. Calcular:

a) La cantidad de permutaciones posibles con n = 11 y r = 3 con y sin repetición.

Con repeticion:

nrow(permutations(11, 3, 1:11, repeats=TRUE))
## [1] 1331

Sin repeticion:

nrow(permutations(11, 4, 1:11, repeats = FALSE))
## [1] 7920

b) Las combinaciones de largo tres con las letras a, b, c, d y e con y sin repetición

con repeticion:

combinations(5, 3, letters[1:5], repeats = TRUE)
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,] "a"  "a"  "a" 
##  [2,] "a"  "a"  "b" 
##  [3,] "a"  "a"  "c" 
##  [4,] "a"  "a"  "d" 
##  [5,] "a"  "a"  "e" 
##  [6,] "a"  "b"  "b" 
##  [7,] "a"  "b"  "c" 
##  [8,] "a"  "b"  "d" 
##  [9,] "a"  "b"  "e" 
## [10,] "a"  "c"  "c" 
## [11,] "a"  "c"  "d" 
## [12,] "a"  "c"  "e" 
## [13,] "a"  "d"  "d" 
## [14,] "a"  "d"  "e" 
## [15,] "a"  "e"  "e" 
## [16,] "b"  "b"  "b" 
## [17,] "b"  "b"  "c" 
## [18,] "b"  "b"  "d" 
## [19,] "b"  "b"  "e" 
## [20,] "b"  "c"  "c" 
## [21,] "b"  "c"  "d" 
## [22,] "b"  "c"  "e" 
## [23,] "b"  "d"  "d" 
## [24,] "b"  "d"  "e" 
## [25,] "b"  "e"  "e" 
## [26,] "c"  "c"  "c" 
## [27,] "c"  "c"  "d" 
## [28,] "c"  "c"  "e" 
## [29,] "c"  "d"  "d" 
## [30,] "c"  "d"  "e" 
## [31,] "c"  "e"  "e" 
## [32,] "d"  "d"  "d" 
## [33,] "d"  "d"  "e" 
## [34,] "d"  "e"  "e" 
## [35,] "e"  "e"  "e"

Sin repeticion:

combinations(5, 3, letters[1:5], repeats = FALSE)
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,] "a"  "b"  "c" 
##  [2,] "a"  "b"  "d" 
##  [3,] "a"  "b"  "e" 
##  [4,] "a"  "c"  "d" 
##  [5,] "a"  "c"  "e" 
##  [6,] "a"  "d"  "e" 
##  [7,] "b"  "c"  "d" 
##  [8,] "b"  "c"  "e" 
##  [9,] "b"  "d"  "e" 
## [10,] "c"  "d"  "e"

c) La cantidad de permutaciones y combinaciones con n = 39 y r = 25 sin repetición.

Permutaciones:

#Se crean la función de permutación, debido a que R no corre la función:
#(permutations(39, 25, 1:39, repeats=FALSE)

permutacion = function(n,r,repeticion){
  if (repeticion == FALSE) {
    return(factorial(n)/factorial(n-r))
  }else{
    return(n^r)
  }
}
permutacion(39,25,FALSE)
## [1] 2.339789e+35

Combinaciones:

#Se crean la función de Combinación, debido a que R no corre la función:
#combinations(39, 25, 1:39, FALSE)

combinacion = function(n,r,repeticion){
  if (repeticion == FALSE) {
    return(factorial(n)/(factorial(r) * factorial(n - r)))
  }else{
    return(factorial(n+r-1)/(factorial(r) * factorial((n+r-1) - r)))
  }
}
combinacion(39,25,FALSE)
## [1] 15084504396

3. Considere un problema de una vendedora viajera que debe recorrer 50 ciudades y volver al origen sin pasar dos veces por la misma ciudad. Considerando que solo existe una ruta óptima, si se selecciona una ruta al azar

a) ¿cuál es la probabilidad de que sea la ruta óptima?

Primero, es necesario calcular la cantidad de rutas posibles para determinar la probabilidad. Para esto, utilizamos una permutación, considerando que el orden es relevante y no se permite la repetición (es decir, no se pasa dos veces por la misma ciudad). Después, la probabilidad se obtiene dividiendo 1 entre el total de rutas posibles.

permutacion(50,50,FALSE)
## [1] 3.041409e+64

b) Si se selecciona una ruta al azar que es distinta a la anterior ¿cuál es laprobabilidad de que sea la ruta óptima?

En el ejemplo anterior, contamos con el total rutas posibles. Como aqui ya estamos descartando una de las rutas posibles, esto nos deja con un total de 49 rutas. Haciendo nuevamente el caso, tenemos que:

Rutas = permutacion(50,50,FALSE)
total_rutas = Rutas - 1

total_rutas
## [1] 3.041409e+64

La probabilidad virtualmente es la misma, ya que es extremadamente pequeña.

4. Una bencinera tiene 5 funcionarios que deben limpiar el parabrisas de cada cliente que es atendido. Janet da servicio al 10 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Tomás da servicio al 60 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Georgina da servicio al 15 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Pedro da servicio al 5 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Marcela da servicio al 10 % de los clientes y no limpia 3 de cada 5 parabrisas. Si un cliente envía una nota de agradecimiento porque su parabrisas quedó como nuevo.

a) Exprese la ecuación con la que se puede resolver el problema.

Organizando de mejor forma la información, tenemos que:

  • Janet atiende al 10% de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas.

  • Tomás atiende al 60% de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas.

  • Georgina atiende al 15% de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas.

  • Pedro atiende al 5% de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas.

  • Marcela atiende al 10% de los clientes y no limpia 3 de cada 5 parabrisas.

Para encontrar una solución a este problema, podemos recurrir a la formula del teorema de bayes, el cual corresponde a: \(P(A|B) = P(B|A)*P(A)/P(B)\)

Ante esto nosotros podemos crear el siguiente arbol:

Probabilidad:

  • 10% Janet. -> 0,10.
    • 95% Si. -> 0,95.
    • 5% No. -> 0,05. (Esto se logra con la probabilidad de 1/20).
  • 60% Tomas. -> 0,60.
    • 90% Si. -> 0,90.
    • 10% No. -> 0,10.
  • 15% Georgina. -> 0,15.
    • 90% Si. -> 0,90.
    • 10% No. -> 0,10.
  • 5% Pedro. -> 0,05.
    • 95% Si. -> 0,95.
    • 10% No. -> 0,10.
  • 10% Marcela. -> 0,10.
    • 40% Si. -> 0,40.
    • 60% No. -> 0,60.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Pedro?

Tomando en cuenta los datos anteriores y utilizando teorema de bayes:

Probabilidad_Pedro = (0.95*0.05)/((0.10*0.95)+(0.6*0.9)+(0.15*0.9)+(0.05*0.95)+(0.1*0.4))
Probabilidad_Pedro
## [1] 0.05539359

c)¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina?

Probabilidad de janet:

Probabilidad_janet = (0.95*0.1)/((0.10*0.95)+(0.6*0.9)+(0.15*0.9)+(0.05*0.95)+(0.1*0.4))
Probabilidad_janet
## [1] 0.1107872

Probabilidad de Georgina:

Probabilidad_geogirna = (0.9*0.15)/((0.10*0.95)+(0.6*0.9)+(0.15*0.9)+(0.05*0.95)+(0.1*0.4))
Probabilidad_geogirna
## [1] 0.1574344

Probabilidad de ambas:

Probabilidad_ambas = (0.9*0.15)+(0.95*0.1)/((0.10*0.95)+(0.6*0.9)+(0.15*0.9)+(0.05*0.95)+(0.1*0.4))
Probabilidad_ambas
## [1] 0.2457872

d) Calcule la probabilidad de que haya sido atendido por Janet, Georgina, Tomás, Pedro o Marcela. ¿Qué se puede observar?

Probabilidad de los 5:

Probabilidad_todos = (0.9*0.15)+(0.95*0.1)+(0.95*0.05)+(0.9*0.6)+(0.4*0.1)/((0.10*0.95)+(0.6*0.9)+(0.15*0.9)+(0.05*0.95)+(0.1*0.4))
Probabilidad_todos
## [1] 0.8641472

Se puede observar que la probabilidad no es de un 100%. Esto se presume que es debido a que no se esta contabilizando los casos negativos que juntos a los positivos, hacen el total de todos los casos posibles.

5. De un grupo de 40 personas se quiere saber la opinión de 3 personas (seleccionadas al azar) acerca del apruebo o rechazo de la nueva constitución. Si se sabe que 22 personas aprueban y 18 rechazan ¿cuál es la probabilidad de que las tres personas seleccionadas rechacen?

Para el siguiente ejercicio tenemos los siguientes datos: - 40 en total. - 18 rechazan - 3 Seleccionados.

  1. La probabilidad de elegir a alguien que rechace es de: 18/40.
  2. La probabilidad de que la segunda persona rechace (descartando la primera) es de: 17/39.
  3. La probabilidad de que la tercera persona rechace, (descontando las 2 anteriore) es de: 16/38
Rechazan = (18/40)*(17/39)*(16/38)

Rechazan
## [1] 0.08259109

Por lo tanto, la probabilidad de que las tres personas rechazen es: 008