Características de los monopolios

• Unico productor y precios

• Pocos sustitutos

• EEH es un monopolio?

Monopólios: Maximización de beneficios

• El problema de monopolio se puede escribir:

  \[ \begin{eqnarray} \pi &=& IT(Q) - CT(Q)\\[0.2cm] \pi &=& PQ - CT(Q) \end{eqnarray} \]

• La función de beneficios \((\pi)\), se define como ingresos totales \(IT(Q)\) menos costos totales \(CT(Q)\).

• Resolviendo el problema del consumidor

  \[ \frac{\partial \pi}{\partial Q} = P + \frac{\partial P}{\partial Q}Q - \frac{\partial CT(Q)}{\partial Q} = 0 \]

• Reordenando

  \[ \underbrace{P + \frac{\partial P}{\partial Q}Q}_{IMg(Q)} = \underbrace{\frac{\partial CT(Q)}{\partial Q}}_{CMg(Q)} \]

Monopólios: Ingresos Totales

• Información de ingresos totales

  \[ IMg(Q) = \underbrace{P}_{Efecto-Positivo} + \underbrace{\frac{\partial P}{\partial Q}Q}_{Efecto-Negativo} \]

• Efecto Positivo: Si la empresa vende una unidad más, esto podría ganar un precio (P) de la unidad vendida, por tanto, el primer termino (positivo), refleja que los ingresos de la empresa se incrementan.

• Efecto Negativo: Cuando se oferta una unidad más, sin embargo, la empresa necesita reducir el precio de todas las unidades vendidas, por tanto, el segundo termino es negativo \(\frac{\partial P(Q)}{\partial Q} < 0\).

• Regla de oro para encontrar el precio del monopolio

  \[ IMg(Q) = CMg(Q) \]

Monopolios: Ejemplo 1

• Considere un monopolio mostrando la función de demanda inversa:

  \[ P(Q) = 10 - 3Q \]

  • Encuentre los dos efectos del ingreso marginal.

    \[ \begin{eqnarray} IMg(Q) &=& P + \frac{\partial P}{\partial Q}Q\\[0.2cm] IMg(Q) &=& \underbrace{(10-3Q)}_{P(Q)} + \underbrace{(-3)}_{\partial P(Q)/\partial Q}Q \end{eqnarray} \]

  • Si la empresa vende \(Q = 2\) unidades, su ingreso es \(IT(2) = P(2)\cdot 2\)

    \[ \begin{eqnarray} IT(2) &=& P(2)\cdot 2\\[0.2cm] IT(2) &=& (10 - 3(2))\cdot 2 = \fbox{8}\\[0.2cm] IMg(2) &=& P(2) + (-3)\cdot 2 = 4 - 6 = \fbox{-2} \end{eqnarray} \]

• Intuitivamente, \(IMg(Q) = IMg(2) = 4 - 6\) significa que el ingreso del monopolista experimenta un efecto positivo de $4, sin embargo, con un efecto negativo negativo.

• Curva de demanda lineal

  \[ P = a - bQ \]

• Ingreso Marginal

  \[ \begin{eqnarray} IT &=& PQ = (a-bQ)Q\\[0.2cm] \frac{\partial IT}{\partial Q} &=& a - 2bQ \end{eqnarray} \]

  \[ IMg = \frac{\partial IT}{\partial Q} = a - bQ - bQ = \fbox{P - bQ} \]

Monopolios: Ejemplo 2

Considere la siguiente curva de demanda y la curva de costo de corto plazo

\[ Q = 11 - \frac{1}{5}P \]

\[ CT = 5Q + 1 \]

• Encuentre el precio y la cantidad de producción de la maximización de beneficios.

• Dada la función inversa de demanda

  \[ \begin{eqnarray} Q &=& 11 - \frac{1}{5}P \\[0.2cm] P &=& 55 - 5Q \end{eqnarray} \]

• Función de beneficios

  \[ \begin{eqnarray} \pi &=& PQ - CT\\[0.2cm] &=& (55-5Q)Q - (5Q + 1)\\[0.2cm] \frac{\partial \pi}{\partial Q} &=& 55 - 10Q - 5 = 0\\[0.2cm] &=& 50 - 10Q \Longrightarrow Q = \fbox{5} \end{eqnarray} \]

• Dado el \(Q = 5\) entonces \(P = \fbox{30}\)

Ingreso Marginal y Elasticidad precio de la demanda

• Elasticidad precio de la demanda

  \[ \begin{eqnarray} IT &=& PQ\\[0.2cm] IMg &=& P + \frac{\partial P}{\partial Q}Q \end{eqnarray} \]

• Multiplicando por \(\frac{1}{P}\):

  \[ \begin{eqnarray} IMg &=& P\begin{pmatrix}1 + \frac{\partial P}{\partial Q}Q\end{pmatrix}\\[0.2cm] IMg &=& \begin{pmatrix}1 + \frac{1}{\epsilon}\end{pmatrix} \end{eqnarray} \]

• Región curva demanda	Ingreso marginal y \(\epsilon\)	ingresos totales y precio
  \(-\infty < \epsilon < -1\)	\(IMg > 0\)	El monopolista puede incrementar los ingresos totales al disminuir el precio (y por lo tanto aumentar la cantidad) en una pequeña cantidad.
  \(\epsilon = 1\)	\(IMg = 0\)	Ingreso total se mantiene constante
  \(-1 < \epsilon < 0\)	\(IMg < 0\)	El monopolista puede incrementar sus ingresos totales como consecuencia de un incremento de precios.

Graficamente la relación anterior es

Inversa de precio de elasticidad

• Igualdad costo e inngreso

  \[ \begin{eqnarray} IMg &=& CMg\\[0.2cm] CMg &=& P\begin{pmatrix}1 + \frac{1}{\epsilon}\end{pmatrix} \end{eqnarray} \]

• Inversa de Elasticidad Precio

  \[ \begin{eqnarray} \frac{CM}{P} &=& \begin{pmatrix}1 + \frac{1}{\epsilon}\end{pmatrix}\\[0.2cm] \frac{CM}{P} - 1 &=& \frac{1}{\epsilon}\\[0.2cm] \frac{P - CMg}{P} &=& -\frac{1}{\epsilon} \Longrightarrow \fbox{Poder de mercado} \end{eqnarray} \]