Naturais, Inteiros e Racionais

Os conjuntos numéricos foram a primeira grande criação do homem primitivo. Sua necessidade por registrar quantidades foi primordial para a sua sobrevivência. O desenvolvimento de novas tecnologias sempre esteve presente na humanidade desde nossos primeiros dias como sociedade.

Diante de um novo desafio a raça humana sempre inovou, criou, empreendeu em busca de mais conforto e bem estar. Cada invenção que se seguiu teve a finalidade de solucionar algum problema específico, e aprimorando nossa maior arma no processo evolutivo como mamíferos: a nossa capacidade de transmitir conhecimentos e criar uma história evolutiva e contínua.

Neste trabalho iremos entender a evolução dos números naturais que remontam às antigas civilizações que ainda existiam em cavernas, até o conjunto dos números racionais, tão importantes para a sociedade das grandes civilizações do período Greco-Romano.

Conjunto dos Números Naturais \(\mathtt{N}\)

São o primeiro conjunto numérico criado, tem seus primórdios remetidos às cavernas e primeiros assentamentos humanos. A representação como os conhecemos hoje é chamada de hindu-arábica, e é uma contribuição de pouco mais de 500 anos feita pelos grandes navegadores.

Recente também é a introdução do zero (0) dentro de sua constituição. Como no princípio foram criados com a finalidade de organizar e agrupar itens, pouco valor davam a representação de não ter nenhum item. Contudo, com os avanços das navegações e comercialização entre as diversas civilizações, tornou-se necessário incluir tal representação.

Assim os números naturais têm duas representações ou subconjuntos:

  • \(\mathtt{N} = \{0,1,2,3 \cdots \}\)
  • \(\mathtt{N}^* = \{1,2,3 \cdots \}\)

Dentro dos números naturais, surgiram conceitos importantes que até hoje são fundamentais para a nossa utilização. Destacamos:

  • Números pares: Sequência numérica infinita que é representada pelos números múltiplos de 2.

    Matematicamente é determinada pela seguinte expressão (algoritmo):

    \(par = 2 \cdot n\), onde \(n\) é todo número natural. \(n \in \mathtt{N}\).

  • Números ímpares: Sequência numérica infinita que é representada pelos números que não são múltiplos de 2.

    Matematicamente é determinada pela seguinte expressão (algoritmo):

    \(par = 2 \cdot n + 1\), onde \(n\) é todo número natural. \(n \in \mathtt{N}\).

  • Sucessor: É um conceito que determina qual será o próximo número tendo como referência um número dado, no caso n:

    Matematicamente é determinada pela seguinte expressão (algoritmo):

    \(sucessor = n + 1\), onde \(n\) é todo número natural. \(n \in \mathtt{N}\).

  • Antecessor: É um conceito que determina qual será o número anterior tendo como referência um número dado, no caso n:

    Matematicamente é determinada pela seguinte expressão (algoritmo):

    \(antecessor = n 1 1\), onde \(n\) é todo número natural. \(n \in \mathtt{N}^*\).

  • Números Primos: Os números primos são conhecidos como a unidade básica da contagem, não possuem divisores além de 1 ou si mesmo. Todo número é primo ou um produto de primos. Os primos iniciais até 20 são 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …. esta lista não tem fim. Sua pricincial utilidade está na construção de sistemas de criptografia e por isso tem grandes valores comerciais. Até os dias de hoje, não temos nenhuma maneira deterministica de se localizar um número primo. Na antiguidade utilizavamos o Crivo de Eratóstenes, mas recentimente um algoritmo denominado Primos de Mersenne, ambos são basicamente um teste de força bruta para localizar o próximo primo.

Atualmente existe um projeto chamado Great Internet Prime Search - GRIMPS, que pode ser acessado no link https://www.mersenne.org/ que disponibiliza blocos numéricos para quem quiser juntar-se a esse esforço de ‘minerar’ novos numeros primos. Saiba que isso exigirá um grande esforço computacional de sua máquina e poderá inutilizá-la para outro uso pelo tempo em que está fazendo os cáculos. O maior primo minerado até hoje, foi descoberto por ** GIMPS / Patrick Laroche** em 2018 sendo o número \(2^{82589933}-1\), com método/hardware L-L / Prime95 on Intel i5-4590T @ 2.0GHz.

Temos um prêmio de 1 milhão para quem conseguir encontrar definitivamente uma equação matemática que possa resolver e determinar a sequência de numeros primos, e é claro, quando isso acontecer todos os sistemas de segurança do mundo estarão comprometidos. Este e demais problemas milhonários da matemática podem ser entendidos com o livro Os Mistérios dos Números do autor Marcus du Santoy, editora ZAHAR. Uma excelente leitura para quem quiser aprender mais.

Conjunto dos números Inteiros \(\mathtt{Z}\)

Com a criação do comércio entre as tribos foi fundamental aos nossos antepassados ampliar o seu conjunto numérico, já que nas negociações, quantidades devem ser retiradas ou ficarem pendentes para serem pagas em momentos futuros.

Neste contexto surgiu o conjunto dos números inteiros, que tem a característica básica de criar um espelho as número naturais, ou seja, como eles iriam do zero ao infinito, teríamos agora valores anteriores ao zero que também convergem para o infinito. Assim surgiram os números negativos.

Uma particularidade que começa a ser explorada a partir desta criação, todo conjunto numérico que era inventado, deveria suprir uma necessidade não atendida pelo conjunto anterior. Assim, a nova criação traria uma inovação para atender uma demanda que anteriormente não estava sendo atendida.

Sua representação passa então a ser:

\[\begin{equation} \mathtt{Z} = \{ - \infty, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, + \infty \} \end{equation}\]

Como o conjunto natural, este passa a ter vários subconjuntos de sua representatividade:

  • Conjunto dos número inteiros não nulos:

\[\begin{equation} \mathtt{Z}^* = \{ - \infty, -4,-3,-2,-1,1,2,3,4, + \infty \} \end{equation}\]

  • Conjunto dos número inteiros não negativos:

\[\begin{equation} \mathtt{Z}_+ = \{ 0,1,2,3,4, + \infty \} \end{equation}\]

  • Conjunto dos número inteiros positivos:

\[\begin{equation} \mathtt{Z}_+^* = \{ 1,2,3,4, + \infty \} \end{equation}\]

  • Conjunto dos número inteiros não positivos:

\[\begin{equation} \mathtt{Z}_- = \{ - \infty, -4,-3,-2,-1,0 \} \end{equation}\]

  • Conjunto dos número inteiros negativos:

\[\begin{equation} \mathtt{Z}_-^* = \{ - \infty, -4,-3,-2,-1 \} \end{equation}\]

Passaram a ser representados também como uma reta numérica onde o zero (0) passa a ser o centro da reta que é infinita em dois sentidos, positivo e negativo. A figura abaixo mostra essa representação:

Conjuto dos números Inteiros
Conjuto dos números Inteiros

Este conjunto proporcionou um grande avanço às operações diárias das civilizações antigas, e também introduziu um conceito muito importante e adicional a utilização numérica dos símbolos, o conceito de distância.

Tendo o seu uso básico a representação de quantidades, os algoritmos numéricos (símbolos) passaram a ser utilizados para representação de distâncias, como também um novo conceito de operação para validar estas propriedades. Com este conjunto podemos compreender e utilizar o conceito de módulo ou valor absoluto de um número.

Representado por |a| e denominado valor absoluto de a ou simplesmente módulo de a, traz a seguinte compreensão.

\[ |a| = \left\{ \begin{array}{lll} a & \rightarrow & a >0 \\ -a & \rightarrow & a < 0 \end{array} \right. \]

Assim, o valor de |a| sempre terá resultado positivo, não importando o número que a represente. Isso é compreendido devido a distância percorrida por um corpo1 nunca ser negativa devendo sempre ser considerada como positiva. Negativo ou positivo é o sentido em que o corpo se desloca.

Conjunto dos Números Racionais \(\mathtt{Q}\)

Com a criação dos bancos e modernização do comércio as civilizações tiveram a necessidade de representar valores que eram frações do que usualmente tinham. Como exemplo podemos citar que uma pessoa precisa apenas de uma parte de um animal e não dele inteiro para sua alimentação.

Neste momento foi criado o conceito de números não inteiros e o conceito de números racionais, ou seja, oriundos da razão (divisão do todo em partes) passasse a incorporar as atividades diárias da humanidade.

Definimos matematicamente os números racionais como toda a fração ou divisão de dois números que possa ser expressa por:

\[\mathtt{Q} = \frac{a}{b} \quad | \quad a \in \mathtt{Z} \quad e \quad b \in \mathtt{Z}^*\]

Seguindo o já definido anteriormente, os número naturais, inteiros também são racionais, logo o que tivemos foi uma inovação dos conceitos e representações já existentes.

Assim, definimos: \(\mathtt{N} \subset \mathtt{Z} \subset \mathtt{Q}\)

Logo podemos chegar ao conjunto dos número racionais e seus subconjuntos como sendo:

  • Conjunto dos números racionais não nulos: \(\mathtt{Q}^* = \mathtt{Q} - \{0\}\)

  • Conjunto dos números racionais não negativos: \(\mathtt{Q}_+\)

  • Conjunto dos números racionais positivos: \(\mathtt{Q}^*_+ = \mathtt{Q}_+ - \{0\}\)

  • Conjunto dos números racionais não positivos: \(\mathtt{Q}_-\)

  • Conjunto dos números racionais negativos: \(\mathtt{Q}^*_- = \mathtt{Q}_- - \{0\}\)

Neste conjunto foram definidos novos conceitos numéricos, que passaremos a apresentar agora como inovações que foram disponibilizadas.

Racional Inteiro:

É determinado quando a divisão entre dois números racionais resulta um número inteiro: Ex: \(\frac{4}{2} = 2\)

Decimal exato:

É determinado quando a divisão entre dois números racionais resulta em um número não inteiro, porém finito. Ex: \(\frac{5}{2} = 2,5\)

A operação de soma e subtração de frações com o mesmo denominador é relativamente simples e pode ser realizada diretamente, sem a necessidade de encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC).

Para somar ou subtrair frações com o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores e manter o mesmo denominador. Por exemplo, se tivermos as frações 2/5 e 3/5, que possuem o mesmo denominador 5, podemos somá-las diretamente da seguinte forma:

\(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2+3}{5} = \frac{5}{5} = 1\)

Da mesma forma, para subtrair \(\frac{3}{5}\) de \(\frac{2}{5}\), podemos realizar a operação diretamente, já que elas possuem o mesmo denominador:

\(\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2-3}{5} = \frac{-1}{5}\)

Perceba que, ao subtrair as frações, o resultado pode ser negativo. Isso ocorre porque a subtração pode levar a uma fração menor do que a primeira.

Operações de adição e subtração de frações com denominadores diferentes podem parecer um pouco complicadas, mas existem métodos simples para facilitar o cálculo dessas operações. Um desses métodos é o uso do MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores.

O MMC é o menor múltiplo comum a dois ou mais números. Para calcular o MMC de dois números, podemos listar seus múltiplos até encontrarmos o menor múltiplo comum. Para calcular o MMC de três ou mais números, podemos usar a decomposição em fatores primos.

Por exemplo, vamos calcular o MMC de 2 e 3:

  • Os múltiplos de 2 são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, …

  • Os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …

O menor múltiplo comum entre 2 e 3 é 6. Portanto, o MMC de 2 e 3 é 6.

Para calcular a soma ou subtração de frações com denominadores diferentes, é necessário transformá-las em frações equivalentes com denominadores iguais, utilizando o MMC dos denominadores. O processo consiste em:

  • 1 Calcular o MMC dos denominadores das frações;
  • 2 Multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo fator que falta para atingir o denominador comum.

Por exemplo, vamos calcular a soma das frações \(\frac{2}{3}\) e \(\frac{5}{4}\):

  • O MMC de 3 e 4 é 12;
  • Multiplicamos \(\frac{2}{3}\) por \(\frac{4}{4}\), obtendo a fração equivalente \(\frac{8}{12}\);
  • Multiplicamos \(\frac{5}{4}\) por \(\frac{3}{3}\), obtendo a fração equivalente \(\frac{15}{12}\);
  • Agora podemos somar as frações: \(\frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}\).

O resultado é uma fração imprópria, que pode ser simplificada ou convertida em um número misto, se necessário.

O mesmo processo pode ser utilizado para subtração de frações com denominadores diferentes, substituindo a soma pela subtração na última etapa.

Portanto, ao realizar operações de adição e subtração de frações com denominadores diferentes, lembre-se de calcular o MMC dos denominadores e transformar as frações em frações equivalentes com denominadores iguais.

Decimal infinito:

É determinado quando a divisão entre dois números racionais resulta em um número não inteiro e infinito: \(\frac{1}{3} = 0,333 \cdots\) que também pode ser representado por \(0,\overline{3}\).

Com este avanço, introduzimos conceitos interessantes como: Dividendo, Divisor, Quociente, Resto, Geratriz de Dízimas periódicas.

  • Dízima periódica: Número decimal infinito que tem um período que se repete indefinidamente.

  • Geratriz: Fração racional que tem como resultado uma dízima periódica.

Exemplos:

\(\frac{1}{3} = 0,333 \cdots\), onde a fração \(\frac{1}{3}\) é a Geratriz e o período da dízima é 3.

\(\frac{5}{33} = 0,151515 \cdots\), onde a fração \(\frac{5}{33}\) é a Geratriz e o período da dízima é 15.

Para transformar uma dízima periódica em uma fração geratriz, podemos seguir os seguintes passos:

  • Passo 1: Identificar o período e deixá-lo imediatamente após a vígula, nomeá-lo de I;

  • Passo 2: Fazer sucessivas multiplicações por 10 até o período estar antes da vígula, nomeá-lo de II

  • Passo 3: Fazer a subtração das duas equações Passo 2 - Passo 1, montando um sistema de equações

Exemplo:

Para transformar essa dízima em fração geratriz, primeiro vamos executar o passo 1, e designar a letra x para essa fração:

\(x = 0,4545 \cdots\) esse é o passo 1;

Em seguida, multiplicamos x por 100 para eliminar a parte decimal repetitiva:

\(100x = 45,4545\cdots\), esse é o passo 2

Agora, vamos subtrair x de 100x para eliminar a parte repetitiva:

\[ (-) \left\{ \begin{array}{lll} 100x & = & 45 , 454545 \cdots \\ x & = & 00,454545 \cdots\\ \hline \end{array} \right. \]

\[100x -x =45\] \[99x = 45\] \[x = \frac{45}{99}\] \[x = \frac{5}{11}\]

Portanto, a fração geratriz correspondente à dízima periódica \(0,4545 \cdots\) é \(\frac{5}{11}\).

Aplicações e exemplos:

Vamos agora apresentar técnicas para que possamos trabalhar com os números racionais.

Exercícios do Capítulo

Numeros Inteiros

  • 1 Calcule a soma: 15 + (-27) + 18 + (-6) + (-10).

  • 2 Calcule o produto: (-3) . (-7) . 2 . (-4).

  • 3 Calcule a diferença: (-4) - 5 - (-9) + 2.

  • 4 Calcule o quociente: (-72) / 9.

  • 5 Calcule o resultado da expressão: 3 . (-4) + 2 . 5 - (-8) / 2.

  • 6 Calcule a soma: (-9) + 12 + (-6) + 18 + (-3).

  • 7 Calcule o produto: 6 . (-2) . (-5) . 3 . (-4).

  • 8 Calcule a diferença: (-5) - (-7) - 4 - 2.

  • 9 Calcule o quociente: (-120) / (-5).

  • 10 Calcule o resultado da expressão: (-2) . 3 + (-5) / (-2) - 6 . (-1).

Sobre as Frações

  • 11 Calcule a soma: 1/4 + 3/8.

  • 12 Calcule o produto: 2/5 . 7/9.

  • 13 Calcule a diferença: 3/4 - 1/3.

  • 14 Calcule o quociente: 3/5 ÷ 2/3.

  • 15 Calcule o resultado da expressão: 1/2 + 1/3 - 1/4.

  • 16 Calcule a soma: 5/6 + 1/3 + 1/4.

  • 17 Calcule o produto: 3/4 . 5/6 . 2/5.

  • 18 Calcule a diferença: 7/8 - 1/5.

  • 19 Calcule o quociente: 2/3 ÷ 3/4.

  • 20 Calcule o resultado da expressão: 3/5 - 1/2 + 2/3.

Dízimas Periódicas

  • 21 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,666…

  • 22 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,333…

  • 23 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,818181…

  • 24 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,123123…

  • 25 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,272727…

  • 26 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,166666…

  • 27 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,636363…

  • 28 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,767676…

  • 29 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,111…

  • 30 Escreva a fração correspondente à dízima periódica 0,151515…

  1. Adotamos neste caso o conceito de corpo como sendo qualquer objeto, elemento ou ser em movimento.↩︎