Trabajo de Investigacion de Operaciones
Joao Nelo C.I : 11.554.983
2023-07-23
Problema 1 (Problema 17 de la guia)
Una Industria de productos quimicos decide abordar el problema de la contaminacion y a la vez incrementar las utilidades que obtienen en la venta d eun producto A. Con estos objetivos la industria introduce un sistema S1 de produccion, diferente al S0 que actualmente utiliza y mediante el cual se pierden 10 gramos de un compuesto B y 50 gramos de otro compuesto C por cada kilogramo que obtiene de A. Mediante el sistema S! se pierden 20 y 30 gramos de B y C respectivamente por cada Kilogramo del producto A. Mediante los sistemas S0 y S1 la industria obtiene utilidades de Bs. 0,35 y Bs. 0,63 por cada kilogramo de A. Por otra parte, la industria no puede, debido a normas legales de contaminacion, permitir emanaciones mayores que 10.000 Kg y 40.000 Kg de los compuestos B y C, respectivamente. Cuantos kilogramos del producto A deben producirse en cada sistema para optimizar la utilidad, cumpliento con las normas que regulan la contaminacion?, Cual es la utilidad maxima?
Planteamiento del problema
Se trata de un problema de maximizacion del Beneficio economico de la empresa, medido en centimos de Bs/Kilogramos, al producir el producto A, el cual esta sujeto a las restricciones de no contaminacion derivada de los compuestos B y C (gramos/Kilo). La ecuacion matematica seria:
Sea la cantidad de produccion del producto A en kilogramos: \(S_0\) = \(X_1\) y \(S_1\) = \(X_2\), la funcion de utilidad de la empresa vendra dada por: \[ Max \mathbf {Z} = X_1\times 0.35 + X_2\times 0.63 \] La anterior funcion de utilidad estara sujeta a las siguientes restricciones: Las correspondientes a las normas de maximos niveles de contaminacion por los compuestos B y C empleados en la produccion de A por cada kilogramo producido. Por el compuesto B: \[ X_1\times 10 + X_2 \times 20 = 10000 \] Por el compuesto C: \[ X_1\times 50 + X_2 \times 30 = 40000 \]
Siendo el modelo final de maximizacion del beneficio el siguiente:
\[ \bf{Max} \mathbf {Z} = X_1\times 0.35 + X_2\times 0.63 \] s.a:
\[ X_1\times 10 + X_2 \times 20 = 10000 \] \[ X_1\times 50 + X_2 \times 30 = 40000 \] Condicion de no negatividad \[ X_1, X_2 \geq 0 \]
Resolucion del Problema
El ejercicio presenta los siguientes resultados:
El valor de la funcion objetivo seria: Utilidad en Bs.
## [1] 340Los valores objetivos de las variables \(X_1\) y \(X_2\), (cantidad de Kilogramos del producto A) en nuestro caso la cantidad a producir por el sistema \(S_0\) y \(S_1\), serian respectivamente
## 1 2
## 714.2857 142.8571Solucion Grafica
Interpretacion Economica
Se puede apreciar que a pesar de que el sistema \(S_1\) presenta una utilidad de 1,8 veces mayor que el sistema \(S_0\), la mayor cantidad de la produccion se concentra en el \(S_0\) con la menor utilidad de Bs. 0,35, esto se debe a que cuando se realizo la evaluacion de la inversion en el nuevo sistema, no se considero (o se espera que en el futuro esta cambie) la restriccion del contaminante B solo 10.000 Kg de emision, lo que coloca al \(S_0\) con una ventaja al solo producir 10 gr por cada Kg producido de A mientras que el nuevo sistema \(S_0\) emite el doble 20 gr por cada kg de A. Es por eso que en la tabla siguiente se puede apreciar del analisis de Sensibilidad del \(S_0\) que a pesar de que su utilidad pudiera llegar a ser de has 1,05 Bs. esto no cambiaria la solucion objetivo, es decir, asignacion de capacidad de produccion entre ambos sistemas, debido a la restriccion de emision de contaminantes de 10.000 Kg, notese que el rango del sistema \(S_0\) es mucho mayor al del sistema \(S_1\).
Problema 2 (Problema 19 de la guia)
Una compañia desea fabricar una nueva aleacion compuesta de 30% de plomo, 20% de zinc y 50% de laton. La materia prima se puede obtener de 5 materiales (1,2,3,4,y 5) cuyas propiedades y costos por kilogramos (kg) se señalan en la tabla siguiente:
Material Propiedad |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| % plomo | 30 | 10 | 50 | 10 | 50 |
| % zinc | 60 | 20 | 20 | 10 | 10 |
| % laton | 10 | 70 | 30 | 80 | 40 |
| Total | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 |
| Costo (BsKg) | 8,5 | 6 | 8,9 | 5,7 | 8,8 |
El objetivo es determinar las proporciones que deben tomarse de los materiales 1,2,3,4 y 5 para formar 1 Kg de la nueva aleacion a un costo minimo
Planteamiento del problema
Se trata de un problema de minimizacion de Costos de Produccion, en donde, de 5 materiales se debe seleccionar una proporcion que permita la produccion de 1Kg de la nueva aleacion, con la restriccion de que su composicion debe ser ( 30% plomo, 20% zinc y 50% laton) , tomando de los materiales la porcion que garantice el menor costo: Funcion objetivo: Material 1 = \(X_1\) Material 2 = \(X_2\) Material 3 = \(X_3\) Material 4 = \(X_4\) Material 5 = \(X_5\) \[ Min \mathbf {Z} = X_1\times 8.5 + X_2\times 6 + X_3\times 8.9 + X_4 \times 5.7 + X_5 \times 8.8 \] La anterior funcion de utilidad estara sujeta a las siguientes restricciones: la composicion del nuevo material debe ser una combinacion de: Proporcion de Plomo en la nueva aleacion: \[ X_1\times 0.3 + X_2 \times 0.1 + X_3 \times 0.1 + X_4 \times 0.10 + X_5 \times 0.50 >= 0.30 \] Proporcion de Zinc en la nueva aleacion: \[ X_1\times 0.6 + X_2 \times 0.2 + X_3 \times 0.2 + X_4 \times 0.10 + X_5 \times 0.10 >= 0.20 \] Proporcion de Laton en la nueva aleacion: \[ X_1\times 0.1 + X_2 \times 0.7 + X_3 \times 0.3 + X_4 \times 0.80 + X_5 \times 0.40 >= 0.50 \] Para garantizar que la nueva aleacion tenga el peso de 1Kg: \[ X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 <= 1 \]
Siendo el modelo final de maximizacion del beneficio el siguiente: \[ Min \mathbf {Z} = X_1\times 8.5 + X_2\times 6 + X_3\times 8.9 + X_4 \times 5.7 + X_5 \times 8.8 \] s.a: \[ X_1\times 0.3 + X_2 \times 0.1 + X_3 \times 0.1 + X_4 \times 0.10 + X_5 \times 0.50 >= 0.30 \]
\[ X_1\times 0.6 + X_2 \times 0.2 + X_3 \times 0.2 + X_4 \times 0.10 + X_5 \times 0.10 >= 0.20 \] \[ X_1\times 0.1 + X_2 \times 0.7 + X_3 \times 0.3 + X_4 \times 0.80 + X_5 \times 0.40 >= 0.50 \] \[ X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 <= 1 \]
Condicion de no negatividad \[
X_1, X_2,X_3, X_4, X_5 \geq 0
\]
Resolucion del Problema
El ejercicio presenta los siguientes resultados:
El valor de la funcion objetivo seria: Costo Minimo por producir un Kg de la nueva aleacion en USD.
## [1] 7.522222Los valores objetivos de las variables \(X_1\) y \(X_2\),\(X_3\) y \(X_4\) y \(X_5\), (cantidad de los materiales 1,2,3,4, y 5) en nuestro caso la cantidad que llevara la nueva aleacion con peso de (30% plomo,20% zinc y 50% laton), serian respectivamente:
## 1 2 3 4 5
## 0.1111111 0.4444444 0.0000000 0.0000000 0.4444444No se tomarian los materiales 2 y 4 para la produccion de esta nueva aleacion
Solucion Grafica
No aplica al estar en la funcion objetivo presente mas de dos variables
Interpretacion Economica
Producir un kg de la nueva aleacion con composicion ( 30% plomo, 20% zinc y 50% Laton) tendria un costo de 11,64 USD, con un nivel de concentracion o dependencia del precio de los materiales 1, 3 y 4. Dado este nivel de dependencia de acuerdo a los valores correspondientes a las columnas min.c y max.c que muestran los valores minimos y maximos de los coeficientes de cada \(X_i\) material, el precio del material \(X_4\) seria el que ofreceria mayores oportunidades de manejo ya que apesar de su posibilidad de incrementos en los costos, la solucion objetivo se mantendria, esta situacion no ocurriria para el material \(X_3\), cuyo rango entre 5,81 y 9,15 USD por estar muy cerca del valor actual 8,9 USD que la empresa debe estar evaluando posibilidades de obtener nuevos materiales a costos menores, que le permitan en caso de un encarecimiento del marterial \(X_4\), poder mantener el costo de produccion de su nueva aleacion a un precio competitivo.
Problema 3 (Problema 20 de la guia)
Todo almacen tiene potencialmente mas articulos para exhibir y vender de lo que permite el espacio. Por consiguiente el problema que afronta el administrador de un almacen consiste en decidir cuales articulos debe almacenar y cuanto espacio debe asignar a cada articulo. Este es un problema de distribucion de recursos escasos, que conduce por si mismo, a una formulacion de programacion lineal. Para simplificar el problema se ha restringido el numero de articulos y el espacio disponible, sin embargo con cantidades mas reales la formulacion y el metodo de solucion permanecen invariables. Se han acumulado los siguientes datos:
| Numero del Articulo | Demanda Esperada | Ganacia/unidad, centavos | Espacio/unidad, pulg2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 50 | 2 | 10 |
| 2 | 35 | 2 | 7 |
| 3 | 25 | 3 | 9 |
| 4 | 20 | 4 | 11 |
| 5 | 45 | 4 | 11 |
| 6 | 50 | 6 | 12 |
| 7 | 45 | 5 | 14 |
| 8 | 40 | 5 | 14 |
| 9 | 30 | 6 | 10 |
| 10 | 50 | 4 | 8 |
| 11 | 35 | 2 | 14 |
| 12 | 50 | 6 | 8 |
| 13 | 20 | 5 | 11 |
| 14 | 25 | 3 | 12 |
| 15 | 30 | 4 | 9 |
| 16 | 20 | 2 | 7 |
| 17 | 60 | 2 | 10 |
| 18 | 35 | 1 | 16 |
| 19 | 25 | 5 | 11 |
| 20 | 45 | 4 | 15 |
Si todos los articulos fueran almacenados hasta sus niveles esperados de demanda se requeriran aproximadamente 8105 pulg2 de area de armario. El administrador solo dispone de 5760 pulg2 de espacio para distribuir estos articulos y por consiguiente el problema consiste en repartir el espacio para maximizar la ganancia. El administrador quiere imponer algunas restricciones arbitrarias a causa de las preferencias de los clientes, compromisos previos, etc. El administrador requiere cantidades minimas para la exhibicion de cuatro articulos:
| Numero del articulo | Cantidad Minima |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 12 | 10 |
| 16 | 10 |
| 17 | 10 |
Planteamiento del problema
Se trata de un problema de maximizacion de Ganancias sujeto a la restriccion del espacio del almacen, dado el espacio que ocupan cada uno de los articulos, y las cantidades minimas de ciertos productos, que de acuerdo a la informacion suministrada por el administrador deben mantenerse una cantidad minima. Las variables \(X_i\) {1,2,…..,20} representaran a cada uno de los 20 articulos con los cuales el administrador pretende maximizar la ganancia dada la utilidad de cada articulo (expresada en centavos de dolar por unidad) en funcion al espacio que pueden ocupar dentro del almacen (expresado en pulgadas al cuadrado) \[ Max \mathbf {Z} = X_1\times 0.02 + X_2\times 0.02 + X_3\times 0.03 + X_4 \times 0.04 + X_5 \times 0.04 + X_6 \times 0.06 + X_7 \times 0.05 + X_8 \times 0.05 + X_9 \times 0.06 + X_10 \times 0.04 + X_11 \times 0.02 + X_12 \times 0.06 + X_13 \times 0.05 + X_14 \times 0.03 + X_15 \times 0.04 + X_16 \times 0.02 + X_17 \times 0.02 + X_18 \times 0.01 + X_19 \times 0.05 + X_20 \times 0.04 \] La anterior funcion de utilidad estara sujeta a las siguientes restricciones: El espacio disponible en el armario con el que cuenta el Administrador un total de 5.760 pulg2: \[ X_1\times 10 + X_2\times 7 + X_3\times 9 + X_4 \times 11 + X_5 \times 11 + X_6 \times 12 + X_7 \times 14 + X_8 \times 14 + X_9 \times 10 + X_10 \times 8 + X_11 \times 14 + X_12 \times 8 + X_13 \times 11 + X_14 \times 12 + X_15 \times 9 + X_16 \times 7 + X_17 \times 10 + X_18 \times 16 + X_19 \times 11 + X_20 \times 15 = 5760 \] Los productos que debido a ciertos criterios, deben permanecer un minimo no menor a 10 cada uno: \[ X_1 >= 10 \]
\[ X_{12}>= 10 \] \[ X_{16} >= 10 \] \[ X_{17}>= 10 \] Y por ultimo a fin de no comprar mas inventarios innecesarios de acuerdo a las ganancias que puedan proporcionar en funcion a su demanda esperada, la restriccion de que la cantidad de dichos articulos no puede ser mayor a su cantidad demandada esperada:
\[ X_1<= 50;X_2<=35; X_3<=25 ; X_4<=20; X_5<=45; X_6<=50 ; X_7<=45; X_8<=40; X_9<=30; X_{10}<=50 \] \[ X_{11}<=35; X_{12}<=50; X_{13}<=20; X_{14}<=25; X_{15}<=30; X_{16}<=30; X_{17}<=60; X_{18}<=35; X_{19}<=25; X_{20}<=45 \] Siendo el modelo final de maximizacion del beneficio el siguiente: \[ Max \mathbf {Z} = X_1\times 0.02 + X_2\times 0.02 + X_3\times 0.03 + X_4 \times 0.04 + X_5 \times 0.04 + X_6 \times 0.06 + X_7 \times 0.05 + X_8 \times 0.05 + X_9 \times 0.06 + X_10 \times 0.04 + X_11 \times 0.02 + X_12 \times 0.06 + X_13 \times 0.05 + X_14 \times 0.03 + X_15 \times 0.04 + X_16 \times 0.02 + X_17 \times 0.02 + X_18 \times 0.01 + X_19 \times 0.05 + X_20 \times 0.04 \] s.a: \[ X_1\times 10 + X_2\times 7 + X_3\times 9 + X_4 \times 11 + X_5 \times 11 + X_6 \times 12 + X_7 \times 14 + X_8 \times 14 + X_9 \times 10 + X_10 \times 8 + X_11 \times 14 + X_12 \times 8 + X_13 \times 11 + X_14 \times 12 + X_15 \times 9 + X_16 \times 7 + X_17 \times 10 + X_18 \times 16 + X_19 \times 11 + X_20 \times 15 = 5760 \]
\[ X_1 >= 10 \]
\[ X_{12} >= 10 \]
\[ X_{16} >= 10 \]
\[ X_{17} >= 10 \]
\[ X_1<= 50;X_2<=35; X_3<=25 ; X_4<=20; X_5<=45; X_6<=50 ; X_7<=45; X_8<=40; X_9<=30; X_{10}<=50 \] \[ X_{11}<=35; X_{12}<=50; X_{13}<=20; X_{14}<=25; X_{15}<=30; X_{16}<=30; X_{17}<=60; X_{18}<=35; X_{19}<=25; X_{20}<=45 \]
Condicion de no negatividad \[ X_2 , X_3, X_4, X_5, X_6, X_7, X_8, X_9, X_{10}, X_{11}, X_{13}, X_{14}, X_{15}, X_{18}, X_{19}, X_{20} \geq 0 \]
Resolucion del Problema
El Problema presenta las siguientes soluciones:
El valor de la funcion objetivo seria: Utilidad en USD.
## [1] 23.89667Los valores objetivos de las variables \(X_i\) para i:{1,2,…..20}, (cantidad optima de los diferentes productos dado su espacio y la utilidad individual por articulo que reportan)
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 10.00000 35.00000 25.00000 20.00000 45.00000 50.00000 45.00000 40.00000
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 30.00000 50.00000 0.00000 50.00000 20.00000 0.00000 30.00000 20.00000
## 17 18 19 20
## 10.00000 0.00000 25.00000 38.66667Solucion Grafica
No aplica al estar en la funcion objetivo presente mas de dos variables
Interpretacion Economica
Este problema presenta una solucion interesante los 23,90 USD aproximados de ganancia por atender de manera optima la posible demnnda de los \(X_i\) para i:{1,2,….,20} productos en atencion al espacio del almacen , como de las condiciones de cantidades minimas para algunos productos (\(X_1\), \(X_{12}\),\(X_{16}\),\(X_{17}\)) de este grupo los productos \(X_1\),\(X_{17}\) se les asigno la cantidad minima exigida 10 unidades cada uno, lo que equivale a decir que su relacion utilidad/espacio ocupado no era la mas ventajosa con respecto al resto de los productos, lo que seria un indicio de alerta frente a otros productos como (\(X_{11}\),\(X_{14}\),\(X_{18}\)) que tuvieron una asignacion de 0 unidades.
| Producto | Utilidad , centavos USD | Espacio/ pulgadas2 | Razon (Utilidad/Espacio) |
|---|---|---|---|
| \(X_1\) | 0.02 | 10 | 0.002 |
| \(X_{17}\) | 0.02 | 10 | 0.002 |
| \(X_{11}\) | 0.02 | 14 | 0.00142 |
| \(X_{14}\) | 0.03 | 12 | 0.0025 |
| \(X_{18}\) | 0.01 | 16 | 0.000625 |
Como puede apreciarse en el modelo la razon de utilidad del articulo \(X_{14}\) es superior a la de los articulos \(X_1\) y \(X_{17}\) con cantidades minimas de 10 unidades cada uno cuya utilidad reportada fue de apenas 0,40 centavos de dolar, sin embargo , si se cumple la demanda esperada de 25 unidades para el articulo \(X_{14}\) la utilidad reportada seria de 0,75 centavos de dolar , unos 0,35 centavos mas que lo reportado por los productos establecidos como obligatorios. situacion que debe llevar a la revision de las restricciones de cantidades minimas las cuales no permitan alcanzar el optimo potencial de la empresa.
Problema 4 (Problema 35 de la guia)
Una compaia tiene cinco proyectos en los cuales invertir durante los proximos 5 años. El valor presente del retorno sobre la inversion y el capital ( valor presente) requerido por cada proyecto de cada año, se muestra en la siguiente tabla:
| Proyecto | Retorno/Año | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 30000 | 150 | 180 | 210 | 240 | 0 |
| 2 | 60000 | 240 | 180 | 120 | 0 | 0 |
| 3 | 45000 | 120 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 240000 | 360 | 420 | 480 | 510 | 630 |
| 5 | 450000 | 750 | 900 | 1200 | 0 | 0 |
| Inversion Disponible (miles) | 930 | 1290 | 1530 | 1830 | 2100 |
Determine la cantidad de dinero que debe asignarse a cada proyecto a fin de maximizar el valor presente del retorno sobre la inversion
Planteamiento del problema
Se trata de un problema de maximizacion del retorno de un capital a invertir cada año sobre 5 proyectos, sin embargo, aqui debemos hacer la siguiente salvedad que emplearemos en la resolucion del ejercicio. Como estas aplicando resolucion de Problemas de Programacion Lineal (PPL) asumiremos que las variables o incognitas pueden tomar valores continuos, en este tipo de ejercicios generalmente la variable decisoria es una variable binaria de (0-1, tema que corresponderia a la resolucion de problemas de programacion no lineal (PNL)) ya que el proyecto se toma en su totalidad o no ya que las entradas parciales, en la realidad, no arrojarian retornos parciales en los proyectos, de igual forma la sobreinversion de recursos por encima de los requeridos tampoco garantiza una obtencion de mayores beneficios, ya que se asume que estos estas derivados de relaciones tecnicas no cambiantes, es decir, vienen determinados en forma deterministica. Por lo antes expuetso asumiremos que el inversionista no puede sobre invertir, es decir , adicionar mas flujos a los establecidos en cada proyecto, pero si puede sub-invertir es decir, invertir por debajo de los flujos requeridos en cada proyecto y obtener un retorno proporcional al flujo invertido en dicho proyecto.
\[ Max \mathbf {Z} = 30000\times X_1 + 60000\times X_2 + 45000\times X_3+ 240000\times X_4 + 450000\times X_5 \] La anterior funcion de utilidad estara sujeta a las siguientes restricciones:
El flujo anual de capital requerido a valor presenta no puede exceder los limites establecidos por la tesoreria: Año 1: \[ 150\times X_1 + 240\times X_2 + 120\times X_3 + 360\times X_4 + 750\times X_5 <= 930 \] Año 2: \[ 180\times X_1 + 180\times X_2 + 0\times X_3 + 420\times X_4 + 900\times X_5 <= 1290 \] Año 3: \[ 210\times X_1 + 120\times X_2 + 0\times X_3 + 480\times X_4 + 1200\times X_5 <= 1530 \] Año 4: \[ 240\times X_1 + 0\times X_2 + 0\times X_3 + 510\times X_4 + 0\times X_5 <= 1830 \] Año 5: \[ 0\times X_1 + 0\times X_2 + 0\times X_3 + 630\times X_4 + 0\times X_5 <= 2100 \] La restriccion correspondiente a cumplir con el capital requerido, en cada uno de los proyectos a traves del tiempo: Proyecto 1: \[ 150\times X_1 + 180\times X_1 + 210\times X_1 + 240\times X_1 >= 1080 \] Proyecto 2: \[ 240\times X_2 + 180\times X_2 + 120\times X_2 >= 540 \] Proyecto 3: \[ 120\times X_3 >= 120 \] Proyecto 4: \[ 360\times X_4 + 420\times X_4 + 480\times X_4 + 510\times X_4 + 630\times X_4 >= 2400 \] Proyecto 5: \[ 750\times X_5 + 900\times X_5 + 1200\times X_5 >= 2850 \] Restriccion relacionado con la participacion del propyecto, a fin de que los valores de las variables \(X_i\) sean 1 o 0 \[ X_1, X_2,X_3,X_4,X_5 <= 0 \]
\[ X_1, X_2,X_3,X_4,X_5 <= 1 \]
\[ X_1, X_2,X_3,X_4,X_5 >= 1 \]
Condicion de no negatividad \[ X_1, X_2, X_3, X_4,X_5\geq 0 \]
Resolucion del Problema
El problema presenta las siguientes respuestas:
El valor de la funcion objetivo seria: El retorno Total seria de unos 582.000 USD.
## [1] 582000Los valores optimos se corresponden con la entrada total en el proyecto 4 mas un 76% de participacion en el proyecto 5, los dos proyectos con los retornos mas elevados. Debemos tener presente que aqui la respuesta se debe a que asumimos de que el cliente puede participar parcialmente en los proyectos.
## 1 2 3 4 5
## 0.00 0.00 0.00 1.00 0.76Solucion Grafica
No aplica al estar en la funcion objetivo presente mas de dos variables
Interpretacion Economica
En el ejercicio se puede apreciar que la totalidad en valores presentes de los flujos requeridos de los proyectos equivale a 6.990USD mientras que la totalidad de los recursos de la Tesoreria para invertir es de 7.680USD, lo que implica que la oferta de recursos es superior a la demanda (requerimientos de Inversion), lo que implican que quedan flujos disponibles, que obligaran al Tesorero y directiva de la empresa a canalizarlos como excedentes en inversiones sobre activos financieros y el seguir intensificando la viabilidad de los proyectos existentes u otros nuevos, adecuados al momento u oportunidad en que los excedentes de caja son producidos por la empresa.
El resultado de este ejercicio nos demuestra la capacidad que tiene el modelo de Programacion Lineal, para orientarnos en los procesos de toma de desiciones, sin embargo, tambien debemos de tomar en cuenta la naturaleza de los problemas y las limitaciones propias de esta metodologia, la cual no es aplicable en la resolucion de todo tipo de problema.
Problema 5 (Problema 39 de la guia)
Cierta compañia tiene tres plantas cada una con cierta capacidad de produccion. Las tres pueden fabricar un determinado producto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano, pequeño, que daran una ganancia neta de Bs. 420, Bs. 360 y Bs. 300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diariamente, sin importar el tamaño o la combinacion de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone tambien una limitacion en las tasas de produccion del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 metros cuadrados de espacio en las plantas 1,2 y 3, para los materiales en proceso de produccion diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana, pequeña que se produce requiere 20, 15 y 12 metros cuadrados, respectivamente. Los pronosticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño. El gerente quiere saber cuantas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia.
| Producto | Ganancia | Produccion diaria | Espacio requerido | Demanda Diaria |
|---|---|---|---|---|
| Grande | 420 | 750 | 20 | 900 |
| Mediano | 360 | 900 | 15 | 1200 |
| Pequeño | 300 | 450 | 12 | 750 |
Determine la cantidad de dinero que debe asignarse a cada proyecto a fin de maximizar el valor presente del retorno sobre la inversion
Planteamiento del problema
Se trata de un problema de maximizacion de ganancias, considerando la produccion de tres productos (Grande, Mediano, Pequeño) que seran nuestras variables a determinar, pero como estan se realizan en tres plantas las cuales tienen la capacidad de producir cualquiera de los tamaños del producto, entonces procederemos a dividir las producciones en tres grupos por cada planta. Replanteando el problema tenemos:
| Producto | Planta 1 | Planta 2 | Planta 3 |
|---|---|---|---|
| Grande | \(X_1\) | \(X_2\) | \(X_3\) |
| Mediano | \(X_4\) | \(X_5\) | \(X_6\) |
| Pequeño | \(X_7\) | \(X_8\) | \(X_9\) |
La funcion objetivo a maximizar la ganancia por cada uno de los diferentes productos seria:
\[ Max \mathbf {Z} = 420\times (X_1 +X_2 + X_3) + 360\times (X_4 + X_5 + X_6) + 300\times (X_7 + X_8 + X_9) \]
La anterior funcion de utilidad estara sujeta a las siguientes restricciones:
La capacidad de almacenamiento disponible
Planta 1: \[ 20\times X_1 + 15\times X_4 + 12\times X_7 <= 13000 \] Planta 2: \[ 20\times X_2 + 15\times X_5 + 12\times X_8 <= 12000 \] Planta 3: \[ 20\times X_3 + 15\times X_6 + 12\times X_9 <= 5000 \]
La capacidad de produccion diaria:
Planta 1: \[ X_1 + X_4 + X_7 <= 750 \] Planta 2: \[ X_2 + X_5 + X_8 <= 900 \] Planta 3: \[ X_3 + X_6 + X_9 <= 450 \]
La demanda estimada diaria:
Producto Grande: \[ X_1 + X_2 + X_3 <= 900 \] Producto Mediano:
\[ X_4 + X_5 + X_6 <= 1200 \]
Producto Pequeño:
\[ X_7 + X_8 + X_9 <= 750 \] Siendo el modelo final de maximizacion del beneficio el siguiente:
\[ Max \mathbf {Z} = 420\times (X_1 +X_2 + X_3) + 360\times (X_4 + X_5 + X_6) + 300\times (X_7 + X_8 + X_9) \]
s.a:
\[ 20\times X_1 + 15\times X_4 + 12\times X_7 <= 13000 \]
\[ 20\times X_2 + 15\times X_5 + 12\times X_8 <= 12000 \]
\[ 20\times X_3 + 15\times X_6 + 12\times X_9 <= 5000 \]
\[ X_1 + X_4 + X_7 <= 750 \] \[ X_2 + X_5 + X_8 <= 900 \]
\[ X_3 + X_6 + X_9 <= 450 \]
\[ X_1 + X_2 + X_3 <= 900 \]
\[ X_4 + X_5 + X_6 <= 1200 \]
\[ X_7 + X_8 + X_9 <= 750 \]
Condicion de no negatividad
\[ X_1, X_2,X_3, X_4,X_5, X_6,X_7, X_8,X_9 \geq 0 \]
Resolucion del problema
El problema presenta los siguientes resultados:
El valor de la funcion objetivo seria: Utilidad en USD.
## [1] 708000El valor objetivo es de 708.000 USD de maximizacion de la ganancia con el nivel de produccion optimo obtenido
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 350.0000 0.0000 0.0000 400.0000 533.3333 0.0000 0.0000 333.3333
## 9
## 416.6667La distribucion de la produccion quedaria de la siguiente manera:
| Producto\Planta | 1 | 2 | 3 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Grande | 350 | 0 | 0 | 350 |
| Mediano | 400 | 533,33 | 0 | 933,33 |
| Peque;o | 0 | 333,33 | 416,67 | 750 |
| Totales | 750 | 866,66 | 416,67 | 2.033,33 |
El total nivel de produccion son 2.033,33 unidades, distribuidas en 350 Grandes, 933,33 Medianas y 750 Peque;as
Solucion Grafica
No aplica al estar en la funcion objetivo presente mas de dos variables
Interpretacion Economica
Se puede apreciar de acuerdo a lo que estblece la teoria economica en cuanto a las economias de escala, al lograr mayores capacidades de produccion que tienden a reducir los costos de produccion se maximizan las ganancias, de igual forma cuando las empresas pueden segmentar mercados (preferencias de clientes por diferentes tipos o presentaciones del producto) se puede capturar mucho mas el excedente del consumidor via precios de los productos. En este ejercicio se puede apreciar que la produccion del producto Peque;o, alcanza el nivel esperado de su demanda, eso es principalmente porque su costo de almacenamiento es el menor, a pesar de que la ganancia obtenida es la menor entre los productos, pero si comparamos la razon de utilidad del producto por costo de almacenamiento, tenemos lo siguiente:
| Producto | Utilidad | Costo almacenamiento | Razon Utilidad-Costo |
|---|---|---|---|
| Grande | 420 | 20 | 21 |
| Mediano | 360 | 15 | 24 |
| Pequeño | 300 | 12 | 25 |
Como se puede apreciar esta relacion es menor, por lo que la empresa debera evaluar las condiciones de fabricacion de sus otros productos, en virtud de que existe una demanda insatisfecha (mas de 800 productos para un nivel estimado de 2.850, de productos Grandes y Medianos , la cual podria estar mal calculada y ameritaria revisar las estimaciones de mercado) o en caso de que la demanda estimada este bien calculada entonces ameritaria revisar, para un horizonte de mediano y largo plazo, los actuales procesos de produccion a fin de poder maximizar las capacidades de produccion y poder llevar estos a niveles de la demanda del mercado y revisar el proceso de costos de almacenamiento, en un horizonte de largo plazo, que tal vez contribuya a mejores margenes y mayores niveles de produccion.