Análisis Estadístico del Experimento de Lenteja expuesta a Cloruro de Litio y Detergente
Dr. Arturo Cabrera Hernández, M.I.I. Gabriel Grosskelwing Núñez
2023-08-01
1 Introducción
Este experimento se llevó a cabo en las insalaciones del Laboratorio
de Investigación Avanzada del Tecnológico Nacional de México Campus
Misantla. Estuvo a cargo del Dr. Arturo Cabrera Hernández como
coordinador y fue ejecutado por las alumnas de la carrera de Ingeniería
Bioquíca Esmeralda Anahí Martínez Carabarín y Michel Valeria Merino
Cárcamo.
El objetivo de este experimento fue estudiar los efectos en el
desarrollo de la semilla de lenteja Lens culinaris del Cloruro
de Litio (LiCl) medido en ppm y un detergente líquido para lavar trastes
de marca comercial medido en ml por litro, diferentes concentraciones,
lasa cuales fueron:
| Cloruro de Litio (LiCl) | Detergente |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 15 | 2.5 |
| 30 | 5 |
| 45 | 7.5 |
| 60 | 10 |
Para validar dichos efectos se midieron las siguientes variables:
- Longitud de Raíz (cm)
- Longitud de Tallo (cm)
- Peso de Raíz (gr)
- Peso de Tallo (gr)
El experimento se llevó a cabo sin controlar variables ambientales,
dentro de contenedores para simular condiciones de invernadero.
La estructura del siguiente análisis se compone de la siguiente
manera:
- Análisis de Curvas de Germinación
- Análisis de Efectos para la variable Longitud de Raíz
- Análisis de Efectos para la variable Longitud de Tallo
- Análisis de Efectos para la variable Peso de Raíz
- Análisis de Efectos para la variable Peso de Tallo
1.1 Análisis de Curvas de Germinación
Las semillas de lenteja se sometieron a los distintos tratamientos, posteriormente se realizó un registro de las semillas germinadas durante diez días, mismos que comprenden del 22 a 31 de marzo del año 2023. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla:
## Contenedor Litio Detergente Dia 1 ... Dia 7 Dia 8 Dia 9 Dia 10
## 0 1 0 0.0 0 ... 25 25 25 25
## 1 2 0 2.5 0 ... 23 23 23 23
## 2 3 0 5.0 0 ... 21 21 21 21
## 3 4 0 7.5 0 ... 21 21 21 21
## 4 5 0 10.0 0 ... 13 13 13 13
## 5 6 15 0.0 0 ... 16 16 16 16
## 6 7 15 2.5 0 ... 17 17 17 17
## 7 8 15 5.0 0 ... 20 20 20 20
## 8 9 15 7.5 0 ... 18 18 18 18
## 9 10 15 10.0 0 ... 16 16 16 16
## 10 11 30 0.0 0 ... 0 0 0 0
## 11 12 30 2.5 0 ... 0 0 0 0
## 12 13 30 5.0 0 ... 0 0 0 0
## 13 14 30 7.5 0 ... 0 0 0 0
## 14 15 30 10.0 0 ... 0 0 0 0
## 15 16 45 0.0 0 ... 0 0 0 0
## 16 17 45 2.5 0 ... 0 0 0 0
## 17 18 45 5.0 0 ... 0 0 0 0
## 18 19 45 7.5 0 ... 0 0 0 0
## 19 20 45 10.0 0 ... 0 0 0 0
## 20 21 60 0.0 0 ... 0 0 0 0
## 21 22 60 2.5 0 ... 0 0 0 0
## 22 23 60 5.0 0 ... 0 0 0 0
## 23 24 60 7.5 0 ... 0 0 0 0
## 24 25 60 10.0 0 ... 0 0 0 0
##
## [25 rows x 13 columns]1.1.1 Análisis de Germinación por nivel de tratamiento con Cloruro de Litio
Ahora realizaremos el análsis, aunque es importante destacar que a partir de 30 ppm de litio se suprimió la germinación, las gráficas por tratamiento se presentan a continuación:
Es de resaltarse que exsite un retraso importante en le germinación de la lenteja considerando el tratamiento de 15 ppm con rspecto del tratamiento control, esto debido a que la lenteja exhibe una fuerte sensibilidad al incremento en la concentración de Cloruro de Litio.
1.2 Análisis de la respuesta Longitud de Raíz
1.2.1 Modelo Estadístico
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: LRaiz R-squared: 0.829
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.817
## Method: Least Squares F-statistic: 68.44
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 2.01e-44
## Time: 08:01:21 Log-Likelihood: -169.33
## No. Observations: 137 AIC: 358.7
## Df Residuals: 127 BIC: 387.9
## Df Model: 9
## Covariance Type: nonrobust
## ==================================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## --------------------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 5.3224 0.173 30.766 0.000 4.980 5.665
## Litio[T.15] -4.1520 0.324 -12.829 0.000 -4.792 -3.512
## Detergente[T.10.0] -4.4414 0.882 -5.035 0.000 -6.187 -2.696
## Detergente[T.2.5] -4.2084 0.263 -15.986 0.000 -4.729 -3.687
## Detergente[T.5.0] -1.4753 0.259 -5.685 0.000 -1.989 -0.962
## Detergente[T.7.5] -4.2981 0.304 -14.149 0.000 -4.899 -3.697
## Litio[T.15]:Detergente[T.10.0] 3.8614 0.952 4.056 0.000 1.977 5.745
## Litio[T.15]:Detergente[T.2.5] 3.8873 0.449 8.656 0.000 2.999 4.776
## Litio[T.15]:Detergente[T.5.0] 1.0420 0.438 2.378 0.019 0.175 1.909
## Litio[T.15]:Detergente[T.7.5] 3.7398 0.511 7.326 0.000 2.730 4.750
## ==============================================================================
## Omnibus: 41.983 Durbin-Watson: 2.075
## Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 295.783
## Skew: 0.793 Prob(JB): 5.91e-65
## Kurtosis: 10.022 Cond. No. 21.0
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 125.936569 1.0 168.325477 4.968010e-25
## Detergente 186.598788 4.0 62.351488 4.694344e-29
## Litio:Detergente 81.534312 4.0 27.244473 2.488920e-16
## Residual 95.017965 127.0 NaN NaNDe la salida anterior podemos resaltar que el coeficiente de determinación es de .829, lo que implica que la variacíon de la longitud de raíz está explicada en 82.9% por la variación en los niveles de los factores Concentración de Litio y Concentración de Detergente, como puede observarse también, el coeficiente de determinación ajustado es de .817, lo cual da evidencia de que los factores considerados en el análsis aportan suficeinte información para explicar la variabilidad del proceso. Por otro lado, el estadistico de Jarque-Bera es 295.783 y su correspondiente valor-p es de 5.91e-65, prácticamente es cero, por lo que, considerando las siguientes hipótesis:
\[H_0:~Los~residuales~se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\] \[H_1:~Los~residuales ~ no ~ se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\]
Dado que el valor del estadístico es menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los residuales del modelo no se ajustan razonablemente bien a una distribución normal.
Del Análisis de Varianza, podemos verificar las siguientes hipótesis de trabajo, para el caso del Cloruro de Litio, respecto de la variable Longitud de Raíz:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
Para el caso del Detergente, tendremos las siguientes hipótesis de trabajo:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
Considerando los valores de probabilidad reportados en la Tabla ANOVA, se concluye que, con 95% de confianza, para el caso del Cloruo de Litio, existen diferencias significativas entre los niveles del tratamiento, y para el caso del Detergente, se llega a la misma conclusión, es decir, existen diferencias significativas entre los niveles de los tratamientos. Así mismo, para el caso de la interacción, la tabla ANOVA reporta que las interacciones entre el Cloruro de Litio y el Detergente también son significativas.
1.2.2 Modelo de Regresión
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: LRaiz R-squared: 0.533
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.523
## Method: Least Squares F-statistic: 50.69
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 6.54e-22
## Time: 08:01:22 Log-Likelihood: -238.11
## No. Observations: 137 AIC: 484.2
## Df Residuals: 133 BIC: 495.9
## Df Model: 3
## Covariance Type: nonrobust
## ====================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## ------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 4.4991 0.243 18.522 0.000 4.019 4.980
## Litio -0.2298 0.027 -8.573 0.000 -0.283 -0.177
## Detergente -0.4125 0.057 -7.225 0.000 -0.525 -0.300
## Litio:Detergente 0.0240 0.005 4.674 0.000 0.014 0.034
## ==============================================================================
## Omnibus: 9.354 Durbin-Watson: 0.867
## Prob(Omnibus): 0.009 Jarque-Bera (JB): 13.222
## Skew: 0.364 Prob(JB): 0.00135
## Kurtosis: 4.337 Cond. No. 129.
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## Intercept 4.499097
## Litio -0.229782
## Detergente -0.412491
## Litio:Detergente 0.023992
## dtype: float64## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 121.034478 1.0 62.070284 1.046246e-12
## Detergente 61.215752 1.0 31.393361 1.163702e-07
## Litio:Detergente 42.590831 1.0 21.841916 7.165754e-06
## Residual 259.344482 133.0 NaN NaNDe la Tabla ANOVA para el modelo de regresión podemos concluir que los coeficientes de regresión son estadśiticamente significativos para el Cloruro de Litio, el Detergente y la interacción de ambos.
Por lo tanto el modelo de regresión queda definido de la siguiente manera:
\[y=4.499097-0.229782x_1-0.412491x_2+0.023992{x_1}{x_2}\]
1.2.2.1 Gráfica del Modelo de Regresión
## <matplotlib.colorbar.Colorbar object at 0x7febd5aab790>
1.2.3 Pruebas Post-Hoc
Para la realización de las pruebas de rango multiple, se utilizó el algoritmo para la prueba de Tukey, la cual arrojó los siguientes resultados:
## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ===================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ---------------------------------------------------
## 0 15 -2.3905 0.0 -2.9491 -1.8319 True
## ---------------------------------------------------## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ====================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ----------------------------------------------------
## 0.0 10.0 -3.5263 0.0 -4.8184 -2.2342 True
## 0.0 2.5 -3.1296 0.0 -4.1537 -2.1056 True
## 0.0 5.0 -1.6218 0.0002 -2.6227 -0.621 True
## 0.0 7.5 -3.2767 0.0 -4.4503 -2.1031 True
## 10.0 2.5 0.3967 0.9185 -0.9135 1.7068 False
## 10.0 5.0 1.9045 0.0007 0.6123 3.1966 True
## 10.0 7.5 0.2496 0.9888 -1.1805 1.6797 False
## 2.5 5.0 1.5078 0.0008 0.4837 2.5318 True
## 2.5 7.5 -0.1471 0.9971 -1.3405 1.0464 False
## 5.0 7.5 -1.6549 0.0014 -2.8285 -0.4812 True
## ----------------------------------------------------Como podemos observar, existen diferencias significativas entre los niveles de los tratamientos de litio, lo cual deja en evidencia que la semilla de lenteja es especialmente sensible a este metal, en el caso del detergente existen diferencias significativas entre el control y los demás tratamientos, lo cual deja en evidencia de que también ante el detergente tiene sensibilidad, en el caso del tratamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 10 ml/lt, no existen diferencias significativas, mismo caso que en el tratamiento 7.5 ml/l, exisiendo diferencias significativas entre el tratamiento de 5 ml/l y 10 ml/l. En el caso de el tratamiento 2.5 ml/l comparado con el tratamiento 5 ml/l existen diferencias significativas, asi como en el tratamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 7.5 ml/lt, existiendo diferencias significativas en el tratamiento 5 ml/l comparado con el tratamiento 7.5 ml/l.
1.2.3.1 Gráficos de Caja
Para visualizar los resultados de la Prueba de Tukey, se generaron gráficas de caja y bigote, mismas que se presentan a continuación:
1.2.3.2 Gráfico de interacciones
1.2.4 Pruebas de adecuación
Para validar los supuestos del modelo, se realizó el siguiente conjunto de gráficas:
Como es posible verificar en las gráficas, los residuales no se
ajustan a una distribución de probabilidad normal, así mismo, existen
claros patrones en las gráficas de residuales contra ajustes y contra el
orden de las corridas, por lo que se concluye que el modelo no es
adecuado.
Para solventar esta situación procederemos a realizar pruebas no
paramétricas, como la de Kruskal Wallis para verificar si existen
diferencias significativas ente los tratamientos.
1.2.5 Pruebas no paramétricas
Par hacer las comparciones de los tratamientos ante la falta de normalidad y homocedasticidad de los residuales del modelo propuesto ejecuaremos la prueba de Kruskal-Wallis, la cual permite la comparación entre pares de grupos, en este caso, comopararemos los niveles de litio y los niveles de detergente.
## KruskalResult(statistic=61.730835065340045, pvalue=3.937654694837166e-15)Para el caso del litio, considerando el valor p de la prueba de Kruskal-Wallis podemos concluir que existen diferencias significativas entre los diferentes niveles de los tratamientos.
## KruskalResult(statistic=57.074545343221786, pvalue=1.1934118403022153e-11)Para el caso del detergente, considerando el valor p de la prueba de Kruskal-Wallis podemos concluir que existen diferencias significativas entre los diferentes niveles de los tratamientos.
1.3 Análisis de la respuesta Longitud de Tallo
1.3.1 Modelo Estadístco
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: LTallo R-squared: 0.507
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.472
## Method: Least Squares F-statistic: 14.51
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 6.08e-16
## Time: 08:01:31 Log-Likelihood: -189.07
## No. Observations: 137 AIC: 398.1
## Df Residuals: 127 BIC: 427.3
## Df Model: 9
## Covariance Type: nonrobust
## ==================================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## --------------------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 4.1624 0.200 20.832 0.000 3.767 4.558
## Litio[T.15] -0.6653 0.374 -1.780 0.077 -1.405 0.074
## Detergente[T.10.0] -3.4314 1.019 -3.368 0.001 -5.448 -1.415
## Detergente[T.2.5] -1.6283 0.304 -5.355 0.000 -2.230 -1.027
## Detergente[T.5.0] -0.0520 0.300 -0.174 0.862 -0.645 0.541
## Detergente[T.7.5] -1.5738 0.351 -4.485 0.000 -2.268 -0.879
## Litio[T.15]:Detergente[T.10.0] 1.4842 1.100 1.350 0.180 -0.692 3.660
## Litio[T.15]:Detergente[T.2.5] 0.6732 0.519 1.298 0.197 -0.353 1.700
## Litio[T.15]:Detergente[T.5.0] -1.0986 0.506 -2.170 0.032 -2.100 -0.097
## Litio[T.15]:Detergente[T.7.5] -0.5085 0.590 -0.862 0.390 -1.675 0.658
## ==============================================================================
## Omnibus: 13.520 Durbin-Watson: 1.922
## Prob(Omnibus): 0.001 Jarque-Bera (JB): 20.231
## Skew: 0.514 Prob(JB): 4.04e-05
## Kurtosis: 4.577 Cond. No. 21.0
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 20.885855 1.0 20.924929 1.120213e-05
## Detergente 66.672137 4.0 16.699218 5.065274e-11
## Litio:Detergente 16.185467 4.0 4.053937 3.975559e-03
## Residual 126.762847 127.0 NaN NaNDe la salida anterior podemos resaltar que el coeficiente de determinación es de .507, lo que implica que la variacíon de la longitud de tallo está explicada en 50.7% por la variación en los niveles de los factores Concentración de Litio y Concentración de Detergente, como puede observarse también, el coeficiente de determinación ajustado es de .472, lo cual da evidencia de que los factores considerados en el análsis no aportan suficiente información para explicar la variabilidad del proceso. Por otro lado, el estadistico de Jarque-Bera es 20.231 y su correspondiente valor-p es de 4.04e-5, prácticamente es cero, por lo que, considerando las siguientes hipótesis:
\[H_0:~Los~residuales~se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\] \[H_1:~Los~residuales ~ no ~ se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\]
Y dado que el valor del estadístico es menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los residuales del modelo no se ajustan razonablemente bien a una distribución normal.
Del Análisis de Varianza, podemos verificar las siguientes hipótesis de trabajo, para el caso del Cloruro de Litio respecto de la variable Longitud de Tallo:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
Para el caso del Detergente, tendremos las siguientes hipótesis de trabajo:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
Considerando los valores de probabilidad reportados en la Tabla ANOVA, se concluye que, con 95% de confianza, para el caso del Cloruo de Litio, existen diferencias significativas entre los niveles del tratamiento, y para el caso del Detergente, se llega a la misma conclusión, es decir, existen diferecias significativas entre los niveles de los tratamientos. Así mismo, para el caso de la interacción, la tabla ANOVA reporta que las interacciones entre el Cloruro de Litio y el Detergente también son significativas.
1.3.2 Modelo de Regresión
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: LTallo R-squared: 0.332
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.317
## Method: Least Squares F-statistic: 21.99
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 1.26e-11
## Time: 08:01:31 Log-Likelihood: -209.92
## No. Observations: 137 AIC: 427.8
## Df Residuals: 133 BIC: 439.5
## Df Model: 3
## Covariance Type: nonrobust
## ====================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## ------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 3.9086 0.198 19.767 0.000 3.517 4.300
## Litio -0.0448 0.022 -2.052 0.042 -0.088 -0.002
## Detergente -0.1404 0.046 -3.021 0.003 -0.232 -0.048
## Litio:Detergente -0.0032 0.004 -0.769 0.444 -0.011 0.005
## ==============================================================================
## Omnibus: 17.066 Durbin-Watson: 1.383
## Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 21.512
## Skew: 0.735 Prob(JB): 2.13e-05
## Kurtosis: 4.268 Cond. No. 129.
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## Intercept 3.908559
## Litio -0.044776
## Detergente -0.140388
## Litio:Detergente -0.003212
## dtype: float64## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 23.249970 1.0 17.992525 4.125953e-05
## Detergente 36.994373 1.0 28.628948 3.722324e-07
## Litio:Detergente 0.763262 1.0 0.590668 4.435235e-01
## Residual 171.862816 133.0 NaN NaNDe la Tabla ANOVA para el modelo de regresión podemos concluir que los coeficientes de regresión son estadśiticamente significativos para el Cloruro de Litio, el Detergente y la interacción de ambos.
Por lo tanto el modelo de regresión queda definido de la siguiente manera:
\[y=3.908559-0.044776x_1-0.140388x_2-0.003212{x_1}{x_2}\]
1.3.2.1 Gráfica del Modelo de Regresión
## <matplotlib.colorbar.Colorbar object at 0x7febdb63f610>
1.3.3 Pruebas Post-Hoc
Para la realización de las pruebas de rango multiple, se utilizó el algoritmo para la prueba de Tukey, la cual arrojó los siguientes resultados:
## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ===================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ---------------------------------------------------
## 0 15 -1.1868 0.0 -1.6112 -0.7624 True
## ---------------------------------------------------## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ====================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ----------------------------------------------------
## 0.0 10.0 -2.4771 0.0 -3.428 -1.5261 True
## 0.0 2.5 -1.435 0.0 -2.1887 -0.6813 True
## 0.0 5.0 -0.6179 0.145 -1.3545 0.1187 False
## 0.0 7.5 -1.8532 0.0 -2.7169 -0.9895 True
## 10.0 2.5 1.0421 0.0272 0.0779 2.0063 True
## 10.0 5.0 1.8592 0.0 0.9082 2.8101 True
## 10.0 7.5 0.6239 0.4751 -0.4286 1.6764 False
## 2.5 5.0 0.8171 0.0264 0.0634 1.5707 True
## 2.5 7.5 -0.4182 0.6812 -1.2965 0.4601 False
## 5.0 7.5 -1.2353 0.0012 -2.099 -0.3716 True
## ----------------------------------------------------Como podemos observar, eisten diferencias significativas entre los nivele de los tratamientos de litio, lo cual deja en evidencia que la semilla de lenteja es especialmente sensible a este metal, en el caso del detergente existen diferencias significatias entre el control y los demás tratamientos, excepto en el caso de 5 ml/l, lo cual deja en evidencia de que también ante el detergente tiene sensibilidad, en el caso del tratamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 10 ml/lt, existen diferencias significativas, mismo caso que en en el tratamiento 7.5 ml/l, no exisiendo diferencias significativas entre el tratamiento de 5 ml/l y 10 ml/l. En el caso de el tratamiento 2.5 ml/l comparado con el tratamiento 5 ml/l existen diferencias significativas, no asi en el tatamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 7.5 ml/lt,existiendo diferencias significativas en el tratamiento 5 ml/l comparado con el tratamiento 7.5 ml/l.
1.3.3.1 Gráficos de Caja
Para visualizar los resultados de la Prueba de Tukey, se generaron gráficas de caja y bigote, mismas que se presentan a continuación:
1.3.3.2 Gráfico de interacciones
1.3.4 Pruebas de adecuación
PAra validar los supuestos del modelo, se realizó el siguiente conjunto de gráficas:
Como es posible verificar en las gráficas, los residuales se ajustan a una distribución de probabilidad, así mismo, no existen claros patrones en las gráficas de residuales contra ajustes y contra el orden de las corridas, por lo que se concluye que el modelo es adecuado.
1.4 Análisis de la respuesta Peso de Raíz
1.4.1 Modelo Estadístco
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: PRaiz R-squared: 0.530
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.496
## Method: Least Squares F-statistic: 15.89
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 3.53e-17
## Time: 08:01:40 Log-Likelihood: 687.75
## No. Observations: 137 AIC: -1356.
## Df Residuals: 127 BIC: -1326.
## Df Model: 9
## Covariance Type: nonrobust
## ==================================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## --------------------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 0.0055 0.000 16.606 0.000 0.005 0.006
## Litio[T.15] -0.0045 0.001 -7.185 0.000 -0.006 -0.003
## Detergente[T.10.0] -0.0039 0.002 -2.311 0.022 -0.007 -0.001
## Detergente[T.2.5] -0.0030 0.001 -5.942 0.000 -0.004 -0.002
## Detergente[T.5.0] -0.0010 0.000 -2.043 0.043 -0.002 -3.18e-05
## Detergente[T.7.5] -0.0022 0.001 -3.852 0.000 -0.003 -0.001
## Litio[T.15]:Detergente[T.10.0] 0.0038 0.002 2.102 0.037 0.000 0.007
## Litio[T.15]:Detergente[T.2.5] 0.0038 0.001 4.407 0.000 0.002 0.006
## Litio[T.15]:Detergente[T.5.0] 0.0013 0.001 1.562 0.121 -0.000 0.003
## Litio[T.15]:Detergente[T.7.5] 0.0022 0.001 2.203 0.029 0.000 0.004
## ==============================================================================
## Omnibus: 97.574 Durbin-Watson: 2.343
## Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 1240.341
## Skew: 2.235 Prob(JB): 4.61e-270
## Kurtosis: 17.047 Cond. No. 21.0
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 0.000196 1.0 71.189144 6.203931e-14
## Detergente 0.000062 4.0 5.631354 3.319281e-04
## Litio:Detergente 0.000060 4.0 5.475978 4.232113e-04
## Residual 0.000350 127.0 NaN NaNDe la salida anterior podemos resaltar que el coeficiente de determinación es de .530, lo que implica que la variacíon del peso de raíz está explicada en 53.0% por la variación en los niveles de los factores Concentración de Litio y Concentración de Detergente, como puede observarse también, el coeficiente de determinación ajustado es de .496, lo cual da evidencia de que los factores considerados en el análsis aportan suficiente información para explicar la variabilidad del proceso. Por otro lado, el estadistico de Jarque-Bera es 1240.341 y su correspondiente valor-p es de 4.61e-270, prácticamente es cero, por lo que, considerando las siguientes hipótesis:
\[H_0:~Los~residuales~se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\] \[H_1:~Los~residuales ~ no ~ se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\]
Dado que el valor del estadístico es menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los residuales del modelo no se ajustan razonablemente bien a una distribución normal.
Del Análisis de Varianza, podemos verificar las siguientes hipótesis de trabajo, para el caso del Cloruro de Litio respecto de la variable Longitud de Tallo:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
Para el caso del Detergente, tendremos las siguientes hipótesis de trabajo:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
Considerando los valores de probabilidad reportados en la Tabla ANOVA, se concluye que, con 95% de confianza, para el caso del Cloruo de Litio, existen diferencias significativas entre los niveles del tratamiento, y para el caso del Detergente, se llega a la misma conclusión, es decir, existen diferecias significativas entre los niveles de los tratamientos. Así mismo, para el caso de la interacción, la tabla ANOVA reporta que las interacciones entre el Cloruro de Litio y el Detergente también son significativas.
1.4.2 Modelo de Regresión
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: PRaiz R-squared: 0.410
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.397
## Method: Least Squares F-statistic: 30.80
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 3.50e-15
## Time: 08:01:40 Log-Likelihood: 672.21
## No. Observations: 137 AIC: -1336.
## Df Residuals: 133 BIC: -1325.
## Df Model: 3
## Covariance Type: nonrobust
## ====================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## ------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 0.0048 0.000 15.335 0.000 0.004 0.005
## Litio -0.0002 3.49e-05 -6.380 0.000 -0.000 -0.000
## Detergente -0.0002 7.43e-05 -3.097 0.002 -0.000 -8.31e-05
## Litio:Detergente 1.221e-05 6.68e-06 1.828 0.070 -1e-06 2.54e-05
## ==============================================================================
## Omnibus: 77.570 Durbin-Watson: 1.949
## Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 540.392
## Skew: 1.855 Prob(JB): 4.52e-118
## Kurtosis: 11.994 Cond. No. 129.
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## Intercept 0.004846
## Litio -0.000222
## Detergente -0.000230
## Litio:Detergente 0.000012
## dtype: float64## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 0.000207 1.0 62.778241 8.192285e-13
## Detergente 0.000022 1.0 6.737194 1.050287e-02
## Litio:Detergente 0.000011 1.0 3.341135 6.980916e-02
## Residual 0.000439 133.0 NaN NaNDe la Tabla ANOVA para el modelo de regresión podemos concluir que los coeficientes de regresión son estadśiticamente significativos para el Cloruro de Litio, el Detergente y la interacción de ambos.
Por lo tanto el modelo de regresión queda definido de la siguiente manera:
\[\hat{y}=0.004846-0..000222x_1-0.000230x_2-0.000012{x_1}{x_2}\]
1.4.2.1 Gráfica del Modelo de Regresión
## <matplotlib.colorbar.Colorbar object at 0x7febce86d0f0>
1.4.3 Pruebas Post-Hoc
Para la realización de las pruebas de rango multiple, se utilizó el algoritmo para la prueba de Tukey, la cual arrojó los siguientes resultados:
## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ===================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ---------------------------------------------------
## 0 15 -0.0028 -0.0 -0.0035 -0.0022 True
## ---------------------------------------------------## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ====================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ----------------------------------------------------
## 0.0 10.0 -0.0032 0.0 -0.005 -0.0014 True
## 0.0 2.5 -0.002 0.002 -0.0034 -0.0005 True
## 0.0 5.0 -0.0011 0.2135 -0.0025 0.0003 False
## 0.0 7.5 -0.0019 0.017 -0.0036 -0.0002 True
## 10.0 2.5 0.0012 0.3664 -0.0006 0.0031 False
## 10.0 5.0 0.0021 0.014 0.0003 0.004 True
## 10.0 7.5 0.0013 0.3721 -0.0007 0.0033 False
## 2.5 5.0 0.0009 0.4212 -0.0005 0.0024 False
## 2.5 7.5 0.0001 0.9998 -0.0016 0.0018 False
## 5.0 7.5 -0.0008 0.6712 -0.0025 0.0009 False
## ----------------------------------------------------Como podemos observar, existen diferencias significativas entre los nivele de los tratamientos de litio, lo cual deja en evidencia que la semilla de lenteja es especialmente sensible a este metal, en el caso del detergente existen diferencias significatias entre el control y los demás tratamientos, excepto en el caso de 5 ml/l, lo cual deja en evidencia de que también ante el detergente tiene sensibilidad, en el caso del tratamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 10 ml/lt, no existen diferencias significativas, mismo caso que en en el tratamiento 7.5 ml/l, exisiendo diferencias significativas entre el tratamiento de 5 ml/l y 10 ml/l. En el caso de el tratamiento 2.5 ml/l comparado con el tratamiento 5 ml/l no existen diferencias significativas, asi como en el tratamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 7.5 ml/lt, no existiendo diferencias significativas en el tratamiento 5 ml/l comparado con el tratamiento 7.5 ml/l.
1.4.3.1 Gráficos de Caja
Para visualizar los resultados de la Prueba de Tukey, se generaron gráficas de caja y bigote, mismas que se presentan a continuación:
1.4.3.2 Gráfico de interacciones
1.4.4 Pruebas de adecuación
PAra validar los supuestos del modelo, se realizó el siguiente conjunto de gráficas:
Como es posible verificar en las gráficas, los residuales no se ajustan a una distribución normal de probabilidad, así mismo, no existen claros patrones en las gráficas de residuales contra ajustes y contra el orden de las corridas, por lo que se concluye que el modelo no es adecuado.
1.4.5 Pruebas no paramétricas
Para hacer las comparaciones de los tratamientos ante la falta de normalidad y homocedasticidad de los residuales del modelo propuesto ejecutaremos la prueba de Kruskal-Wallis, la cual permite la comparación entre pares de grupos, en este caso, comopararemos los niveles de litio y los niveles de detergente, para el caso del litio realizaremos la comparacion y para el detergente.
## KruskalResult(statistic=68.21731743273689, pvalue=1.4643407257388277e-16)Para el caso del litio, considerando el valor p de la prueba de Kruskal Wallis podemos concluir que existen diferencias significativas entre los diferentes niveles de los tratamientos.
## KruskalResult(statistic=26.85299624193599, pvalue=2.1286628377357678e-05)Para el caso del detergente, considerando el valor p de la prueba de Kruskal Wallis podemos concluir que existen diferencias significativas entre los diferentes niveles de los tratamientos.
1.5 Análisis de la respuesta Peso de Tallo
1.5.1 Modelo Estadístco
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: PTallo R-squared: 0.377
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.333
## Method: Least Squares F-statistic: 8.546
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 6.26e-10
## Time: 08:01:50 Log-Likelihood: 729.12
## No. Observations: 137 AIC: -1438.
## Df Residuals: 127 BIC: -1409.
## Df Model: 9
## Covariance Type: nonrobust
## ==================================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## --------------------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 0.0047 0.000 19.313 0.000 0.004 0.005
## Litio[T.15] -0.0010 0.000 -2.091 0.039 -0.002 -5.14e-05
## Detergente[T.10.0] -0.0009 0.001 -0.751 0.454 -0.003 0.002
## Detergente[T.2.5] -0.0012 0.000 -3.334 0.001 -0.002 -0.001
## Detergente[T.5.0] -0.0002 0.000 -0.435 0.665 -0.001 0.001
## Detergente[T.7.5] -0.0012 0.000 -2.761 0.007 -0.002 -0.000
## Litio[T.15]:Detergente[T.10.0] -0.0008 0.001 -0.585 0.560 -0.003 0.002
## Litio[T.15]:Detergente[T.2.5] 0.0005 0.001 0.803 0.424 -0.001 0.002
## Litio[T.15]:Detergente[T.5.0] 0.0002 0.001 0.332 0.740 -0.001 0.001
## Litio[T.15]:Detergente[T.7.5] -0.0008 0.001 -1.073 0.285 -0.002 0.001
## ==============================================================================
## Omnibus: 5.518 Durbin-Watson: 1.992
## Prob(Omnibus): 0.063 Jarque-Bera (JB): 5.289
## Skew: 0.356 Prob(JB): 0.0711
## Kurtosis: 3.647 Cond. No. 21.0
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 0.000025 1.0 16.291641 9.325224e-05
## Detergente 0.000059 4.0 9.836413 5.780444e-07
## Litio:Detergente 0.000006 4.0 0.965435 4.289442e-01
## Residual 0.000191 127.0 NaN NaNDe la salida anterior podemos resaltar que el coeficiente de determinación es de .377, lo que implica que la variacíon del peso de tallo está explicada en 33.7% por la variación en los niveles de los factores Concentración de Litio y Concentración de Detergente, como puede observarse también, el coeficiente de determinación ajustado es de .333, lo cual da evidencia de que los factores considerados en el análsis aportan suficiente información para explicar la variabilidad del proceso. Por otro lado, el estadistico de Jarque-Bera es 5.289 y su correspondiente valor-p es de 0.0711, por lo que, considerando las siguientes hipótesis:
\[H_0:~Los~residuales~se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\] \[H_1:~Los~residuales ~ no ~ se ~ ajustan~razonablemente~bien~ a ~ una~distribución ~ normal\]
Y dado que el valor del estadístico es mayor a 0.05, se acepta la hipótesis nula y se concluye que los residuales del modelo se ajustan razonablemente bien a una distribución normal.
Del Análisis de Varianza, podemos verificar las siguientes hipótesis de trabajo, para el caso del Cloruro de Litio respecto de la variable Longitud de Tallo:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Cloruro~de~Litio\]
Para el caso del Detergente, tendremos las siguientes hipótesis de trabajo:
\[H_0: No~existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
\[H_0:Existen~diferencias~significativas~entre~los~niveles~de~Detergente\]
Considerando los valores de probabilidad reportados en la Tabla ANOVA, se concluye que, con 95% de confianza, para el caso del Cloruo de Litio, existen diferencias significativas entre los niveles del tratamiento, y para el caso del Detergente, se llega a la misma conclusión, es decir, existen diferecias significativas entre los niveles de los tratamientos. Así mismo, para el caso de la interacción, la tabla ANOVA reporta que las interacciones entre el Cloruro de Litio y el Detergente también son significativas.
1.5.2 Modelo de Regresión
## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: PTallo R-squared: 0.259
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.242
## Method: Least Squares F-statistic: 15.46
## Date: mar, 01 ago 2023 Prob (F-statistic): 1.10e-08
## Time: 08:01:51 Log-Likelihood: 717.17
## No. Observations: 137 AIC: -1426.
## Df Residuals: 133 BIC: -1415.
## Df Model: 3
## Covariance Type: nonrobust
## ====================================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## ------------------------------------------------------------------------------------
## Intercept 0.0045 0.000 19.757 0.000 0.004 0.005
## Litio -4.094e-05 2.51e-05 -1.630 0.105 -9.06e-05 8.74e-06
## Detergente -9.427e-05 5.35e-05 -1.762 0.080 -0.000 1.15e-05
## Litio:Detergente -5.628e-06 4.81e-06 -1.170 0.244 -1.51e-05 3.89e-06
## ==============================================================================
## Omnibus: 7.807 Durbin-Watson: 1.663
## Prob(Omnibus): 0.020 Jarque-Bera (JB): 8.056
## Skew: 0.445 Prob(JB): 0.0178
## Kurtosis: 3.788 Cond. No. 129.
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.## Intercept 0.004497
## Litio -0.000041
## Detergente -0.000094
## Litio:Detergente -0.000006
## dtype: float64## sum_sq df F PR(>F)
## Litio 0.000028 1.0 16.547139 0.000081
## Detergente 0.000026 1.0 15.357925 0.000142
## Litio:Detergente 0.000002 1.0 1.369064 0.244065
## Residual 0.000228 133.0 NaN NaNDe la Tabla ANOVA para el modelo de regresión podemos concluir que los coeficientes de regresión son estadśiticamente significativos para el Cloruro de Litio, el Detergente, no así para la interacción entre ambos.
Por lo tanto el modelo de regresión queda definido de la siguiente manera:
\[\hat{y}=0.004497-0.000041x_1-0.000094x_2-0.000006{x_1}{x_2}\]
1.5.2.1 Gráfica del Modelo de Regresión
## <matplotlib.colorbar.Colorbar object at 0x7febce2f9a80>
1.5.3 Pruebas Post-Hoc
Para la realización de las pruebas de rango multiple, se utilizó el algoritmo para la prueba de Tukey, la cual arrojó los siguientes resultados:
## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ===================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ---------------------------------------------------
## 0 15 -0.0012 0.0 -0.0017 -0.0008 True
## ---------------------------------------------------## Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05
## ====================================================
## group1 group2 meandiff p-adj lower upper reject
## ----------------------------------------------------
## 0.0 10.0 -0.0023 0.0 -0.0034 -0.0012 True
## 0.0 2.5 -0.0012 0.0035 -0.002 -0.0003 True
## 0.0 5.0 -0.0002 0.9618 -0.0011 0.0006 False
## 0.0 7.5 -0.0016 0.0002 -0.0026 -0.0006 True
## 10.0 2.5 0.0011 0.0426 0.0 0.0023 True
## 10.0 5.0 0.0021 0.0 0.001 0.0032 True
## 10.0 7.5 0.0007 0.5286 -0.0005 0.0019 False
## 2.5 5.0 0.0009 0.0278 0.0001 0.0018 True
## 2.5 7.5 -0.0005 0.7287 -0.0015 0.0006 False
## 5.0 7.5 -0.0014 0.0016 -0.0024 -0.0004 True
## ----------------------------------------------------Como podemos observar, existen diferencias significativas entre los niveles de los tratamientos de litio, lo cual deja en evidencia que la semilla de lenteja es especialmente sensible a este metal, en el caso del detergente existen diferencias significatias entre el control y los demás tratamientos, excepto en el caso de 5 ml/l, lo cual deja en evidencia de que también ante el detergente tiene sensibilidad, en el caso del tratamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 10 ml/lt, existen diferencias significativas, no así en el caso que en en el tratamiento 7.5 ml/l, exisiendo diferencias significativas entre el tratamiento de 5 ml/l y 10 ml/l. En el caso de el tratamiento 2.5 ml/l comparado con el tratamiento 5 ml/l existen diferencias significativas, no asi en el tratamiento de 2.5 ml/l comparado con el de 7.5 ml/lt,existiendo diferencias significativas en el tratamiento 5 ml/l comparado con el tratamiento 7.5 ml/l.
1.5.3.1 Gráficos de Caja
Para visualizar los resultados de la Prueba de Tukey, se generaron gráficas de caja y bigote, mismas que se presentan a continuación:
1.5.3.2 Gráfico de interacciones
En el caso de esta variable, dado que el ANOVA reporto que la interacciones no son significativas, no se desplegarán las gráficas correespondientes.
1.5.4 Pruebas de adecuación
PAra validar los supuestos del modelo, se realizó el siguiente conjunto de gráficas:
Como es posible verificar en las gráficas, los residuales se ajustan a una distribución de probabilidad, así mismo, no existen claros patrones en las gráficas de residuales contra ajustes y contra el orden de las corridas, por lo que se concluye que el modelo es adecuado.