Trabajo Practico-Modelos Lineales
Marlene Elizabeth Román de Del Puerto
2023-07-21
#Actividad: Estimación del Salario Actual de Empleados de una empresa
El Problema:
¿Cuáles son los factores que influyen en el Salario Actual de Empleados de una empresa mediante un modelo de regresión lineal en las variables salario inicial, edad del empleado, años de estudios, experiencia previa (meses) y antiguedad en la empresa.
Objetivo:
Determinar los factores que los factores que influyen en el Salario Actual de Empleados de una empresa mediante un modelo de regresión lineal en las variables mencionada en el problema.
Variables:
#mejor tener un sustento teórico al considerar las variables conforme a lo expuesto por los expertos de la empresa.
-La variable dependiente será el salario actual de los empleados en una empresa:salario
Las variables independientes consideradas son las siguientes: -La edad del empleado “edad”. -El salario inicial del empleado:“salini” -Años de educación del empleado:“educ” -Meses de experiencia previa al trabajo:“expprev” -Antiguedad en la empresa:“tiempemp”
El rango del modelo es de 5, luego de seleccionar las variables adecuadas es importante asegurarnos de que se cumplen los supuestos de linealidad, Independencia, normalidad y homocedasticidad. Si alguno de estos supuestos no se cumplen, los resultados de la regresión lineal múltiple pueden no ser confiables
Limpiamos la memoria de R, para iniciar el trabajo
rm(list=ls(all=TRUE))Abrimos las librerias necesarias.
library(tidyverse)## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr 1.1.2 ✔ readr 2.1.4
## ✔ forcats 1.0.0 ✔ stringr 1.5.0
## ✔ ggplot2 3.4.2 ✔ tibble 3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.2 ✔ tidyr 1.3.0
## ✔ purrr 1.0.1
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag() masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errorslibrary(conflicted)
library(magrittr)
library(readxl)
library(modelr)
library(broom)
library(haven)
library(corrplot)## corrplot 0.92 loadedlibrary(GGally)## Registered S3 method overwritten by 'GGally':
## method from
## +.gg ggplot2library(car)## Loading required package: carDataConfiguramos el directorio de trabajo
setwd("C:/Users/HP/OneDrive/Documentos/MAESTRIA ESTADISTICA/ASIGNATURA-V-MODELOS-LINEALES")Accedemos a la base
library(readxl)
Datos_de_empleados <- read_excel("Datos de empleados.xls")
View(Datos_de_empleados)Seleccionamos las variables de interes filtrando la base
Tenemos la variable de respuesta Salario Actual del Empleado (salario) y las covariables “edad”,“salini”,“educ”,“expprev”,“tiempemp”
Datos_de_empleados_1<-Datos_de_empleados[,c("salario","edad","salini","educ","expprev","tiempemp")]ANÁLISIS EXPLORATORIO UNIVARIANTE
Realizamos una exploracion de todas las variables filtradas, para identificar de que tipo son.
#str(Datos_de_empleados_1)
summary(Datos_de_empleados_1)## salario edad salini educ
## Min. : 15750 Min. :47.00 Min. : 9000 Min. : 8.00
## 1st Qu.: 24000 1st Qu.:53.00 1st Qu.:12450 1st Qu.:12.00
## Median : 28800 Median :56.00 Median :15000 Median :12.00
## Mean : 34418 Mean :61.67 Mean :17009 Mean :13.49
## 3rd Qu.: 37050 3rd Qu.:70.00 3rd Qu.:17490 3rd Qu.:15.00
## Max. :135000 Max. :89.00 Max. :79980 Max. :21.00
## expprev tiempemp
## Min. : 0.00 Min. :63.00
## 1st Qu.: 19.00 1st Qu.:72.00
## Median : 55.00 Median :81.00
## Mean : 95.95 Mean :81.14
## 3rd Qu.:139.00 3rd Qu.:90.00
## Max. :476.00 Max. :98.00summary(Datos_de_empleados_1$salario)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 15750 24000 28800 34418 37050 135000Tanto la variable de respuesta es numérica y las covariables son numericas.
Analisis exploratorio univariado.
#Hacemos un resumen numerico de la variable respuesta (Y)
summary(Datos_de_empleados_1$salario)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 15750 24000 28800 34418 37050 135000Analizamos la distribución del Salario Actual del Empleado
boxplot(Datos_de_empleados_1$salario, xlab = "Salario Actual",main = "Distribución del Salario Actual de los empleados")
Notamos que existen valores atipicos a partir de 60000 mil dolares en el Salario Actual de los empleados
Se puede observar una asimetría en la gráfica de cajas y bigotes que el 50% de los datos se encuentran por encima de la mediana que es igual a 28800 presenta valores atipicos y el otro 50% por debajo de ella.
#Graficamos el Salario Actual de Empleados (Dolares).
hist(Datos_de_empleados_1$salario)
### Observamos que el Salario presenta asimetria o sesgo hacia la
derecha.Al observar el histograma aparentemente la distribución de la
variable salario actual es asimétrica, los valores están un tanto
sesgados a la derecha. ### Grafico de correlaciones.
corrplot(cor(dplyr::select(Datos_de_empleados_1,salario,edad,
salini,educ,expprev,tiempemp)),method = "number", tl.col ="black")
#Analizando las correlaciones, podemos notar que las covariables salario
inicial y años de estudios son las que presentan mayor correlación con
el salario actual del empleado, mientras que la edad del empleado,
experiencia previa (meses) y antiguedad en la empresa (meses) son las
que muestran menos relación. Por otro lado, también podemos notar una
alta asociación entre la edad y experiencia previa (meses), lo cual
explica que estas dos variables predictores no son independientes y
podrían generar multicolinealidad.A pesar de lo anterior, introduciremos
en el modelo las cuatro covariables.
#plot(Datos_de_empleados_1,main= "Gráfico de dispersión de a pares")
library(GGally)
ggpairs(Datos_de_empleados_1,columns = 1:5,aes(alpha = 0.4),upper = list(continuous = "smooth"),diag = list(continuous = "blankDiag"),lower = list(continuous = wrap("cor", size = 3.5)))
El Modelo de regresión múltiple propuesto, se expresa en la siguiente ecuación:
\(Y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_3+\beta_4x_4+\beta_5x_5+\epsilon_i\)
Donde:
\(Y:\)es la variable dependiente “salario” Salario Actual del Empleado.
\(x_1:\)es la variable independiente “edad” edad del empleado.
\(x_2:\)es la variable independiente “salini” Salario Inicial del empleado..
\(x_3:\)es la variable independiente “educ” años de estudios del empleado.
\(x_4:\)es la variable independiente “expprev” experiencia previa (meses).
\(x_5:\)es la variable independiente “tiempemp” antiguedad en la empresa.
\(\beta_0:\) es el coeficiente de intersección
\(\beta_1\), \(\beta_2\), \(\beta_3\), \(\beta_4:\),\(\beta_5:\) son los coeficientes de regresión parcial.
\(\epsilon_i:\)es el error aleatorio
Hipótesis para evaluación del modelo.
Contraste de hipótesis
\(H_0:\) \(\beta_1=\)\(\beta_2=\)\(\beta_3=\)\(\beta_4=0\)\(\beta_5=0\). Ninguna de las variables explicativas influye en la variable de respuesta “Y”
\(H_1:\) \(\beta_i<>0\). Al menos una de las variables explicativas influye en la variable de respuesta “Y”
Criterios de decisión
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} > 0,05\) No se rechaza la \(H_0\).
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} \le 0,05\) se rechaza la \(H_0\).
El rango de la matriz para este modelo en principio es igual a la cantidad de parámetros a estimar n=6, pero considerando la presunta multicolinealidad entre la edad y experiencia previa (meses), el rango quedaría en 5.
Aplicamos el modelo con la “Y transformada” y con todas las variables tomadas inicialmente.
Aplicamos el modelo con todas las variables.
modelo<- lm(salario ~ edad+salini+educ+expprev+tiempemp, data = Datos_de_empleados_1)
#modelo
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = salario ~ edad + salini + educ + expprev + tiempemp,
## data = Datos_de_empleados_1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -29797 -3778 -1144 2625 46327
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.058e+04 4.178e+03 -2.531 0.011688 *
## edad -1.030e+02 4.948e+01 -2.083 0.037812 *
## salini 1.771e+00 5.857e-02 30.231 < 2e-16 ***
## educ 6.319e+02 1.665e+02 3.796 0.000166 ***
## expprev -8.301e+00 5.576e+00 -1.489 0.137256
## tiempemp 1.664e+02 3.438e+01 4.841 1.76e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 7443 on 467 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8124, Adjusted R-squared: 0.8104
## F-statistic: 404.5 on 5 and 467 DF, p-value: < 2.2e-16#Examinando los test o pruebas individuales los resultados del modelo para cada una de las variables explicativas, podemos ver que la variable “experiencia previa” no es significativa, lo cual indica que no explica o no tiene relación lineal con la variable y. El resto de las covariables introducidas en el modelo son significativas, aunque la edad muestra una significancia menor que el resto.
#Respecto al test de significancia como un todo, este arroja un p-valor menor que el nivel de significación 0.05, por tanto, se Rechaza la Hipótesis Nula, es decir al menos uno de los parametros estimados es distinto de cero (Bi#0).
Tabla de regresion
m<- aov(salario ~ edad+salini+educ+expprev+tiempemp, data = Datos_de_empleados_1)
summary(m)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## edad 1 2.935e+09 2.935e+09 52.982 1.44e-12 ***
## salini 1 1.065e+11 1.065e+11 1922.314 < 2e-16 ***
## educ 1 1.159e+09 1.159e+09 20.922 6.14e-06 ***
## expprev 1 1.670e+08 1.670e+08 3.015 0.0831 .
## tiempemp 1 1.298e+09 1.298e+09 23.437 1.76e-06 ***
## Residuals 467 2.587e+10 5.540e+07
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1##intervalo de confianza de las betas.
confint(modelo)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) -18788.275162 -2366.459784
## edad -200.272031 -5.826192
## salini 1.655687 1.885892
## educ 304.813999 959.025163
## expprev -19.258408 2.656553
## tiempemp 98.882900 234.004198#Covariancia de la estimación de parámetros
vcov(modelo)## (Intercept) edad salini educ
## (Intercept) 1.745951e+07 -1.300011e+05 26.226065830 -2.918465e+05
## edad -1.300011e+05 2.447863e+03 -0.067163307 1.004779e+03
## salini 2.622607e+01 -6.716331e-02 0.003430995 -6.497121e+00
## educ -2.918465e+05 1.004779e+03 -6.497120670 2.770931e+04
## expprev 8.622145e+03 -2.140555e+02 -0.050809227 1.238921e+02
## tiempemp -8.210785e+04 -1.581740e+02 0.148558002 -5.569438e+02
## expprev tiempemp
## (Intercept) 8622.14488209 -82107.849800
## edad -214.05554913 -158.173978
## salini -0.05080923 0.148558
## educ 123.89214100 -556.943767
## expprev 31.09361444 9.726152
## tiempemp 9.72615181 1182.054288#sumas de cuadrados secuenciales, anova para prueba global de regresion y
#m<- aov(salario ~ edad+salini+educ+expprev+tiempemp, data = Datos_de_empleados_1)
#summary(m)
#es lo mismo.
anova(modelo)## Analysis of Variance Table
##
## Response: salario
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## edad 1 2.9350e+09 2.9350e+09 52.9820 1.437e-12 ***
## salini 1 1.0649e+11 1.0649e+11 1922.3135 < 2.2e-16 ***
## educ 1 1.1590e+09 1.1590e+09 20.9218 6.137e-06 ***
## expprev 1 1.6704e+08 1.6704e+08 3.0154 0.08314 .
## tiempemp 1 1.2983e+09 1.2983e+09 23.4367 1.758e-06 ***
## Residuals 467 2.5870e+10 5.5395e+07
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Las sumas secuenciales de los cuadrados dependen del orden en que los factores se ingresan en el modelo. Es la porción única de la SC Regresión explicada por un factor, dados los factores ingresados previamente.
#suma de cuadrados parciales.
Anova(modelo, type = "III")## Anova Table (Type III tests)
##
## Response: salario
## Sum Sq Df F value Pr(>F)
## (Intercept) 3.5497e+08 1 6.4080 0.0116877 *
## edad 2.4031e+08 1 4.3381 0.0378116 *
## salini 5.0628e+10 1 913.9320 < 2.2e-16 ***
## educ 7.9831e+08 1 14.4111 0.0001663 ***
## expprev 1.2276e+08 1 2.2161 0.1372560
## tiempemp 1.2983e+09 1 23.4367 1.758e-06 ***
## Residuals 2.5870e+10 467
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Las sumas ajustadas de los cuadrados no dependen del orden en que los factores se ingresan en el modelo. Es la porción única de la SC Regresión explicada por un factor, dados todos los demás factores en el modelo, independientemente del orden en que se ingresaron en el mismo.
Tabla de regresion
datos.base<-Datos_de_empleados_1|>add_predictions(modelo)|>add_residuals(modelo)|>
mutate(resid_st=rstandard(modelo))
head(datos.base)## # A tibble: 6 × 9
## salario edad salini educ expprev tiempemp pred resid resid_st
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 21750 47 11250 12 0 65 22903. -1153. -0.156
## 2 26100 48 11550 12 2 74 24812. 1288. 0.174
## 3 21600 48 12000 12 0 69 24793. -3193. -0.431
## 4 29100 48 12450 8 17 69 22921. 6179. 0.839
## 5 22650 48 11250 12 2 69 23449. -799. -0.108
## 6 20850 48 11250 12 0 69 23465. -2615. -0.353Multicolinealidad
#Calculando el factor de inflación de la varianza (VIF)
library(car)
vif(modelo) ## edad salini educ expprev tiempemp
## 2.896328 1.814146 1.965904 2.903136 1.016769Se ve que el valor de inflación de la varianza es más alto en las variables edad y experiencia previa (meses) porque están correlacionadas.
Se recomienda extraer una las variables y analizar los valores del factor de inflacion de la varianza.
Análisis del cumplimiento de los supuestos de residuos.
#valores ajustados
p=predict(modelo)
#Residuos ordinarios
r <- residuals(modelo)
#Residuos internamente estudentizados
r_estand <- rstandard(modelo)
#r_estand
#Residuos externamente estudentizados
r_student <- rstudent(modelo)
#r_student
salario= Datos_de_empleados_1$salario
RR <-cbind(salario,p,r,r_estand,r_student)#Variable de respuesta
uy="Salario actual" #unidad de medida
#Variables explicativas
ux=c("libras","cm","cm","cm") #unidades de medidas#Chequeo de la Normalidad.
qqnorm(r_estand, ylab = "residuos", xlab = "Normal scores", col="blue")
qqline(r_estand, col="red")
#El gráfico de normalidad “qqnorm” muestra que los puntos de los residuos en una las colas se alejan bastante de la línea recta normal.
#Histograma
hist(r_estand,freq = F, main = "Histograma de residuos estandarizados",)
curve(dnorm(x,mean = 0, sd=1), lwd=2, col= "blue", add = T)
#El histograma de los residuos estandarizados indica que aparentemente
los residuos del modelo presentan una asimetria hacia la derecha.
Análisis del supuesto de normalidad
La hipótesis planteada es la siguiente:
\(H_0:\) Los errores siguen una distribución normal
\(H_1:\) Los errores No siguen una distribución normal
Criterios de decisión
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} > 0,05\) No se rechaza la \(H_0\).
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} \le 0,05\) se rechaza la \(H_0\).
#Prueba de normalidad
shapiro.test(r_estand)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: r_estand
## W = 0.85869, p-value < 2.2e-16#ks.test(r_estand)
#help("ks.test")
ks.test(r_estand, "pnorm", mean(r_estand), sd(r_estand))##
## Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: r_estand
## D = 0.12617, p-value = 5.769e-07
## alternative hypothesis: two-sided#Conclusión: Como el valor-p del estadístico es casi nulo (p-value = 2,2e-16 < 0.05), lo que nos lleva a No aceptar la hipótesis nula “Ho”, a partir del cual se concluye que los datos no son normales.
#Chequeo de homocedasticidad
plot(r_estand~p, ylab="residuos", main= "Gráfico de residuos estand vs ajustes", xlab= "y_iajustado", col="blue")
abline(0,0)
Supuesto de Homocedasticidad
datos.base|>ggplot(aes(pred, resid_st))+geom_ref_line(h=0,colour = "red")+geom_point()+
labs(title = "Residuos vs. predichos",x="predichos",y="residuos ajustados")+
theme(axis.title = element_text(color = 'royalblue',face = 'bold', size =10),
plot.title = element_text(size = 16),legend.position = "none")
#Capacidad de ajuste del modelo
plot(p~salario, ylab = "Log del salario (ajustados)", main= "Log del salario ajustados vs observados",
xlab= "log salario (observados)", col="blue")
abline(0,1)
Capacidad de ajuste del modelo
datos.base|>ggplot(aes(salario, pred))+geom_abline(slope=1,intercept = 0,colour = "red")+
geom_point()+labs(title = "Capacidad de ajuste",x=uy,y="predichos")+
theme(axis.title = element_text(color = 'royalblue',face = 'bold', size =10),
plot.title = element_text(size = 16),legend.position = "none")
#Como pudimos ver, no se cumplen los supuestos del modelo, por tanto aplicaremos transformación a la variable de respuesta Y (Salario actual), para intentar revertir el cumplimiento de supuestos.
APLICAMOS LA TRANSFORMACIÓN DESDE AQUI.
Realizamos una transformación logaritmica a la variable de respuesta “Y”, el cual representa el salario actual de los empleados.
log_salario= log(Datos_de_empleados_1$salario)
log_salario## [1] 9.987369 10.169691 9.980449 10.278493 10.027915 9.945109 10.041073
## [8] 10.328755 9.923290 10.034516 9.937889 9.966462 10.034516 9.923290
## [15] 10.146434 9.966462 10.230991 10.257659 10.220121 10.027915 10.214642
## [22] 10.230991 10.047588 10.021271 10.192419 10.001068 10.146434 10.047588
## [29] 9.885833 10.014582 10.060491 9.900984 10.060491 9.806426 10.104385
## [36] 10.116581 9.966462 10.448715 10.007848 10.104385 10.236382 10.079539
## [43] 10.021271 10.192419 10.357743 10.362493 10.181119 10.225571 10.041073
## [50] 10.098232 10.085809 10.163927 10.257659 10.001068 10.175421 10.085809
## [57] 9.923290 9.862666 10.122623 9.885833 10.098232 10.257659 10.041073
## [64] 10.288750 10.092040 10.298902 10.288750 10.241744 10.288750 10.540064
## [71] 10.283635 10.041073 10.128629 9.908475 10.192419 10.186785 9.994242
## [78] 10.616437 10.146434 10.399707 10.252382 10.343354 10.362493 10.601622
## [85] 10.333645 10.678445 10.220121 10.420494 10.181119 10.575156 9.994242
## [92] 10.478695 10.257659 10.413313 10.116581 10.247077 10.110502 10.303940
## [99] 10.280553 10.104385 10.236382 10.268131 10.352970 11.156251 10.970351
## [106] 10.680516 10.338511 10.146434 10.134599 10.555813 10.605347 10.128629
## [113] 10.192419 10.252382 10.140534 10.318903 10.470221 10.348173 10.317912
## [120] 10.085809 10.092040 10.390533 10.014582 10.288750 10.431170 10.390533
## [127] 10.520024 10.601622 10.941996 11.082143 11.002100 11.414485 11.032871
## [134] 10.668955 10.928633 10.616437 10.495432 10.054060 10.021271 9.994242
## [141] 10.192419 10.186785 10.567463 10.532096 10.278493 10.313940 11.289782
## [148] 11.110580 10.198021 10.175421 10.711636 10.303940 10.288750 10.371927
## [155] 10.333645 10.605347 10.385914 10.175421 10.181119 10.896739 10.362493
## [162] 10.230991 10.054060 10.404263 10.134599 10.736397 11.129100 11.335591
## [169] 11.082143 10.763208 11.022719 10.683959 10.540064 10.390533 10.283635
## [176] 10.717746 10.431170 10.594132 10.323841 10.470221 10.192419 10.871422
## [183] 10.586584 10.140534 10.303940 10.186785 10.230991 10.431170 10.236382
## [190] 10.163927 10.448715 10.482906 10.371927 10.209132 10.241744 10.567463
## [197] 10.352970 10.134599 10.559711 10.152299 10.448715 10.152299 10.507804
## [204] 10.880403 10.719958 11.267664 10.981046 11.119883 10.924138 11.129100
## [211] 10.446102 10.214642 10.736397 10.652542 10.352970 10.478695 10.198021
## [218] 10.623763 10.163927 10.220121 10.318903 10.357743 10.225571 10.491274
## [225] 10.431170 10.457373 10.482906 10.257659 10.778956 11.266065 11.191342
## [232] 11.421358 10.913269 11.225243 10.769537 10.755240 10.946411 10.348173
## [239] 10.645425 10.241744 10.362493 10.540064 10.417807 10.163927 10.431170
## [246] 10.799576 10.066881 10.839581 10.116581 10.104385 10.318903 11.305286
## [253] 10.915088 11.138232 10.728211 11.205041 10.794460 11.270854 10.903660
## [260] 10.230991 10.491274 10.465956 10.203592 10.578980 10.408798 10.830718
## [267] 10.186785 10.230991 10.134599 10.085809 11.002100 10.942880 11.012463
## [274] 10.338511 10.092040 10.203592 10.214642 10.214642 10.085809 10.313940
## [281] 10.186785 11.482466 10.912813 11.138232 11.110580 11.365005 11.225243
## [288] 10.601622 10.376611 10.457373 10.293839 10.991629 10.844471 10.597884
## [295] 11.042922 11.512925 11.156251 10.491274 10.220121 10.308953 11.549739
## [302] 11.101191 10.714418 10.286707 10.181119 9.945109 10.348173 10.563595
## [309] 10.278493 10.158130 10.482906 11.008330 11.613901 11.208436 10.652542
## [316] 10.848366 10.915088 10.601622 10.214642 10.268131 10.303940 10.001068
## [323] 10.098232 11.547327 10.252382 10.413313 10.950807 11.168673 10.915088
## [330] 10.690808 10.128629 10.021271 10.098232 11.097410 11.032871 10.273325
## [337] 10.318903 10.110502 10.491274 10.333645 11.145478 9.885833 10.328755
## [344] 10.452187 10.021271 10.465956 10.413313 10.079539 11.429544 10.104385
## [351] 9.973480 10.060491 10.333645 11.320554 10.861400 10.338511 10.262909
## [358] 9.994242 10.116581 10.085809 9.764225 10.092040 10.333645 10.203592
## [365] 10.236382 10.085809 9.885833 10.047588 9.930616 10.308953 10.158130
## [372] 10.333645 10.448715 10.819778 10.992050 10.047588 10.066881 9.885833
## [379] 11.813030 11.108710 9.822820 9.945109 10.169691 9.980449 10.426736
## [386] 10.175421 9.959395 9.994242 10.014582 9.746834 10.060491 10.104385
## [393] 10.073230 9.738023 10.134599 9.945109 9.900984 9.952278 10.333645
## [400] 10.634653 9.987369 10.175421 10.014582 9.945109 9.755567 10.333645
## [407] 10.007848 10.014582 10.104385 10.220121 10.536088 10.308953 10.175421
## [414] 10.308953 9.692767 9.746834 10.209132 10.021271 9.674074 10.278493
## [421] 9.885833 10.333645 10.470221 9.738023 9.973480 11.082143 10.073230
## [428] 10.014582 10.001068 9.838949 9.764225 10.007848 9.966462 10.230991
## [435] 10.371927 10.021271 10.448715 9.893437 9.692767 9.729134 9.987369
## [442] 9.937889 10.470221 10.257659 10.175421 9.738023 9.862666 10.431170
## [449] 9.959395 9.701983 10.333645 10.085809 10.357743 9.806426 10.278493
## [456] 9.781320 10.328755 10.128629 9.908475 9.720165 9.711116 9.692767
## [463] 10.192419 10.104385 9.952278 9.664596 10.333645 10.333645 10.371927
## [470] 10.308953 9.973480 9.980449 10.333645Agregamos la nueva variable transformada a la base.
Datos_de_empleados_1=cbind(Datos_de_empleados_1,log_salario)
#View(Datos_de_empleados_1)Analisis exploratorio univariado de la variable de respuesta transformada.
Analizamos la distribución del logaritmo del salario
boxplot(Datos_de_empleados_1$log_salario, xlab = "log del salario actual de los empleados", main = "Distribucion del salario actual \nempleados")
#Al transformar la variable de respuesta, ya no muestra tantos valores atipicos que se observaban en su version no transformada.
hist(Datos_de_empleados_1$log_salario)
#El histograma del logaritmo del salario actual muestra una distribución casi simetrica, aunque se aprecia una leve asimetria hacia la derecha.
El Modelo de regresión múltiple propuesto con la variable de respuesta transformada, se expresa en la siguiente ecuación:
\(log(Y)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_3+\beta_4x_4+\beta_5x_5+\epsilon_i\)
Donde:
\(log(Y):\)es la variable dependiente “log_salario” Logaritmo del salario actual del empleado.
\(x_1:\)es la variable independiente “edad” edad del empleado.
\(x_2:\)es la variable independiente “salini” Salario Inicial del empleado..
\(x_3:\)es la variable independiente “educ” años de estudios del empleado.
\(x_4:\)es la variable independiente “expprev” experiencia previa (meses).
\(x_5:\)es la variable independiente “tiempemp” antiguedad en la empresa.
\(\beta_0:\) es el coeficiente de intersección
\(\beta_1\), \(\beta_2\), \(\beta_3\), \(\beta_4:\),\(\beta_5:\) son los coeficientes de regresión parcial.
\(\epsilon_i:\)es el error aleatorio
Hipotesis para evaluación del Modelo con la transformación de “Y”.
Contraste de hipótesis
\(H_0:\) \(\beta_1=\)\(\beta_2=\)\(\beta_3=\)\(\beta_4=0\). Ninguna de las variables explicativas influye en la variable de respuesta “Y”
\(H_1:\) \(\beta_i<>0\). Al menos una de las variables explicativas influye en la variable de respuesta “Y”
Criterios de decisión
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} > 0,05\) No se rechaza la \(H_0\).
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} \le 0,05\) se rechaza la \(H_0\).
#El rango de la matriz para este modelo en principio es igual a la cantidad de parámetros a estimar n=6, pero considerando la presunta multicolinealidad entre la edad y experiencia previa (meses), el rango quedaría en 5.
Aplicamos el modelo con la “Y transformada” y con todas las variables tomadas inicialmente.
modelo<- lm(log_salario ~ edad+salini+educ+expprev+tiempemp, data = Datos_de_empleados_1)
modelo##
## Call:
## lm(formula = log_salario ~ edad + salini + educ + expprev + tiempemp,
## data = Datos_de_empleados_1)
##
## Coefficients:
## (Intercept) edad salini educ expprev tiempemp
## 9.441e+00 -6.956e-03 3.597e-05 2.725e-02 2.308e-04 4.231e-03summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = log_salario ~ edad + salini + educ + expprev + tiempemp,
## data = Datos_de_empleados_1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.95969 -0.12602 -0.01593 0.10596 0.89455
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.441e+00 1.044e-01 90.409 < 2e-16 ***
## edad -6.956e-03 1.236e-03 -5.626 3.18e-08 ***
## salini 3.597e-05 1.464e-06 24.572 < 2e-16 ***
## educ 2.725e-02 4.160e-03 6.551 1.52e-10 ***
## expprev 2.308e-04 1.394e-04 1.656 0.0983 .
## tiempemp 4.231e-03 8.592e-04 4.924 1.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.186 on 467 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7836, Adjusted R-squared: 0.7813
## F-statistic: 338.2 on 5 and 467 DF, p-value: < 2.2e-16#Examinando los resultados del modelo para cada una de las covaribles, vemos que la covariable expprev no es significativa, lo cual indica que no tiene relación lineal con la variable y.
A partir de lo anterior, planteamos un nuevo modelo más parsimonioso excluyendo las variable “expprev”.
Modelo de Regresión Múltiple Parsimonioso propuesto es el siguiente:
\((Y)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_3+\beta_5x_5+\epsilon_i\)
Donde:
\(Y:\)es la variable de dependiente “salario” el salario actual del empleado.
\(x_1:\)es la variable independiente “edad” edad del empleado.
\(x_2:\)es la variable independiente “salini” Salario Inicial del empleado..
\(x_3:\)es la variable independiente “educ” años de estudios del empleado.
\(x_5:\)es la variable independiente “tiempemp” antiguedad en la empresa.
\(\beta_0:\) es el coeficiente de intersección
\(\beta_1\), \(\beta_2\), \(\beta_3\),\(\beta_5:\) son los coeficientes de regresión parcial.
\(\epsilon_i:\)es el error aleatorio
Hipótesis para evaluación del Modelo.
Contraste de hipótesis
\(H_0:\) \(\beta_1=\)\(\beta_2=0\)\(\beta_3=0\)\(\beta_5=0\). Ninguna de las variables explicativas influye en la variable de respuesta “Y”
\(H_1:\) \(\beta_i<>0\). Al menos una de las variables explicativas influye en la variable de respuesta “Y”
Criterios de decisión
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} > 0,05\) No se rechaza la \(H_0\).
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} \le 0,05\) se rechaza la \(H_0\).
Aplicamos el modelo tomando solo las variables significativas
modelo1<- lm(salario ~edad+salini+educ+tiempemp,data =Datos_de_empleados_1)
modelo1##
## Call:
## lm(formula = salario ~ edad + salini + educ + tiempemp, data = Datos_de_empleados_1)
##
## Coefficients:
## (Intercept) edad salini educ tiempemp
## -8275.551 -160.195 1.757 664.995 169.040summary(modelo1)##
## Call:
## lm(formula = salario ~ edad + salini + educ + tiempemp, data = Datos_de_empleados_1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30045 -3894 -1011 2577 46580
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -8.276e+03 3.887e+03 -2.129 0.0338 *
## edad -1.602e+02 3.125e+01 -5.126 4.35e-07 ***
## salini 1.757e+00 5.794e-02 30.330 < 2e-16 ***
## educ 6.650e+02 1.652e+02 4.026 6.62e-05 ***
## tiempemp 1.690e+02 3.438e+01 4.917 1.22e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 7452 on 468 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8115, Adjusted R-squared: 0.8099
## F-statistic: 503.8 on 4 and 468 DF, p-value: < 2.2e-16Modelo parsimonioso en forma de ecuación con los parámetros estimados.
\(\widehat{y}= -8.276e+03-1.602e+02 x_1+1.757e+00 x_2+6.650e+02x_3+1.690e+02x_5\)
\(b_0= -8.276e+03\), si todas las variables explicativas fueran cero, el salario actual esperado seria de -8.276e+03
\(b_1=-1.602e+02\), es la disminución promedio del salario actual del empleado, cuando se incrementa en una unidad la edad del empleado, manteniendose constante las demás variables explicativas.
\(b_2=1.757e+00\), es el aumento promedio del salario actual del empleado, se incrementa en una unidad el salario inicial del empleado, manteniendose constante las demás variables explicativas.
\(b_3=6.650e+02\), es el aumento promedio del salario actual del empleado, se incrementa en una unidad los años de estudios del empleado, manteniendose constante las demás variables explicativas.
\(b_5=1.690e+02\), es el aumento promedio del salario actual del empleado, se incrementa en una unidad la antiguedad del empleado, manteniendose constante las demás variables explicativas.
Análisis Conjunto
#Analizando el R-squared: 0.8115 (coeficiente de determinación), vemos que el modelo de regresión explica el 81% de la varianza.
#Respecto al test de significancia grupal arroja un p-valor menor que el nivel de significación 0.05, por tanto, se Rechaza la Hipótesis Nula, es decir al menos uno de los parametros estimados es distinto de cero (Bi#0).
Tabla de regresion
datos.base1<-Datos_de_empleados_1|>add_predictions(modelo1)|>add_residuals(modelo1)|>
mutate(resid_st=rstandard(modelo1))
#head(datos.base1)##intervalo de confianza de las betas.
confint(modelo1)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) -15913.433870 -637.667813
## edad -221.609342 -98.779845
## salini 1.643377 1.871074
## educ 340.396664 989.592393
## tiempemp 101.479218 236.600978#Covariancia de la estimación de parámetros
vcov(modelo1)## (Intercept) edad salini educ
## (Intercept) 1.510778e+07 -70827.895539 40.420033699 -3.270490e+05
## edad -7.082790e+04 976.787248 -0.418029041 1.862508e+03
## salini 4.042003e+01 -0.418029 0.003356669 -6.311028e+00
## educ -3.270490e+05 1862.507700 -6.311028132 2.728638e+04
## tiempemp -8.502523e+04 -91.453946 0.164878555 -5.972454e+02
## tiempemp
## (Intercept) -8.502523e+04
## edad -9.145395e+01
## salini 1.648786e-01
## educ -5.972454e+02
## tiempemp 1.182075e+03#model4<- lm(log_salario ~ edad+salini+educ+tiempemp,data =Datos_de_empleados_1)
#summary(model4)Multicolinealidad
#Calculando el factor de inflación de la varianza (VIF)
library(car)
vif(modelo1) ## edad salini educ tiempemp
## 1.152746 1.770245 1.930881 1.014152Se ve que el valor de inflación de la varianza es bajo en ambas variables lo que muestra independencia en las covariables.
Análisis del cumplimiento de los supuestos de los residuos.
#valores ajustados
pre=predict(modelo1)
#Residuos ordinarios
ro <- residuals(modelo1)
#Residuos internamente estudentizados
r_estand1 <- rstandard(modelo1)
#r_estand1
#Residuos externamente estudentizados
r_student1 <- rstudent(modelo1)
#r_student1
RR1 <- cbind(pre,ro,r_estand1,r_student1)
#datos1<- cbind(datos1, RR1)#Chequeo de la Normalidad.
qqnorm(r_estand1, ylab = "residuos", xlab = "Normal scores", col="blue")
qqline(r_estand1, col="red")
#Analizando el gráfico de normalidad “qqnorm” vemos que los puntos de los residuos cerca de las colas no caen exactamente a lo largo de la línea recta de la normal, pero en la mayor parte estos datos parecen estar distribuidos normalmente.
#Histograma
hist(r_estand1,freq = F, main = "Histograma de residuos estandarizados",)
curve(dnorm(x,mean = 0, sd=1), lwd=2, col= "blue", add = T)
#El histograma de los residuos estandarizados indica que aparentemente los residuos del modelo se distribuyen normalmente.
Análisis del supuesto de Normalidad
La hipótesis planteada es la siguiente:
\(H_0:\) Los errores siguen una distribución normal
\(H_1:\) Los errores No siguen una distribución normal
Criterios de decisión
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} > 0,05\) No se rechaza la \(H_0\).
Para un \(\alpha=0,05\), si \(p_{valor} \le 0,05\) se rechaza la \(H_0\).
#Prueba de normalidad
shapiro.test(r_estand1)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: r_estand1
## W = 0.85982, p-value < 2.2e-16#library(nortest)
#lillie.test(r_estand)#Conclusión: Como el valor-p del estadístico es mayor a 0.05 (p-value = 0.0986 > 0.05), lo que nos lleva a Aceptar la hipótesis nula “Ho”, a partir del cual se concluye que los datos son normales.
#Chequeo de homocedasticidad
plot(r_estand1~pre, ylab="residuos", main= "Gráfico de residuos estand vs ajustes", xlab= "y_iajustado", col="blue")
abline(0,0)
- Supuesto de Homocedasticidad
datos.base1|>ggplot(aes(pred, resid_st))+geom_ref_line(h=0,colour = "red")+geom_point()+
labs(title = "Residuos vs. predichos",x="predichos",y="residuos ajustados")+
theme(axis.title = element_text(color = 'royalblue',face = 'bold', size =10),
plot.title = element_text(size = 16),legend.position = "none")
#Capacidad de ajuste del modelo
plot(pre~log_salario, ylab = "Log del salario actual (ajustados)", main= "Log del salario actual ajustados vs observados",
xlab= "log salario (observados)", col="blue")
abline(0,1)
Capacidad de ajuste del modelo
datos.base1|>ggplot(aes(salario, pred))+geom_abline(slope=1,intercept = 0,colour = "red")+
geom_point()+labs(title = "Capacidad de ajuste",x=uy,y="predichos")+
theme(axis.title = element_text(color = 'royalblue',face = 'bold', size =10),
plot.title = element_text(size = 16),legend.position = "none")
Conclusión: Para poder obtener un modelo válido, en el cual se cumplen
los supuestos de independencia, normalidad y homocedasticidad, se tuvo
la necesidad de realizar una transformación en la variable de respuesta
Y. A partir de la transformación, encontramos un modelo parsimonioso
donde los factores que mejor explican el salario actual del empleado
son: salario inicial (salini), edad, años de estudios (educ),antiguedad
(tiempemp) con una significancia estadística menor al 1% en las
variables explicativas. Respecto al test de significancia grupal, este
arroja un p-valor casi nulo (p-value: < 2.2e-16 ), lo cual nos lleva
a rechazar la Hipótesis Nula planteada, es decir al menos uno de los
parámetros estimados es distinto de cero (Bi#0). Así se tienen
predictores significativos, el valor del R-cuadrado es bueno, un poco
más del 80%, considerado apropiado en el ámbito de la economía.
#INTERVALOS DE CONFIANZA PARA E(y/x) y para y/x
ic_conf= predict(modelo1,interval ="conf")
ic_conf## fit lwr upr
## 1 22931.63 21324.94 24538.32
## 2 24819.96 23555.89 26084.04
## 3 24765.52 23360.30 26170.73
## 4 22896.29 20756.97 25035.61
## 5 23447.60 22032.16 24863.04
## 6 23447.60 22032.16 24863.04
## 7 25292.68 23890.12 26695.24
## 8 25556.27 24154.73 26957.81
## 9 23447.60 22032.16 24863.04
## 10 23447.60 22032.16 24863.04
## 11 23447.60 22032.16 24863.04
## 12 23447.60 22032.16 24863.04
## 13 23278.56 21826.08 24731.04
## 14 22940.48 21407.66 24473.30
## 15 25579.47 24424.64 26734.30
## 16 23014.03 21037.06 24991.01
## 17 25166.89 23995.62 26338.16
## 18 29877.90 28319.63 31436.17
## 19 23973.82 21971.96 25975.69
## 20 25315.88 24158.84 26472.93
## 21 25315.88 24158.84 26472.93
## 22 25271.95 24114.51 26429.39
## 23 24788.72 23626.49 25950.94
## 24 22128.74 20170.53 24086.94
## 25 25843.05 24690.19 26995.91
## 26 24788.72 23626.49 25950.94
## 27 26633.80 25485.35 27782.26
## 28 25315.88 24158.84 26472.93
## 29 25146.84 23990.93 26302.76
## 30 25146.84 23990.93 26302.76
## 31 25146.84 23990.93 26302.76
## 32 25146.84 23990.93 26302.76
## 33 25146.84 23990.93 26302.76
## 34 24619.68 23458.41 25780.94
## 35 26295.72 25146.40 27445.05
## 36 24450.64 23286.41 25614.86
## 37 24639.72 23463.68 25815.76
## 38 26221.23 25056.55 27385.90
## 39 33189.00 31889.94 34488.05
## 40 25396.07 24029.74 26762.41
## 41 25396.07 24029.74 26762.41
## 42 25923.24 24558.71 27287.77
## 43 25247.08 23718.42 26775.74
## 44 27284.41 26175.21 28393.60
## 45 28602.33 27491.30 29713.35
## 46 29717.71 28175.48 31259.94
## 47 25866.25 24450.43 27282.07
## 48 27447.75 26042.09 28853.42
## 49 25866.25 24450.43 27282.07
## 50 26657.00 25247.18 28066.82
## 51 23827.98 21705.31 25950.66
## 52 26487.96 25118.10 27857.82
## 53 25697.21 24320.96 27073.46
## 54 26487.96 25118.10 27857.82
## 55 25980.84 24716.69 27244.99
## 56 25493.77 24364.41 26623.13
## 57 24966.60 23831.85 26101.35
## 58 25230.18 24098.25 26362.12
## 59 25155.69 24040.23 26271.15
## 60 24628.52 23507.26 25749.78
## 61 24459.48 23338.90 25580.06
## 62 24986.65 23872.04 26101.25
## 63 30542.86 29313.92 31771.80
## 64 30751.09 29501.08 32001.10
## 65 29075.95 27678.57 30473.33
## 66 26573.84 25121.86 28025.83
## 67 27384.64 25792.02 28977.27
## 68 31224.68 30080.84 32368.51
## 69 33038.55 31797.41 34279.69
## 70 31213.51 29811.89 32615.14
## 71 29546.13 28111.19 30981.07
## 72 27023.98 25651.47 28396.48
## 73 23836.83 21719.46 25954.20
## 74 26854.93 25523.39 28186.48
## 75 28909.16 27754.24 30064.07
## 76 29172.74 28017.19 30328.29
## 77 29795.36 28657.87 30932.84
## 78 36856.77 35648.30 38065.24
## 79 27463.20 26212.24 28714.15
## 80 39278.90 37736.06 40821.74
## 81 26366.92 24064.37 28669.47
## 82 31738.14 30255.32 33220.96
## 83 32474.44 31231.82 33717.07
## 84 37035.56 36114.57 37956.54
## 85 35379.56 34408.10 36351.02
## 86 33892.60 32872.34 34912.85
## 87 29038.29 27804.43 30272.14
## 88 30207.21 28793.23 31621.19
## 89 31864.12 30353.32 33374.91
## 90 31695.08 30131.33 33258.83
## 91 25073.14 23476.76 26669.52
## 92 31703.74 30542.67 32864.80
## 93 30763.09 29609.05 31917.13
## 94 31629.24 30519.58 32738.90
## 95 26660.34 25606.81 27713.87
## 96 29466.12 28346.14 30586.10
## 97 28281.94 27253.49 29310.39
## 98 28112.90 27072.83 29152.96
## 99 30579.69 29505.79 31653.60
## 100 23293.89 22185.27 24402.51
## 101 27436.74 26310.18 28563.29
## 102 28058.45 26900.04 29216.85
## 103 24200.14 22599.35 25800.93
## 104 43241.50 41775.36 44707.65
## 105 37666.15 36421.33 38910.97
## 106 39794.87 38458.99 41130.74
## 107 34104.88 33092.39 35117.38
## 108 31055.57 29989.71 32121.43
## 109 28514.27 27485.04 29543.51
## 110 36233.60 35322.93 37144.27
## 111 41325.07 40331.82 42318.32
## 112 31434.64 30398.56 32470.73
## 113 31737.42 30683.16 32791.68
## 114 31738.32 30577.86 32898.78
## 115 32718.16 31509.07 33927.26
## 116 32380.08 31080.65 33679.51
## 117 28257.28 26808.80 29705.76
## 118 32211.04 30863.63 33558.45
## 119 30047.02 28660.11 31433.93
## 120 29111.15 27521.24 30701.05
## 121 29225.74 27820.33 30631.14
## 122 32145.21 30953.17 33337.25
## 123 29812.14 28700.63 30923.65
## 124 36740.72 35783.24 37698.21
## 125 26162.06 25168.90 27155.23
## 126 38024.24 37129.35 38919.13
## 127 37517.12 36554.45 38479.79
## 128 44468.03 43509.56 45426.50
## 129 44129.95 43160.27 45099.63
## 130 63728.87 61931.84 65525.90
## 131 63126.03 61351.24 64900.82
## 132 61769.93 59856.56 63683.31
## 133 57359.30 55495.99 59222.61
## 134 37962.09 36923.73 39000.45
## 135 39801.98 38287.71 41316.25
## 136 33809.15 32315.43 35302.86
## 137 32322.19 30893.72 33750.66
## 138 32153.15 30774.50 33531.80
## 139 21416.62 19405.34 23427.89
## 140 29682.26 27495.67 31868.84
## 141 29651.95 28575.42 30728.48
## 142 31949.71 30908.48 32990.93
## 143 33606.61 32644.26 34568.96
## 144 43095.63 42213.69 43977.56
## 145 31442.59 30461.25 32423.92
## 146 34586.45 33673.91 35498.98
## 147 34586.45 33673.91 35498.98
## 148 64594.08 63071.14 66117.02
## 149 30597.39 29625.93 31568.84
## 150 33741.25 32780.27 34702.23
## 151 44053.41 43071.67 45035.15
## 152 32557.97 31360.48 33755.45
## 153 33368.77 32056.43 34681.11
## 154 32050.85 30713.06 33388.64
## 155 28568.90 27216.65 29921.16
## 156 33199.73 31836.60 34562.85
## 157 30563.89 29146.32 31981.46
## 158 29548.74 28089.76 31007.73
## 159 32661.17 31335.08 33987.27
## 160 41064.64 39814.34 42314.95
## 161 31307.95 30151.04 32464.85
## 162 26847.07 25797.46 27896.68
## 163 35251.44 34154.12 36348.77
## 164 38021.92 36934.71 39109.13
## 165 28380.72 26813.62 29947.83
## 166 46758.05 45527.30 47988.81
## 167 65659.31 64107.21 67211.41
## 168 45287.68 44332.20 46243.15
## 169 61598.66 60167.96 63029.35
## 170 43546.29 42487.67 44604.92
## 171 65192.00 63330.02 67053.99
## 172 38967.36 37504.99 40429.73
## 173 36603.76 35380.36 37827.16
## 174 34156.98 32785.09 35528.86
## 175 29332.98 27127.40 31538.55
## 176 35136.82 33884.87 36388.76
## 177 36454.74 35226.45 37683.02
## 178 35282.62 34245.47 36319.77
## 179 32634.71 31454.61 33814.81
## 180 33953.54 32951.97 34955.10
## 181 33953.54 32951.97 34955.10
## 182 42357.00 41374.93 43339.08
## 183 35913.21 35042.71 36783.72
## 184 31113.35 30179.92 32046.79
## 185 32431.27 31476.89 33385.65
## 186 32939.29 32003.59 33875.00
## 187 35237.05 34356.93 36117.18
## 188 33242.07 32267.51 34216.63
## 189 31936.22 31111.25 32761.19
## 190 31767.18 30927.59 32606.77
## 191 37534.81 36662.51 38407.11
## 192 32227.83 31148.07 33307.58
## 193 32059.69 30777.90 33341.49
## 194 33208.57 31904.14 34513.00
## 195 33039.53 31683.76 34395.30
## 196 36308.93 34792.60 37825.26
## 197 24230.34 22125.62 26335.05
## 198 30884.17 29761.30 32007.04
## 199 37761.49 36581.61 38941.36
## 200 31790.42 30811.29 32769.54
## 201 37389.01 36371.29 38406.72
## 202 28950.23 28011.61 29888.85
## 203 37185.56 35966.96 38404.17
## 204 46176.12 44963.76 47388.48
## 205 47019.59 45802.53 48236.65
## 206 58554.85 57107.74 60001.97
## 207 45972.68 45027.52 46917.84
## 208 69716.73 67951.15 71482.31
## 209 68547.25 66877.03 70217.47
## 210 64982.56 63384.43 66580.69
## 211 38807.16 37349.79 40264.53
## 212 30852.92 29431.93 32273.91
## 213 34165.82 32755.36 35576.29
## 214 32170.84 30742.04 33599.64
## 215 35314.70 33979.81 36649.59
## 216 32981.64 31693.15 34270.12
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## 473 23851.96 21813.78 25890.14`