AULA 14: MODELAGEM MATEMÁTICA - Problemas de Planejamento
Academia da Força Aérea
Verifique ao final desta aula se você é capaz de:
1- compreender o processo de modelagem matemática de problemas (Cp);
2-construir modelos matemáticos para problemas de otimização (Ap);
1- Um problema de transporte é um tipo especial de problema de otimização linear que envolve:
A determinação da rota mais curta entre dois pontos, considerando as distâncias e os obstáculos existentes.
A alocação de recursos limitados para várias atividades, maximizando o lucro total da produção.
A seleção de um conjunto de projetos a serem realizados, respeitando as restrições de tempo e orçamento.
2- Em um problema de transporte, a variável de decisão é:
A quantidade de produto que é transportada de uma origem para um destino.
O custo unitário de transporte de um produto de uma origem para um destino.
A capacidade de oferta ou demanda de um produto em uma origem ou destino.
O número de origens ou destinos envolvidos no problema.
1- Um problema de transporte é um tipo especial de problema de otimização linear que envolve:
2- Em um problema de transporte, a variável de decisão é:
3- A SDAB possui três armazéns centrais que distribuem um certo item de fardamento a quatro lojas localizadas em diferentes OM. Os armazéns 1, 2 e 3 possuem capacidade de oferta de 12, 17 e 11 remessas por mês. Cada loja necessita receber no mínimo 10 e no máximo 12 remessas por mês. A distância em km entre cada armazém até as respectivas lojas é conhecida. O custo do frete de cada remessa é de R$100 mais R$0,50/km. O objetivo é minimizar o custo total de transporte. A variável de decisão para o problema é:
\(x_i\) = número de lojas a serem atendidas pelo armazém i, \(i=1,2,3\)
\(x_{ij}\) = custo de envio de 1 remessa do armazém i para a loja j, \(i=1,2,3\) e \(j=1,2,3,4\)
\(x_{ij}\) = número de remessas enviadas do armazém i para a loja j, \(i=1,2,3\) e \(j=1,2,3,4\)
\(x_{ij}\) = número de remessas enviadas da loja i para o armazém j, \(i=1,2,3,4\) e \(j=1,2,3\)
\(x_{ij}\) = distância em km do o armazém i para a loja j, \(i=1,2,3\) e \(j=1,2,3,4\)
4- A SDAB possui um armazém central que distribue um certo item de fardamento a duas lojas localizadas em diferentes OM. O armazém possue capacidade de oferta de 20 remessas por mês. Cada loja necessita receber no mínimo 10 e no máximo 12 remessas por mês. A distância em km entre o armazém até as respectivas lojas é de 300 km e 600 km. O custo do frete de cada remessa é de R$100 mais R$0,50/km. O objetivo é minimizar o custo total de transporte. Sabendo que a variável de decisão é \(x_i\) = número de remessas enviada à loja i, (\(i=1,2\)), como deve ser escrita a função objetivo deste problema?
min\(z=100x_1+100x_2\)
min\(z=300x_1+600x_2\)
min\(z=x_1+x_2\)
min\(z=150x_1+300x_2\)
min\(z=250x_1+400x_2\)
3- A SDAB possui três armazéns centrais que distribuem um certo item de fardamento a quatro lojas localizadas em diferentes OM. Os armazéns 1, 2 e 3 possuem capacidade de oferta de 12, 17 e 11 remessas por mês. Cada loja necessita receber no mínimo 10 e no máximo 12 remessas por mês. A distância em km entre cada armazém até as respectivas lojas é conhecida. O custo do frete de cada remessa é de R$100 mais R$0,50/km. O objetivo é minimizar o custo total de transporte. A variável de decisão para o problema é:
4- A distância em km entre o armazém até as respectivas lojas é de 300 km e 600 km. O custo do frete de cada remessa é de R$100 mais R$0,50/km. O objetivo é minimizar o custo total de transporte. Sabendo que a variável de decisão é \(x_i\) = número de remessas enviada à loja i, (\(i=1,2\)), como deve ser escrita a função objetivo deste problema?
pois o custo do frete por remessa para a loja 1 é de \(100+0.5 \cdot 300=250\) e o custo do frete para a loja 2 é de\(100+0.5 \cdot 600=400\)
Veremos nesta aula modelos relacionados ao problema clássico de planejamento da produção.
Um modelo linear para planejamento da produção é uma ferramenta matemática que busca determinar a quantidade ótima de cada produto a ser fabricado/processado em um determinado período, de modo a maximizar o lucro ou minimizar o custo da produção. O modelo considera os recursos disponíveis, como matéria-prima, mão-de-obra, máquinas e espaço, e as restrições que limitam a capacidade produtiva, como demanda, qualidade e tempo.
A DSM faz a manutenção das aeronaves T-25, T-27 da Academia da Força Aérea.
Cada tipo de aeronave requer certa quantidade de tempo para a desmontagem, verificação/troca de componentes e para a montagem e limpeza. Especificamente, cada unidades do modelo T-25 requer três horas para desmontar, quatro horas para verificar/trocar componentes e uma para montar/limpar. Os números correspondentes o T-27 são 3.5h, 5h e 1.5h.
Durante a próxima semana, a DSM tem disponíveis 120 horas de desmontagem, 160 horas de verificação/troca de componentes e 48 horas de montagem/limpeza.
Formule o modelo para o problema com o objetivo de maximizar o número de aeronaves que passarão pela manutenção na próxima semana.
Critério de Otimalidade: Maximizar o número de aeronaves que passarão pela manutenção na próxima semana.
Definição das variáveis de decisão:
\(x_{i}\): número de aeronaves do tipo \(i\) que passarão por manutenção na próxima semana, \(i=1(T-25),2 (T-27)\)
Função Objetivo:
max \(z=x_1+x_2\)
Hipótese simplificadora: Não serão considerados tempos de reposicionamento das aeronaves.
Restrições Estruturais
\(3x_{1} + 3.5x_{2} \le 120\)
\(4x_{1} + 5x_{2} \le 160\)
\(x_{1} + 1.5x_{2} \le 48\)
Restrições de Sinal
\(x_{i} \ge 0, \space \forall i=1,2\)
\(x_{i}\): número de aeronaves do tipo \(i\) que passarão por manutenção na próxima semana, \(i=1(T-25),2 (T-27)\)
max \(z=x_1+x_2\)
sujeito a
\(3x_{1} + 3.5x_{2} \le 120\)
\(4x_{1} + 5x_{2} \le 160\)
\(x_{1} + 1.5x_{2} \le 48\)
\(x_{i} \ge 0, \space \forall i=1,2\)
Utilize o phpsimplex e veja o resultado. http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=pt
Utilize o R e veja o resultado
library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(1,1)
R1 = c(3, 3.5)
R2 = c(4, 5)
R3 = c(1, 1.5)
restricoes = rbind(R1,R2,R3)
b = c(120, 160, 48)
sinal = c("<=","<=","<=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "max",
objective.in = coef.objetivo,
const.mat = restricoes,
const.dir = sinal,
const.rhs = b, all.int = T)
solucaoSuccess: the objective function is 40 [1] 40 0O modelo indica que deve ser realizado um total de 40 manutenções.
40 aeronaves T-25 deverão passar por manutenção e esta é a capacidade máxima da DSM para a próxima semana.
Verifique quanto de horas cada setor utilizará para realizar a manutenção.
Há sobra de horas em algum setor?
Resolva o problema se incluirmos uma restrição de que pelo menos 4 aeronaves t-27 devem passar por manutenção. O que muda no modelo? O que muda na solução?
Terminou? Realize os exercícios do caderno de modelagem disponível no moodle.
