Identificação e Modelagem de Processos Estacionários

Questão 1:

Calcule as FAC e FACP (5 primeiros valores) para os processos estacionários a seguir:

As funções de Autocorrelação e Autocorrelação Parcial foi utilizado a função do R, ARMAacf. Segue a resolução.

1. \(Y_t = \varepsilon _t + \theta \varepsilon_{t-1}; \theta = -0,5\)

• \(Y_t\) por definição é um MA(1), com \(\theta = (-0,5)\), note que na FACP depois da 1ª defasagem o valor da Função de Autocorrelação é igual à zero, como esperado.

FAC vs FACP por defasagem, MA(1)

	1	2	3	4	5
FAC	-0.4	0.00	0.00	0.00	0.00
FACP	-0.4	-0.19	-0.09	-0.05	-0.02

2. \((1 - \phi L )Y_t = \varepsilon _t; \phi = 0,9\)

• \(Y_t\) por definição é um AR(1), com \(\phi = (0,9)\) note que na FAC depois da 1ª defasagem o valor da Função Autocorrelação Parcial é igual a zero, como esperado.

FAC vs FACP por defasagem, AR(1)

	1	2	3	4	5
FAC	0.9	0.81	0.73	0.66	0.59
FACP	0.9	0.00	0.00	0.00	0.00

3. \((1 - \phi L )Y_t = \varepsilon _t + \theta \varepsilon_{t-1} ; \phi = 0,9 ; \theta = -0,5\)

• \(Y_t\) por definição é um ARMA(1,1), com \(\phi = (0,9)\) e \(\theta = (-0,5)\) note que tanto a FAC quanto a FACP ocorre o decaimento dos valores para as primeiras 5 defasagens.

FAC vs FACP por defasagem, ARMA(1,1)

	1	2	3	4	5
FAC	0.63	0.57	0.51	0.46	0.41
FACP	0.63	0.28	0.14	0.07	0.03

Questão 2:

Obtenha as Séries do IPCA (IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), Saldo de Crédito Total (BCB - Banco Central do Brasil), Retornos do Ibovespa e o preço de um ativo presente na B3 à sua escolha. (Todas mensais, de 01/2015 a 12/2022). Então, para cada série: Fontes utilizadas:

• Fonte IBGE: ibge.gov.br/

• Fonte BCB: bcb.gov.br/

• Fonte IBOVESPA: br.financas.yahoo.com/quote/%5EBVSP

• Fonte AAPL: br.financas.yahoo.com/quote/AAPL

Carregando pacotes:

require(forecast)
require(ggplot2)
require(tseries)
require(quantmod)
require(fBasics)

IBOVESPA

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.0802	-0.1701	-0.1517	-0.0880	-0.0396	0.1479	0.0702	-0.1888	-0.1693	-0.0436
FACP	0.0802	-0.1777	-0.1262	-0.1005	-0.0792	0.1104	0.0099	-0.1870	-0.1233	-0.0723
Q	0.6303	3.4975	5.8039	6.5875	6.7478	9.0114	9.5270	13.3013	16.3713	16.5772
p-valor*	0.4272	0.1740	0.1216	0.1594	0.2401	0.1729	0.2170	0.1019	0.0595	0.0843

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##         mean
##       0.0114
## s.e.  0.0069
## 
## sigma^2 = 0.004634:  log likelihood = 120.99
## AIC=-237.98   AICc=-237.85   BIC=-232.87

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(0,0))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(0, 0))
## 
## Coefficient(s):
## intercept  
##    0.0114

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, RB $ RB(0 , ^2)$ tal que,

\[Y_t = (0,0114) + \varepsilon_t\]

onde Retorno Ibovespa segue o modelo do tipo ruído branco com \(\hat\beta_0 = 0,0114\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.0802	-0.1701	-0.1517	-0.0880	-0.0396	0.1479	0.0702	-0.1888	-0.1693	-0.0436
FACP	0.0802	-0.1777	-0.1262	-0.1005	-0.0792	0.1104	0.0099	-0.1870	-0.1233	-0.0723
Ljung–Box	0.6303	3.4975	5.8039	6.5875	6.7478	9.0114	9.5270	13.3013	16.3713	16.5772
p-valor	0.4272	0.1740	0.1216	0.1594	0.2401	0.1729	0.2170	0.1019	0.0595	0.0843

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	Dados
n	95.0000
nulo	0.0000
mínimo	-0.2990
máximo	0.1697
1º Quantil	-0.0291
3º Quantil	0.0611
média	0.0114
mediana	0.0070
soma	1.0830
média estimada	0.0070
LI média	-0.0025
LS media	0.0253
variância	0.0046
desvio padrão	0.0681
assimétria	-0.7917
excesso de curtose	3.1524

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 52.9331
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 3.204e-12

Logo com o p-valor < 0.0001, rejeitamos a hipotese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 0.61237, df = 1, p-value = 0.4339

Sendo assim não é possível rejeitar a hipotese de não correlação dos resíduos

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipotese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(0,0,0)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4 0.581   0.965
## [2,]     8 2.717   0.951
## [3,]    12 4.122   0.981
## [4,]    16 5.836   0.990
## [5,]    20 5.995   0.999
## [6,]    24 7.809   0.999
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order    LM  p.value
## [1,]     4 92.92 0.00e+00
## [2,]     8 41.71 5.90e-07
## [3,]    12 20.88 3.47e-02
## [4,]    16 13.52 5.62e-01
## [5,]    20  9.59 9.62e-01
## [6,]    24  6.18 1.00e+00

Seguindo em ordem baixas e superiores, não pode rejeitar a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipotese nula é a lineariadade de série contra hipotese alternativa de não linearidade.

resettest(Dados ~ 1)

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados ~ 1
## RESET = 1.1795, df1 = 2, df2 = 92, p-value = 0.312

Com o p-value 0.8344, não rejeitamos a hipotese de linearidade.

IPCA

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.5711	0.3621	0.2349	0.1023	0.0342	0.0842	0.1549	0.1909	0.1919	0.1495
FACP	0.5711	0.0533	0.0129	-0.0725	-0.0153	0.1199	0.1209	0.0633	0.0151	-0.0255
Q	32.2986	45.4208	51.0022	52.0724	52.1936	52.9342	55.4712	59.3656	63.3484	65.7935
p-valor*	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1    mean
##       0.5839  0.5008
## s.e.  0.0835  0.0858
## 
## sigma^2 = 0.1283:  log likelihood = -36.86
## AIC=79.73   AICc=79.99   BIC=87.42

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(1,0))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(1, 0))
## 
## Coefficient(s):
##       ar1  intercept  
##    0.5716     0.2021

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, AR(1) tal que,

\[AR(1): Y_t = (0,2021) + (0,5716) Y_{t-1} + \varepsilon_t\]

onde IPCA segue o modelo do tipo Autoregressivo com 1 defasagem, com \(\hat\phi = 0,5716\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.0471	0.0167	0.0727	-0.0335	-0.0980	-0.0040	0.0765	0.0758	0.0842	0.0590
FACP	-0.0471	0.0145	0.0744	-0.0271	-0.1043	-0.0180	0.0863	0.1010	0.0866	0.0413
Ljung–Box	0.2194	0.2471	0.7823	0.8971	1.8908	1.8925	2.5115	3.1262	3.8929	4.2741
p-valor	0.6395	0.8838	0.8537	0.9250	0.8640	0.9293	0.9262	0.9262	0.9183	0.9341

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	Dados
n	96.0000
nulo	0.0000
mínimo	-0.6800
máximo	1.6200
1º Quantil	0.2200
3º Quantil	0.7975
média	0.4882
mediana	0.4300
soma	46.8700
média estimada	0.0447
LI média	0.3996
LS media	0.5769
variância	0.1915
desvio padrão	0.4376
assimétria	0.1294
excesso de curtose	-0.1401

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 0.3019
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 0.8599

Logo com o p-valor < 0.8599, não rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 0.21321, df = 1, p-value = 0.6443

Sendo assim não é possível rejeitar a hipótese de não correlação dos resíduos

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipótese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(1,0,0)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4  2.91   0.573
## [2,]     8  4.73   0.786
## [3,]    12  6.48   0.890
## [4,]    16  8.26   0.941
## [5,]    20 14.19   0.821
## [6,]    24 16.28   0.878
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order     LM  p.value
## [1,]     4 44.974 9.37e-10
## [2,]     8 15.074 3.51e-02
## [3,]    12  8.437 6.74e-01
## [4,]    16  4.280 9.97e-01
## [5,]    20  1.538 1.00e+00
## [6,]    24  0.936 1.00e+00

Seguindo em ordem baixas e superiores, não pode rejeitar a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade dos dados

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipótese nula é a lineariadade de série contra hipótese alternativa de não linearidade.

resettest(Dados[1:95] ~ 1 + diff(Dados, k = -1))

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados[1:95] ~ 1 + diff(Dados, k = -1)
## RESET = 0.70091, df1 = 2, df2 = 91, p-value = 0.4988

Com o p-value 0.4988, não rejeitamos a hipótese de linearidade.

Saldo de Crédito

A partir da visualização da série podemos verificar que há indícios de não Estacionaridade dos dados. Diante da limitação do escopo do trabalho, sendo necessário um conhecimento do modelo com sazonalidade, irei me limitar a afirma que a Série é não estacionário porém, o retorno da série traz indícios de estacionariadade com presença de Sazonalidade a cada 6 dias.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.1219	-0.0874	0.2309	-0.0062	-0.0652	0.3822	-0.1250	-0.2083	0.3663	-0.1119
FACP	-0.1219	-0.1038	0.2119	0.0420	-0.0272	0.3495	-0.0704	-0.1973	0.2401	-0.1019
Q	1.4576	2.2142	7.5558	7.5596	7.9955	23.1215	24.7585	29.3536	43.7334	45.0907
p-valor*	0.2273	0.3305	0.0561	0.1091	0.1565	0.0008	0.0008	0.0003	0.0000	0.0000

Ação na B3, AAPL

A partir da visualização da série podemos verificar que há indícios de não Estacionaridade dos dados.

Retorno da Ação na B3, AAPL

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.0393	-0.1527	0.0121	0.0112	-0.0507	0.0043	0.1413	0.0857	-0.0524	-0.0051
FACP	0.0393	-0.1545	0.0258	-0.0146	-0.0459	0.0085	0.1293	0.0798	-0.0199	0.0174
Q	0.1511	2.4611	2.4758	2.4885	2.7516	2.7535	4.8438	5.6210	5.9148	5.9177
p-valor*	0.6975	0.2921	0.4797	0.6467	0.7382	0.8391	0.6790	0.6896	0.7484	0.8221

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##         mean
##       0.0204
## s.e.  0.0086
## 
## sigma^2 = 0.007082:  log likelihood = 100.83
## AIC=-197.67   AICc=-197.54   BIC=-192.56

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(0,0))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(0, 0))
## 
## Coefficient(s):
## intercept  
##    0.0204

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, RB tal que,

\[RB: Y_t = (0,0204) + \varepsilon_t\]

onde Retorno AAPL segue o modelo do tipo Ruído Branco, com \(\hat\theta_0 = 0,0204\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.0393	-0.1527	0.0121	0.0112	-0.0507	0.0043	0.1413	0.0857	-0.0524	-0.0051
FACP	0.0393	-0.1545	0.0258	-0.0146	-0.0459	0.0085	0.1293	0.0798	-0.0199	0.0174
Ljung–Box	0.1511	2.4611	2.4758	2.4885	2.7516	2.7535	4.8438	5.6210	5.9148	5.9177
p-valor	0.6975	0.2921	0.4797	0.6467	0.7382	0.8391	0.6790	0.6896	0.7484	0.8221

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	Dados
n	95.0000
nulo	0.0000
mínimo	-0.1840
máximo	0.2144
1º Quantil	-0.0357
3º Quantil	0.0796
média	0.0204
mediana	0.0181
soma	1.9374
média estimada	0.0086
LI média	0.0032
LS media	0.0375
variância	0.0071
desvio padrão	0.0842
assimétria	-0.0337
excesso de curtose	-0.6250

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 1.3237
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 0.5159

Logo com o p-valor < 0.5159, não rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 0.151, df = 1, p-value = 0.6976

Sendo assim não é possível rejeitar a hipótese de não correlação dos resíduos

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipótese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(0,0,0)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4  7.43   0.115
## [2,]     8 10.13   0.256
## [3,]    12 15.23   0.229
## [4,]    16 17.72   0.341
## [5,]    20 18.96   0.524
## [6,]    24 23.73   0.477
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order      LM p.value
## [1,]     4  5.9729   0.113
## [2,]     8  2.3359   0.939
## [3,]    12  1.1222   1.000
## [4,]    16  0.5726   1.000
## [5,]    20  0.2002   1.000
## [6,]    24 -0.0411   1.000

Seguindo em ordem baixas e superiores, não pode rejeitar a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade dos dados

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipótese nula é a lineariadade de série contra hipótese alternativa de não linearidade.

resettest(Dados ~ 1 )

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados ~ 1
## RESET = 0.52065, df1 = 2, df2 = 92, p-value = 0.5959

Com o p-value 0.5959, não rejeitamos a hipótese de linearidade.

Questão 3:

Utilizando as séries disponibilizadas no arquivo “AP2.xlsx”, faça para cada uma das séries o que se pede:

Definindo as séries temporais

Serie A

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.0085	-0.3003	0.0077	-0.0391	-0.0476	-0.0485	0.0554	-0.0018	-0.0121	0.0081
FACP	-0.0085	-0.3004	0.0020	-0.1420	-0.0521	-0.1191	0.0234	-0.0695	0.0038	-0.0345
Q	0.0732	90.5993	90.6591	92.1958	94.4755	96.8501	99.9456	99.9487	100.0956	100.1616
p-valor*	0.7867	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(2,0,2) with zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1     ar2      ma1      ma2
##       0.0391  0.2933  -0.0615  -0.6617
## s.e.  0.0694  0.0700   0.0554   0.0565
## 
## sigma^2 = 0.9939:  log likelihood = -1414.11
## AIC=2838.21   AICc=2838.27   BIC=2862.75

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(2,2))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(2, 2))
## 
## Coefficient(s):
##       ar1        ar2        ma1        ma2  intercept  
##  0.053325   0.294165  -0.075992  -0.663961   0.009304

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, ARMA(2,2) tal que, \[ARMA(2,2):Y_t = \phi_1Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \varepsilon_{t}\]

\[ARMA(2,2): Y_t = (0,00930) + (0,0533) Y_{t-1} + (0,2942) Y_{t-2} + (-0,0760)\varepsilon_{t-1} + (-0,6640)\varepsilon_{t-2} + \varepsilon_t\]

onde Serie A segue o modelo do tipo Autoregressivo de Media móvel com 1ª e 2ª defasagem, onde \(\hat\phi_1 = 0,0533\) , \(\hat\phi_2 = 0,2942\), \(\hat\theta_1 = -0,0760\) , \(\hat \theta_2 = -0,6640\) com intercepto igual \(\hat\theta_0 = 0,0092\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.0041	-0.0109	0.0135	0.0354	-0.0268	-0.0179	0.0452	-0.0031	-0.0113	-0.0056
FACP	-0.0041	-0.0109	0.0134	0.0354	-0.0263	-0.0175	0.0437	-0.0037	-0.0082	-0.0063
Ljung–Box	0.0168	0.1360	0.3184	1.5759	2.3018	2.6233	4.6844	4.6941	4.8225	4.8542
p-valor	0.8968	0.9343	0.9565	0.8131	0.8060	0.8544	0.6984	0.7897	0.8495	0.9007

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	…1
n	1000.0000
nulo	0.0000
mínimo	-3.0677
máximo	4.4579
1º Quantil	-0.6924
3º Quantil	0.7143
média	0.0126
mediana	0.0196
soma	12.5720
média estimada	0.0338
LI média	-0.0537
LS media	0.0788
variância	1.1402
desvio padrão	1.0678
assimétria	0.1144
excesso de curtose	0.1045

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 2.6979
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 0.2595

Logo com o p-valor < 0.2595, não rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 0.016762, df = 1, p-value = 0.897

Sendo assim não é possível rejeitar a hipótese de não correlação dos resíduos.

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipótese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(2,0,2)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4  7.52   0.111
## [2,]     8  9.47   0.304
## [3,]    12 11.11   0.519
## [4,]    16 19.17   0.260
## [5,]    20 22.21   0.329
## [6,]    24 26.39   0.334
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order    LM  p.value
## [1,]     4 276.6 0.00e+00
## [2,]     8 136.3 0.00e+00
## [3,]    12  90.0 1.65e-14
## [4,]    16  65.5 2.76e-08
## [5,]    20  51.2 8.78e-05
## [6,]    24  41.9 9.32e-03

Seguindo em ordem baixas e superiores, não rejeitamos a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade dos dados

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipótese nula é a lineariadade de série contra hipótese alternativa de não linearidade.

resettest(Dados[1:(size-2)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + RES.1 + RES.2)

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados[1:(size - 2)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + RES.1 + RES.2
## RESET = 1.6605, df1 = 2, df2 = 991, p-value = 0.1906

Com o p-value 0.1906, não rejeitamos a hipótese de linearidade.

Serie B

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.3523	0.2880	0.1569	0.0771	0.0194	0.0089	0.0281	-0.0046	-0.0166	-0.0217
FACP	0.3523	0.1871	0.0100	-0.0285	-0.0325	0.0022	0.0378	-0.0211	-0.0260	-0.0120
Q	124.4898	207.7636	232.4914	238.4704	238.8506	238.9298	239.7287	239.7503	240.0302	240.5083
p-valor*	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(0,1,2) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2  drift
##       -0.7394  -0.2375  3e-04
## s.e.   0.0267   0.0273  8e-04
## 
## sigma^2 = 1.074:  log likelihood = -1453.13
## AIC=2914.26   AICc=2914.31   BIC=2933.89

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(0,2))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(0, 2))
## 
## Coefficient(s):
##       ma1        ma2  intercept  
##   0.26682    0.22048    0.08052

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, MA(2) tal que, \[Y_t = \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \varepsilon_{t}\]

\[MA(2): Y_t = (0,08052) + (0,2668)\varepsilon_{t-1} + (0,2205)\varepsilon_{t-2} + \varepsilon_t\]

onde Serie A segue o modelo do tipo Autoregressivo de Media móvel com 1ª e 2ª defasagem, onde, \(\hat\theta_1 = 0,2668\) , \(\hat \theta_2 = 0,2205\) com intercepto igual \(\hat\theta_0 = 0,0805\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.0286	0.0459	0.1369	0.0386	-0.0255	-0.0015	0.0413	-0.0076	-0.0235	-0.0107
FACP	0.0286	0.0451	0.1347	0.0306	-0.0396	-0.0221	0.0360	-0.0002	-0.0219	-0.0208
Ljung–Box	0.8193	2.9364	21.7700	23.2680	23.9251	23.9272	25.6442	25.7020	26.2590	26.3755
p-valor	0.3654	0.2303	0.0001	0.0001	0.0002	0.0005	0.0006	0.0012	0.0019	0.0033

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	…1
n	1000.0000
nulo	0.0000
mínimo	-3.9550
máximo	3.6874
1º Quantil	-0.6695
3º Quantil	0.7851
média	0.0814
mediana	0.0429
soma	81.4013
média estimada	0.0343
LI média	0.0140
LS media	0.1488
variância	1.1791
desvio padrão	1.0859
assimétria	0.0504
excesso de curtose	0.0789

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 0.7255
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 0.6958

Logo com o p-valor < 0.6958, não rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 3.0718, df = 1, p-value = 0.07966

Sendo assim não é possível rejeitar a hipótese de não correlação dos resíduos

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipótese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(0,0,2)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4  4.14   0.387
## [2,]     8  6.11   0.635
## [3,]    12 14.66   0.261
## [4,]    16 18.34   0.304
## [5,]    20 22.66   0.306
## [6,]    24 31.81   0.132
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order    LM  p.value
## [1,]     4 268.3 0.00e+00
## [2,]     8 131.3 0.00e+00
## [3,]    12  84.9 1.63e-13
## [4,]    16  61.4 1.43e-07
## [5,]    20  48.0 2.60e-04
## [6,]    24  37.7 2.76e-02

Seguindo em ordem baixas e superiores, rejeitamos a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade dos dados

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipótese nula é a lineariadade de série contra hipótese alternativa de não linearidade.

size <- length(Dados)
LAG.1 <- Dados[2:(size-1)] 
LAG.2 <- Dados[3:size]
RES.1 <- modelo1$residuals[2:(size-1)] 
RES.2 <- modelo1$residuals[3:size] 
RESET <- resettest(Dados[1:(size-2)] ~ 1 + RES.1 + RES.2)

resettest(Dados[1:(size-2)] ~ 1 + RES.1 + RES.2)

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados[1:(size - 2)] ~ 1 + RES.1 + RES.2
## RESET = 0.2596, df1 = 2, df2 = 993, p-value = 0.7714

Com o p-value 0.7714, não rejeitamos a hipótese de linearidade.

Serie C

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.4732	0.4712	-0.3285	0.2285	-0.1596	0.1747	-0.0893	0.0839	-0.0385	0.0108
FACP	-0.4732	0.3186	-0.0370	-0.0512	0.0265	0.0917	0.0351	-0.0162	0.0275	-0.0223
Q	224.6166	447.5513	556.0248	608.5316	634.1845	664.9419	672.9842	680.0872	681.5841	681.7032
p-valor*	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(1,0,2) with zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ma1     ma2
##       -0.6739  0.3591  0.2187
## s.e.   0.0512  0.0552  0.0410
## 
## sigma^2 = 1.001:  log likelihood = -1418.38
## AIC=2844.76   AICc=2844.8   BIC=2864.39

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(1,2))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(1, 2))
## 
## Coefficient(s):
##       ar1        ma1        ma2  intercept  
##  -0.66762    0.35290    0.22293    0.02782

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, ARMA(1,2) tal que, \[Y_t = \phi_1Y_{t-1} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \varepsilon_{t}\]

\[ARMA(1,2): Y_t = (0.0278) + (-0,6676) Y_{t-1} + (0.3529)\varepsilon_{t-1} + (0.2229)\varepsilon_{t-2} + \varepsilon_t\]

onde Serie A segue o modelo do tipo Autoregressivo de Media móvel com 1ª e 2ª defasagem, onde,\(\hat\phi_1 = -0,6676\), \(\hat\theta_1 = 0,3529\) , \(\hat \theta_2 = 0,2229\) com intercepto igual \(\hat\theta_0 = 0,0278\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.0018	-0.0040	-0.0033	-0.0187	0.0203	0.0947	0.0039	0.0307	-0.0011	-0.0288
FACP	0.0018	-0.0040	-0.0033	-0.0187	0.0204	0.0945	0.0037	0.0314	0.0002	-0.0257
Ljung–Box	0.0032	0.0195	0.0307	0.3814	0.7971	9.8296	9.8447	10.7975	10.7988	11.6379
p-valor	0.9548	0.9903	0.9986	0.9840	0.9772	0.1320	0.1975	0.2134	0.2898	0.3100

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	…1
n	1000.0000
nulo	0.0000
mínimo	-3.7089
máximo	3.5551
1º Quantil	-0.7319
3º Quantil	0.8236
média	0.0164
mediana	0.0551
soma	16.4418
média estimada	0.0380
LI média	-0.0580
LS media	0.0909
variância	1.4405
desvio padrão	1.2002
assimétria	-0.0937
excesso de curtose	-0.0025

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 1.467
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 0.4802

Logo com o p-valor < 0.4802, não rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 0.0024149, df = 1, p-value = 0.9608

Sendo assim não é possível rejeitar a hipótese de não correlação dos resíduos

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipótese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(0,0,2)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4  7.35   0.118
## [2,]     8 11.35   0.183
## [3,]    12 14.35   0.279
## [4,]    16 17.69   0.342
## [5,]    20 23.31   0.274
## [6,]    24 25.53   0.377
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order    LM  p.value
## [1,]     4 271.5 0.00e+00
## [2,]     8 131.6 0.00e+00
## [3,]    12  86.3 8.98e-14
## [4,]    16  63.7 5.88e-08
## [5,]    20  49.4 1.58e-04
## [6,]    24  40.2 1.47e-02

Seguindo em ordem baixas e superiores, rejeitamos a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade dos dados

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipótese nula é a lineariadade de série contra hipótese alternativa de não linearidade.

size <- length(Dados)
LAG.1 <- Dados[2:(size-1)] 
RES.1 <- modelo1$residuals[2:(size-1)] 
RES.2 <- modelo1$residuals[3:(size-0)] 
RESET <- resettest(Dados[1:(size-2)] ~ 1 + LAG.1 + RES.1 + RES.2)

resettest(Dados[1:(size-2)] ~ 1 + LAG.1 + RES.1 + RES.2)

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados[1:(size - 2)] ~ 1 + LAG.1 + RES.1 + RES.2
## RESET = 2.428, df1 = 2, df2 = 992, p-value = 0.08874

Com o p-value 0.0887, não rejeitamos a hipótese de linearidade.

Serie D

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.1823	-0.0850	-0.1831	-0.0829	-0.0070	0.0742	0.0238	-0.0190	-0.0443	0.0305
FACP	-0.1823	-0.1223	-0.2339	-0.2030	-0.1491	-0.0634	-0.0659	-0.0839	-0.0960	-0.0239
Q	33.3341	40.5886	74.2704	81.1901	81.2401	86.7897	87.3615	87.7279	89.7122	90.6549
p-valor*	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(4,0,2) with zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2      ar3     ar4      ma1     ma2
##       1.3676  -0.4433  -0.1297  0.1438  -1.7198  0.7301
## s.e.  0.1126   0.0817   0.0538  0.0343   0.1102  0.1012
## 
## sigma^2 = 0.9978:  log likelihood = -1415.27
## AIC=2844.54   AICc=2844.65   BIC=2878.89

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(4,2))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(4, 2))
## 
## Coefficient(s):
##       ar1        ar2        ar3        ar4        ma1        ma2  intercept  
##  0.394848   0.027567  -0.147053  -0.016179  -0.749570  -0.083635   0.006554

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, ARMA(4,2) tal que, \[Y_t = \phi_1Y_{t-1} +\phi_1Y_{t-2} +\phi_1Y_{t-3} +\phi_1Y_{t-4} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \varepsilon_{t}\]

\[ARMA(4,2): Y_t = (0.0065) + (0,3948) Y_{t-1} + (0,02757) Y_{t-2} + (-0,1471) Y_{t-3}+ (-0,0161) Y_{t-4} + (-0,7496)\varepsilon_{t-1} + (-0,0836)\varepsilon_{t-2} + \varepsilon_t\]

onde Serie A segue o modelo do tipo Autoregressivo de Media móvel com 1ª até 4ª defasagem, onde,\(\hat\phi_1 = 0,3948\),\(\hat\phi_2 = 0,02757\),\(\hat\phi_3 = -01471\),\(\hat\phi_4 = -0,0161\), \(\hat\theta_1 = -0,7496\) , \(\hat \theta_2 = -0,0836\) com intercepto igual \(\hat\theta_0 = 0.0065\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.0013	0.0036	0.0051	-0.0184	0.0048	0.0450	0.0028	-0.0353	-0.0364	0.0266
FACP	-0.0013	0.0036	0.0051	-0.0184	0.0047	0.0451	0.0031	-0.0362	-0.0370	0.0285
Ljung–Box	0.0017	0.0151	0.0412	0.3811	0.4039	2.4422	2.4502	3.7116	5.0547	5.7685
p-valor	0.9670	0.9925	0.9978	0.9840	0.9952	0.8749	0.9308	0.8822	0.8295	0.8343

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	…1
n	1000.0000
nulo	0.0000
mínimo	-4.1568
máximo	3.4973
1º Quantil	-0.6815
3º Quantil	0.7867
média	0.0079
mediana	0.0002
soma	7.8713
média estimada	0.0349
LI média	-0.0606
LS media	0.0763
variância	1.2166
desvio padrão	1.1030
assimétria	-0.1424
excesso de curtose	0.0073

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 3.3957
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 0.1831

Logo com o p-valor < 0.1831, não rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 0.021527, df = 1, p-value = 0.8834

Sendo assim não é possível rejeitar a hipótese de não correlação dos resíduos

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipótese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(4,0,2)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4  2.43   0.657
## [2,]     8  5.48   0.705
## [3,]    12  7.37   0.832
## [4,]    16 15.86   0.463
## [5,]    20 25.50   0.183
## [6,]    24 29.98   0.185
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order    LM  p.value
## [1,]     4 237.5 0.00e+00
## [2,]     8 115.4 0.00e+00
## [3,]    12  76.8 6.08e-12
## [4,]    16  55.8 1.32e-06
## [5,]    20  43.3 1.19e-03
## [6,]    24  33.6 7.18e-02

Seguindo em ordem baixas e superiores, rejeitamos a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade dos dados

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipótese nula é a lineariadade de série contra hipótese alternativa de não linearidade.

modelo1 <- arima(Dados, order <- c(4,0,2))
size <- length(Dados)
LAG.1 <- Dados[2:(size-3)] 
LAG.2 <- Dados[3:(size-2)] 
LAG.3 <- Dados[4:(size-1)] 
LAG.4 <- Dados[5:(size-0)] 
RES.1 <- modelo1$residuals[2:(size-3)] 
RES.2 <- modelo1$residuals[3:(size-2)] 
RESET <- resettest(Dados[1:(size-4)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + LAG.3 + LAG.4 + RES.1 + RES.2)

resettest(Dados[1:(size-4)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + LAG.3 + LAG.4 + RES.1 + RES.2)

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados[1:(size - 4)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + LAG.3 + LAG.4 + RES.1 +     RES.2
## RESET = 1.1504, df1 = 2, df2 = 987, p-value = 0.3169

Com o p-value 0.3169, não rejeitamos a hipótese de linearidade.

Serie E

A partir da visualização da série podemos verificar indícios que o retornos são Estacionários. Para isso devemos realizar alguns testes, como análise das autocorrelações.

Visualizando FAC e FACP:

FAC, FACP e Ljung-Box

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	-0.1725	0.1579	0.2576	0.0125	0.1618	0.1813	0.0629	0.1500	0.1517	0.0525
FACP	-0.1725	0.1321	0.3189	0.1034	0.1032	0.1583	0.0804	0.0709	0.0982	0.0196
Q	29.8354	54.8680	121.5722	121.7290	148.0970	181.2380	185.2330	207.9715	231.2511	234.0356
p-valor*	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Proponho o modelo.

Apartir da função auto.arima presente no pacote forcast temos o seguinte modelo.

auto.arima(Dados)

## Series: Dados 
## ARIMA(3,1,1) 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     ar3      ma1
##       -0.3870  -0.0653  0.1317  -0.8968
## s.e.   0.0379   0.0423  0.0366   0.0195
## 
## sigma^2 = 0.9942:  log likelihood = -1413.81
## AIC=2837.63   AICc=2837.69   BIC=2862.16

De forma similar podemos obter estimativas dos parametros por meio da função arma.

arma(Dados, order <- c(3,1))

## 
## Call:
## arma(x = Dados, order = order <- c(3, 1))
## 
## Coefficient(s):
##        ar1         ar2         ar3         ma1   intercept  
##  0.5034842   0.2743744   0.1673954  -0.8127464   0.0008589

Apartir das estimativas, podemos definir o seguinte modelo, ARMA(3,1) tal que, \[Y_t = \phi_1Y_{t-1} +\phi_1Y_{t-2} +\phi_1Y_{t-3} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_{t}\]

\[ARMA(3,1): Y_t = (0.0008) + (0,5035) Y_{t-1} + (0,2743) Y_{t-2} + (0,1674) Y_{t-3} + (0,8127)\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t\]

onde Serie A segue o modelo do tipo Autoregressivo de Media móvel com 1ª e 2ª defasagem, onde,\(\hat\phi_1 = 0,5035\),\(\hat\phi_2 = 0,2743\),\(\hat\phi_3 = 0,1674\), \(\hat\theta_1 = -0,8127\) com intercepto igual \(\hat\theta_0 = 0.0008\).

Diagnostico dos Resíduos

FAC e FACP resíduos:

FAC vs FACP dos Resíduos, por defasagem

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
FAC	0.0145	0.0205	0.0324	-0.1085	-0.0033	0.0323	-0.0452	0.0144	0.0219	-0.0416
FACP	0.0145	0.0203	0.0318	-0.1100	-0.0013	0.0365	-0.0397	0.0025	0.0213	-0.0333
Ljung–Box	0.2109	0.6314	1.6849	13.5259	13.5371	14.5897	16.6522	16.8618	17.3451	19.0997
p-valor	0.6461	0.7293	0.6403	0.0090	0.0188	0.0237	0.0198	0.0316	0.0436	0.0390

Testando o modelo

Para uma maior compreenção do modelo proposto vamos analisar alguns presupostos básicos sobre a série, como normalidade dos dados, autocorrelação do resíduos, heterocedasticidade dos resíduos e linearidade do modelo. Segue abaixo alguns testes para verificar isso.

Análise descritiva do modelo

	…1
n	1000.0000
nulo	0.0000
mínimo	-3.6351
máximo	3.6111
1º Quantil	-0.7581
3º Quantil	0.7054
média	-0.0109
mediana	-0.0285
soma	-10.8904
média estimada	0.0351
LI média	-0.0797
LS media	0.0579
variância	1.2286
desvio padrão	1.1084
assimétria	0.0774
excesso de curtose	0.0164

Teste de normalidade dos dados

O Teste Jarque-Bera verifica se os momentos da série estimada são iguais aos da normal. Sob esse hipótese, a assimétria é igual a zero e o excesso de curtose.

fBasics::jarqueberaTest(Dados)

## 
## Title:
##  Jarque - Bera Normalality Test
## 
## Test Results:
##   STATISTIC:
##     X-squared: 1.0213
##   P VALUE:
##     Asymptotic p Value: 0.6001

Logo com o p-valor < 0.6001, não rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Teste autocorrelação dos resíduos

O teste LM para autocorrelação dos resíduos também conhecido como teste de Breusch-Godfrey, testa se os resíduos não são correlacionados.

bgtest(modelo1$residuals ~ 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo1$residuals ~ 1
## LM test = 0.030453, df = 1, p-value = 0.8615

Sendo assim não é possível rejeitar a hipótese de não correlação dos resíduos

Teste de Heterocedasticidade dos Resíduos

O teste ARCH-LM serve para identificar sinais de heterocedasticidade condicional, onde a hipótese nula é não correlação.

arch.test(arima(Dados, order = c(3,0,1)),output = T)

## ARCH heteroscedasticity test for residuals 
## alternative: heteroscedastic 
## 
## Portmanteau-Q test: 
##      order    PQ p.value
## [1,]     4  4.11   0.392
## [2,]     8  5.30   0.725
## [3,]    12  5.88   0.922
## [4,]    16  9.70   0.882
## [5,]    20 10.33   0.962
## [6,]    24 12.60   0.972
## Lagrange-Multiplier test: 
##      order    LM  p.value
## [1,]     4 211.8 0.00e+00
## [2,]     8 103.3 0.00e+00
## [3,]    12  68.3 2.53e-10
## [4,]    16  50.1 1.17e-05
## [5,]    20  39.7 3.59e-03
## [6,]    24  32.5 9.01e-02

Seguindo em ordem baixas e superiores, rejeitamos a hipótese de Homocedasticidade.

Teste linearidade dos dados

O teste RESET, testa se o erro de especificação do modelo. Onde a hipótese nula é a lineariadade de série contra hipótese alternativa de não linearidade.

modelo1 <- arima(Dados, order <- c(4,0,2))
size <- length(Dados)
LAG.1 <- Dados[2:(size-2)] 
LAG.2 <- Dados[3:(size-1)] 
LAG.3 <- Dados[4:(size-0)] 
RES.1 <- modelo1$residuals[2:(size-2)] 
RESET <- resettest(Dados[1:(size-3)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + LAG.3 + RES.1)

resettest(Dados[1:(size-3)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + LAG.3 + RES.1)

## 
##  RESET test
## 
## data:  Dados[1:(size - 3)] ~ 1 + LAG.1 + LAG.2 + LAG.3 + RES.1
## RESET = 0.73622, df1 = 2, df2 = 990, p-value = 0.4792

Com o p-value 0.4792, não rejeitamos a hipótese de linearidade.