Pesquisa Operacional - PEOP

AULA 12: MODELAGEM MATEMÁTICA - Problemas de mistura

Profa. Luciane Alcoforado / Profa. Renata

Academia da Força Aérea

Objetivos

Verifique ao final desta aula se você é capaz de:

1- compreender o processo de modelagem matemática de problemas (Cp);

2-construir modelos matemáticos para problemas de otimização (Ap);

Roteiro da Aula

  • Revisão de conceitos da aula anterior
  • Modelos clássicos de mistura.
  • Interpretando a solução.
  • Exercícios.

Revisão de conceitos

Escolha a alternativa correta

1- O que é modelagem matemática?

  1. O uso de fórmulas matemáticas complexas para resolver problemas militares.

  2. O processo de criação de um modelo matemático para explicar fenômenos naturais.

  3. A representação exata da realidade em um modelo matemático.

  4. A aplicação de incertezas nos modelos matemáticos.

2- Quais são as hipóteses de linearidade na programação linear?

  1. Proporcionalidade, aditividade, certeza e fracionamento.

  2. Variabilidade, complexidade, certeza e fracionamento.

  3. Proporcionalidade, aditividade, incerteza e continuidade.

  4. Variabilidade, complexidade, certeza e continuidade.

Verifique seus acertos

1- O que é modelagem matemática?

  1. O processo de criação de um modelo matemático para explicar fenômenos naturais.

2- Quais são as hipóteses de linearidade na programação linear?

  1. Proporcionalidade, aditividade, certeza e fracionamento.

Escolha a alternativa correta

3- Quais são os elementos de um modelo completo de otimização linear?

  1. Função objetivo, variáveis aleatórias, incertezas e restrições de sinal.

  2. Variáveis de decisão, probabilidade, função objetivo e restrições estruturais.

  3. Critério de otimalidade, variáveis de decisão, função objetivo e restrições lineares.

  4. Restrições de sinal, incertezas, critério de otimalidade e função de custo.

4- Qual é a finalidade do equilíbrio na modelagem matemática?

  1. Alcançar a perfeita aderência à realidade.

  2. Reduzir o alcance de aplicação da representação realizada.

  3. Encontrar um ponto intermediário entre simplificação e representação detalhada.

  4. Evitar a necessidade de utilizar modelos matemáticos na tomada de decisões.

Verifique seus acertos

3- Quais são os elementos de um modelo completo de otimização linear?

  1. Critério de otimalidade, variáveis de decisão, função objetivo e restrições lineares.

4- Qual é a finalidade do equilíbrio na modelagem matemática?

  1. Encontrar um ponto intermediário entre simplificação e representação detalhada.

Estabeleça o objetivo correto

Qual é o objetivo da programação linear em operações militares com recursos limitados, como tropas, suprimentos, equipamentos e veículos?

  1. Minimizar a eficiência das missões militares.

  2. Maximizar a quantidade de tropas disponíveis.

  3. Determinar a alocação ideal de tropas para cada missão.

  4. Aumentar os custos operacionais das missões militares.

Exemplos aplicados ao meio militar

Veremos nesta aula modelos relacionados ao problema clássico da mistura.

A lógica por trás do problema de modelagem clássica de mistura consiste em encontrar a combinação ideal de ingredientes ou componentes para criar uma mistura que atenda a determinados critérios ou restrições, através da formulação de um modelo matemático e utilização de técnicas de otimização para encontrar a solução ótima.

Formulação de uma ração para operações militares:

Suponha que seja necessário criar 1 kg de ração que minimize seu custo total, utilizando uma mistura com alguns ingredientes disponíveis.

A ração produzida deve atender aos seguintes requisitos nutricionais mínimos em cada 1 kg:

  • Proteínas: no mínimo 250 gramas
  • Carboidratos: no mínimo 50 gramas
  • Gorduras: no mínimo 10 gramas
  • Vitaminas: no mínimo 500 unidades internacionais (UI)
  • Minerais: no mínimo 10 gramas

Os ingredientes disponíveis para a ração, bem como seus custos por kg e a composição nutricional para cada kg de produto são:

  • Farinha de carne (R$25,00/Kg): fornece 300 gramas de proteínas, 50 gramas de carboidratos, 150 gramas de gorduras, 5000 UI de vitaminas e 50 gramas de minerais por Kg.
  • Grãos de cereais (R$20,00/Kg): fornecem 100 gramas de proteínas, 400 gramas de carboidratos, 50 gramas de gorduras, 2000 UI de vitaminas e 20 grama de minerais por Kg.
  • Óleo vegetal (R$8,50/Kg): fornece 0 gramas de proteínas, 0 gramas de carboidratos, 200 gramas de gorduras, 0 UI de vitaminas e 0 gramas de minerais por Kg.

Elementos da modelagem:

Critério de Otimalidade: Minimizar o custo da ração operacional

Definição das variáveis de decisão:

x1: quantidade de farinha de carne na ração (em Kg)

x2: quantidade de grãos de cereais na ração (em Kg)

x3: quantidade de óleo vegetal na ração (em Kg)

Função Objetivo:

min \(25x_1 + 20x_2+ 8.5x_3\)

Restrições Lineares:

Sujeito a:

Restrições Estruturais

\[\begin{gather*} 300x_1 + 100x_2 + 0x_3 \space \ge \space 250 \space (Restrição de proteína)\\ 50x_1 + 400x_2 + 0x_3 \space \ge \space 50 \space (Restrição \space de \space carboidrato)\\ 150x_1 + 50x_2 + 200x_3 \space \ge \space 10 \space (Restrição \space de \space gordura)\\ 5000x_1 + 2000x_2 + 0x_3 \space \ge \space 500 \space (Restrição \space de \space vitaminas)\\ 50x_1 + 20x_2 + 0x_3 \space \ge \space 10 \space (Restrição \space de \space minerais)\\ 1x_1 + 1x_2 + 1x_3 \space = \space 1 \space (Restrição \space de \space quantidade \space de \space ração \space produzida)\\ \end{gather*}\]

Restrições de Sinal

\(x_i \ge 0, \space \forall i=1,2,3\)

Obtendo a resposta do modelo

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(25,20,8.5)
R1 = c(300, 100, 0)
R2 = c(50, 400, 0)
R3 = c(150, 50, 200)
R4 = c(5000, 2000, 0)
R5 = c(50, 20, 0)
R6 = c(1, 1, 1)
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4,R5, R6)
b = c(250, 50, 10, 500, 10, 1)
sinal = c(">=",">=",">=",">=",">=", "=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "min",objective.in = coef.objetivo,const.mat = restricoes, const.dir = sinal, const.rhs = b, all.int = F)
solucao
Success: the objective function is 22.38043 
solucao$solution
[1] 0.82608696 0.02173913 0.15217391

Interpretando a solução

O modelo indica que deve ser produzido 1 kg de ração a um custo de R$22.38 misturando 0.826 kg de farinha de carne, 0.022 kg de grãos de cereais e 0.152 kg de óleo vegetal.

Desafio:

1- Mude o código em R no argumento all.int = F para all.int = V e compare o resultado obtido com fornecido nesta solução.

2- Elimine a restrição de produzir 1 kg de ração e rode novamente o modelo, qual a quantidade produzida de ração? O que aconteceu com o seu custo?

3- Ficou com dúvida? Esclareça com a professora!

4- Terminou? Realize os exercícios do caderno de modelagem disponível no moodle.

https://rpubs.com/LucianeA/Aula12_PEOP