1 Resolução Homework 2 Lista Teórica: ARMA
Givanildo de Sousa Gramacho
2023-07-10
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Economia
Econometria Financeira:
Análise de Séries Temporais Financeiras usando o R
LISTA ARMA: teórica
1.Suponha que a série diária de log-retorno de um ativo siga o seguinte modelo: \(y_t = 0.01 + 0.2y_{t−2} + \epsilon_t\), onde \(\epsilon_t\) é um ruído branco Gaussiano com média(\(\mu\)) zero e variância(\(\sigma^2\)) 0.02.
(a) Determine a média e a variância da série de retornos \(y_t\)
Podemos substituir \(y_{t−2}\) por sua média, uma vez que é um termo anterior:
Então meu processo é \[y_t = 0.01 + 0.2 y_{t−2} + \epsilon_t\]
Vamos calcular a média desse processo
\[E(y_t) = E(0.01 + 0.2 y_{t−2} + \epsilon_t)\]
- Sabemos que a soma das esperanças e a esperança das somas então a equação fica.
\[E(y_t) = E(0.01) + 0.2E(y_{t-2}) + E(\epsilon_t)\]
Resolvendo:
Como a esperança da constante e a propia constante \[E(0.01) = 0.01\]
E esperança de \(0.2 E(y_{t−2}) = 0.2 E(y_t)\), porque sei que a série é estacionária, portanto as médias são iguais.
E o \(E(\epsilon_t) = 0\), porque é um ruído branco.
temos então a seguinte equação:
\[E(y_t) = 0.01 + 0.2 E(y_t) + 0\]
- Sabemos que \(E(y_t) = \mu\), substituimos a equação, temos então que:
\[\mu = 0.01 + 0.2 \mu\]
\[\mu - 0.2 \mu = 0.01 \]
\[(1 - 0.2)\mu = 0.01\]
\[ \mu = \frac{0.01}{1 - 0.2} = \frac{0.01}{0.8} \]
\[\mu = 0.0125\]
Para determinar a variância: \(var(y_t)\)
Lebrando que não e apenas \(var(x + y) = var(x) + var(y)\), também temos a \(Cov()\), porém a \(Cov()\) entre \(y_{t - 2}\) e o erro \(\epsilon_t\) = 0
Então meu processo é \(y_t = 0.01 + 0.2 y_{t−2} + \epsilon_t\), onde:
Modelo é um AR(2)
drift = c = 0.01
\(\phi = 0.2\)
\(\epsilon_t \sim \ i.i.d \ \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^{2})\)
\(\epsilon_t \sim \ i.i.d \ \mathcal{N}(0,0.02)\)
Por este motivo calculamos a \(var\) sendo uma soma. \[var(y_t)= var(0.2 y_{t - 2} + \epsilon_t)\]
Lembrado que \(var\) lembra quadrados, então \(\phi\) sai como \(\phi^2\) onde a \(var(\epsilon_t) = \sigma^2\)
\[var(y_t)= 0.2^2 var(y_t) + var(\epsilon_t)\]
- onde a \(var(\epsilon_t) = \sigma^2\)
\[var(y_t) - 0.2^2 var(y_t) = 0.02\]
- Colocamos em evidência \(var(y_t)\)
\[(1 - 0.2^2)var(y_t) = 0.02\]
- Resultado de \(var(y_t)\) sendo essa variância constante:
\[var(y_t) = \frac{\sigma^2}{1 - \phi^2} = \frac{0.02}{1 - 0.04} = \frac{0.02}{0.96}\] \[var(y_t) \approx 0.021\]
(b) Calcule as autocorrelações de ordem 1 e 2 de \(y_t\).
Sabendo que temos \(y_t = 0.01 + 0.2y_{t−2} + \epsilon_t\) para calcular a autocorrelação de ordem 1 e 2.
Portanto vamos calcular \(\gamma_2\) para encontrar a autocorrelação de \(\rho_2\) onde é dado por:
\[\rho_2 = \frac{cov(y_t, y_{t−2})}{var(yt)} = \frac{\gamma_2}{\gamma_0} \]
Calculando o \(\gamma_2\) que é a média do produto menos o produto da média.
\[\gamma_2 = E(y_t y_{t-2}) - E(y_t)E(y_{t-2})\] - Como no segundo termo está definido como:
\[E(y_t)E(y_{t-2}) = 0.0125 \cdot 0.0125 = 1.56 \cdot 10^{-4}\] - Portanto vamos nos preocupar em calcular apenas com o primeiro termo.
Nosso processo é dado por \(y_t = 0.01 + 0.2y_{t−2} + \epsilon_t\).
Então podemos substitui-los na equação das médias dada por:
\[\gamma_2 = cov(y_t, y_{t-2}) = E(y_t y_{t-2}) - E(y_t)E(y_{t-2})\] \[\gamma_2 = E[(c + \phi y_{t−2} + \epsilon_t ) y_{t-2}] - E(y_t)E(y_{t-2})\] \[\gamma_2 = E[(cy_{t-2} + \phi y^2_{t−2} + \epsilon_t y_{t-2}] - E(y_t)E(y_{t-2})\] \[\gamma_2 = cE[y_{t-2}] + \phi E[y^2_{t−2}] + E[\epsilon_t y_{t-2}] - E(y_t)E(y_{t-2})\] - Na fórmula temos:
\[\gamma_2 = c\cdot\mu + \phi var(y_t) + \overbrace{E[\epsilon_t y_{t-2}]}^{W.N(0,\sigma^2)} - E(y_t)E(y_{t-2})\] - Sabendo que:
\(E[y_{t-2}] = E[y_t] = \mu = 0.0125\)
\(E[y^2_{t−2}] = var(y_t) = 0.021\)
\(E[\epsilon_t y_{t-2}] = 0\) Média do ruído branco é zero
\(E(y_t)E(y_{t-2}) = E(y_t)E(y_{t}) = 0.0125 \cdot 0.0125 = 1.56 \cdot 10^{-4}\)
\(\phi = 0.2\)
c = 0.01
- Temos a seguinte fórmula para:
\[\gamma_2 = c\cdot\mu + \phi var(y_t) - E(y_t)E(y_{t})\] - Calculando o valor \(\gamma_2\) temos:
\[\gamma_2 = \overbrace{0.01\cdot0.0125}^{1.25\cdot10^{-4}} + \overbrace{0.2 \cdot 0.021}^{4.2\cdot10^{-3}} - \overbrace{0.125 \cdot 0.125}^{1.56 \cdot 10^{-4}}\]
Resultado da autocovariância \(\gamma_2\)
\[\gamma_2 = 4.169 \cdot 10^{-3}\]
- Calculando a correlação de ordem 2 temos que:
\[\rho_2 = \frac{\gamma_2}{var(y_t)}\]
\[\rho_2 = \frac{4.169 \cdot 10^{-3}}{0.021} = 0.198\] Resultado da Autocorrelação de ordem 2 é
\[\rho_2 = 0.198 = 19.8\%\]
- Portanto para calcular \(\gamma_1\) para encontrar a autocorrelação de \(\rho_1\) onde é dado por:
\[\rho_1 = \frac{cov(y_t, y_{t−1})}{var(yt)} = \frac{\gamma_1}{\gamma_0} \]
Calculando o \(\gamma_1\) que é a média do produto menos o produto da média.
onde: \[\gamma_1 = cov(y_t, y_{t−1})\]
\[\gamma_1 = E(y_t y_{t-1}) - E(y_t)E(y_{t-1})\] \[\gamma_1 = E [(c + \phi y_{t-2} + \epsilon_t)y_{t-1}] - E(y_t)E(y_{t-1})\] - Lembrando que: \(y_{t-1} = \phi y_{t-2} + \epsilon_{t-1}\)
\[\gamma_1 = E [(c + \phi y_{t-2} + \epsilon_t)(\phi y_{t-2} + \epsilon_{t-1})] - E(y_t)E(y_{t-1})\] \[\gamma_1 = E [(c + \phi y_{t-2} + \epsilon_t)(\phi y_{t-2} + \epsilon_{t-1})] - E(y_t)E(y_{t-1})\] \[\gamma_1 = E [(c\phi y_{t-2} + c\epsilon_{t-1}) + \phi^2 y^2_{t-2} + (\phi y_{t-2})(\epsilon_{t-1}) + \epsilon_t\phi y_{t-2} + \epsilon_t\epsilon_{t-1})] - E(y_t)E(y_{t-1})\] \[\gamma_1 = [c\phi E[y_{t-2}] + \overbrace{cE[\epsilon_{t-1}]}^{0} + \phi^2 E[y^2_{t-2}] + \overbrace{E[(\phi y_{t-2}\epsilon_{t-1})]}^{0} + \overbrace{E[\epsilon_t\phi y_{t-2}]}^{0} + \overbrace{E[\epsilon_t\epsilon_{t-1}]}^{0} - E(y_t)E(y_{t-1})\] \[\gamma_1 = [c\phi E[y_{t-2}] + \phi^2 E[y^2_{t-2}] - E(y_t)E(y_{t-1})\] - Dado que:
\(E[y_{t-2}] = E[y_t] = \mu = 0.0125\)
\(E[y^2_{t−2}] = var(y_t) = 0.021\)
\(E[\epsilon_t y_{t-2}] = 0\) Média do ruído branco é zero
\(E(y_t)E(y_{t-2}) = E(y_t)E(y_{t}) = 0.0125 \cdot 0.0125 = 1.56 \cdot 10^{-4}\)
\(\phi = 0.2\)
c = 0.01
\[\gamma_1 = c\phi\mu + \phi^2 var(y_t)- E(y_t)E(y_{t})\] **Calculando \(\gamma_1\):
\[\gamma_1 = \overbrace{0.01 \cdot0.2 \cdot 0.0125}^{2.5\cdot10^{-5}} + \overbrace{0.04 \cdot 0.021}^{8.4\cdot10^{-4}} - \overbrace{0.125 \cdot 0.125}^{1.56 \cdot 10^{-4}}\] Resultado da autocovariância \(\gamma_1\)
\[\gamma_1 = 7.09 \cdot10^{-4}\]
Resultado da autocorreção de 1 ordem \(\rho_1\)
\[\rho_1 = \frac{7.09 \cdot10^{-4}}{0.021}\] Resultado da Autocorrelação de ordem é
\[\rho_1 = 0.033 \]
(c) Assuma que o valor de y em t = 100, y100 seja -0.01 e o valor de y em t = 99, y99, seja 0.02. Calcule a previsão um passo à frente da série de retornos a partir da origem t = 100. Calcule também a previsão dois passos à frente a partir de t = 100.
Dados relacionados ao problema:
\(y_{100}\) = -0.01
\(y_{99}\) = 0.02
Resultados das previsões estimados.
\(y_{101}\) = 0.014
\(y_{102}\) = 0.008
Cálculo Previsão \(y_{101}\)
\(y_t = 0.01 + 0.2y_{t-2} + \epsilon_t\)
\(𝑦_{101} = 0.01 + 0.2y_{t - 2} + 0\)
\(y_{101} = 0.01 + 0.2 \cdot y_{99} + 0\)
\(y_{101} = 0.01 + 0.2 \cdot 0.02 + 0\)
\(y_{101} = 0.014\)
Cálculo da Previsão \(y_{102}\)
\(y_{102} = 0.01 + 0.2 \cdot y_{100} + 0\)
\(y_{102} = 0.01 + 0.2 \cdot -0.01\)
\(y_{102} = 0.008\)
2.Descreva como as FAC e FACP são úteis para identificar um modelo ARMA. Como os critérios de informações podem ser usados na construção de um modelo?
A FAC é uma medida estatística que indica a correlação entre uma série temporal e suas defasagens.Ela representa a correlação linear entre a série no momento atual e os valores anteriores. A FAC é útil para identificar a estrutura de autocorrelação da série, ou seja, se existe uma relação linear entre a série e suas defasagens. No caso de um modelo ARMA, a FAC decai gradualmente à medida que as defasagens aumentam, indicando a presença de correlação serial na série.
A FACP, por sua vez, é uma medida estatística que representa a correlação parcial entre uma série temporal e suas defasagens, controlando o efeito das defasagens intermediárias. A FACP é útil para identificar a estrutura de autocorrelação parcial da série, ou seja, a correlação específica entre a série e suas defasagens, após remover o efeito das defasagens intermediárias. No caso de um modelo ARMA, a FACP geralmente apresenta picos significativos apenas nas primeiras defasagens, indicando a presença de correlação serial nas defasagens imediatamente anteriores.
Muito útil para analisa as FAC e FACP de uma série temporal, podemos identificar a ordem do modelo ARMA adequado. A ordem do modelo AR é determinada pela identificação dos picos significativos na FAC, enquanto a ordem do modelo MA é determinada pela identificação dos picos significativos na FACP. Através dessa análise, podemos selecionar a ordem do modelo que melhor descreve a estrutura de autocorrelação e autocorrelação parcial da série. Onde através das análises podemos combinar modelos que mais adequado a séries univariadas, onde determinamos AR(p), MA(q) ou ARMA(p,q). dependendo do decaimento em FAC e trucamento FACP.
Os critérios de informações, como o critério de informação de Akaike (AIC) e o critério de informação bayesiano (BIC), podem ser utilizados na construção do modelo ARMA. Esses critérios levam em consideração o ajuste do modelo aos dados e a complexidade do modelo, buscando um equilíbrio entre o ajuste e a parcimônia. Em geral, o modelo ARMA com o menor valor de AIC ou BIC é considerado o melhor modelo, pois fornece um bom ajuste aos dados com o menor número de parâmetros.
Portanto, a análise das FAC e FACP, juntamente com os critérios de informações,desempenham um papel importante na identificação e construção de um modelo ARMA adequado para uma série temporal.
3. Seja a FAC e FACP (ACF e PACF em inglês, respectivamente) de uma série de log-retornos mostrada na página seguinte. Qual seria um modelo do tipo ARMA razoável para descrever a dinâmica dessa série? Como você poderia verificar se o modelo escolhido é adequado? NOTA: As FAC e FACP mostradas abaixo,começam no lag = zero. Então, o primeiro elemento é a autocorrelação de ordem zero, que deve ser desconsiderada para a análise proposta.
Amostra Função de Autocorrelação ACF PACF
Analisando a FAC está declinando lentamente esse é um processo não estacionário poderia usar modelo ARIMA(19,1,20) com diferenciação com integração, para verificar se o modelo é adequado usaria os critérios de de informações, como o critério de informação de Akaike (AIC) e o critério de informação bayesiano (BIC), podem ser utilizados na construção do modelo ARMA. Esses critérios levam em consideração o ajuste do modelo aos dados e a complexidade do modelo, buscando um equilíbrio entre o ajuste e a parcimônia.