• Evento A: Estudiante que duerma 4 horas cada día, (P(A)=0.4).

• Evento B: Un estudiante estudia menos de 15 horas semanales, (P(B)=0.6).

• Si es independienete, se cumple que: P(A∩B) = P(A)*P(B).

• Sabemos que si estos eventos son independientes, entonces P(A∩B)=P(A)*P(B), Entonces, la probabilidad de que duerma 4 horas al día y estudie 15 horas semanales es: P(A∩B) = P(A)* P(B)

• Si calculamos las probabilidades condicionales:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.24 / 0.6 = 0.4.

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.24 / 0.4 = 0.6.

En este caso, ambas probabilidades condicionales son iguales a las probabilidades individuales de los eventos A y B, respectivamente

dormir4 = 4/10
Prob15semanales = 0.6
Phorasdormidasyestudiadas = Prob15semanales*dormir4
Phorasdormidasyestudiadas

## [1] 0.24

ProbBtalqueA = Phorasdormidasyestudiadas/dormir4
ProbAtalqueB = Phorasdormidasyestudiadas/Prob15semanales

• Evento A: El tiempo que te quedaste dormido en clase es mayor a 1hora.

• Evento B: Las horas que duermes en promedio son menores a 8.

• Tenemos una muestra de 227 datos.

• La probabilidad de que se quede dormido en clase por más de una hora, según los datos proporcionados, es de 84/227, lo cual es aproximadamente igual a 0.369.

• Verificando la dependencia de los eventos A y B, mediante la probabilidad conjunta: P(A ∩ B) y la comparación con el producto de las probabilidades individuales P(A) * P(B). Entonces, P(A ∩ B) = 11/227, que es aproximadamente igual a 0.048.

• El producto de las probabilidades individuales P(A) * P(B) es aproximadamente igual a 0.369 * 0.542 = 0.203.

• Como P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B), podemos concluir que los eventos A y B son dependientes. P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.24 / 0.4 = 0.6.

Probdormir2horas  = 1/227
Probdormir4horas  = 4/227
Probdormir5horas  = 11/227
Probdormir8horas  = 18/227
Probdormir6horas  = 45/227
Probdormir7horas  = 44/227

## Probconjunta = 11/227: 0.04845815

Para realizar el experimento debemos conocer la probabilidad de cada uno, entonces:

• En este experimento, la muestra consiste en seleccionar únicamente 5 niveles de satisfacción (1, 2, 3, 4, 5), lo que representa un conjunto finito. Por lo tanto, utilizaremos una distribución hipergeométrica para analizar cuán probable es que los encuestados estén más satisfechos que otros en cuanto a la calidad del sueño.

• Después de analizar los datos, se observa que de un total de 227 entrevistados, 104 de ellos seleccionaron el nivel de desempeño igual a 3. En este modelo probabilístico, nuestro objetivo es determinar la probabilidad de que, en una muestra de 150 entrevistados, se encuentre aproximadamente el 50% del número de entrevistados que eligieron la opción 3. Además, buscaremos calcular el valor esperado de esta probabilidad.

• Datos : P(x = 104), k=75, p = 50/201

¿Cuál es la probabilidad de que al agarrar una muestra al azar de 50 personas encuestadas, a lo más 10 personas tengan un nivel de satisfacción de 3 en la calidad de sueño, sabiendo que la población es de 227 personas encuestadas?

• Éxito: Que una persona encuestada tenga 3 como nivel de satisfacción en la categoría de “calidad de sueño”

## Probabilidad (phyper(x, M, N − M, n)): 0.2199186

## Valor esperado (E(X)= n*M/N): 22.90749

## Varianza (V(X) = (n*M/N)(1 − M/N)(N-n)/(N-1)): 6.725528

## Desviación estándar (D(x)=((n*M/N)(1 − M/N)(N-n)/(N-1))^0.5: 2.593362

• Cuando:

M= 104 (cantidad de alumnos que escogieron el nivel 3), N = 227 (tamaño de la población), n = 50 (tamaño de la muestra), k = 104 (éxitos en la población), x <= 20 (personas de la muestra con 3 de satisfacción ).

• Trabajaremos con las variables “Promedio” y “horas.de.estudio”:

1. Promedio

• Lo primero que haremos es identificar esta variable a través de un histograma:

Consideramos la gráfica como una normal, para así poder seguir con los pasos dados para variables continuas, Validar la normal:

## El promedio es:  14.97808

## La mediana es:  14.92

## El promedio es:  14.97808

## La desviación estandar es:  1.646526

## La varianza es:  2.711049

## El valor de vartd2 es:  2.697889

• Podemos observar que son prácticamente lo mismo

## La varianza es:  2.711049

## La esperanza es:  14.97808

• Consideramos la gráfica como una normal, para así poder seguir con los pasos dados para variables continuas

## La media es:  8.975

## La mediana es:  6.383534

## La media es:  8.975

## La mediana es:  7.3

• EJEMPLO: se está llevando a cabo un estudio sobre los hábitos de sueño de los estudiantes y su relación con el rendimiento académico. La universidad busca entender cómo los hábitos de sueño pueden afectar el desempeño estudiantil. Se recolectaron datos sobre los hábitos de sueño de una muestra de estudiantes de la UTEC. El promedio aritmético del tiempo de sueño de la muestra fue de 8.98 horas, con una desviación estándar de 40.75 horas.

• La pregunta que nos interesa responder es: ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar de la UTEC duerma más de X horas al día?

#Utilizando los datos proporcionados, podemos utilizar la distribución normal para calcular la probabilidad. Por ejemplo, si estamos interesados en calcular la probabilidad de que un estudiante duerma más de 10 horas al día, podemos utilizar el siguiente código en R:
promedio <- 8.98
desviacion <- 40.75
umbral <- 10

# Cálculo de la probabilidad P(X > X) utilizando la función de distribución acumulativa (pnorm) y complementando con 1
probabilidad <- 1 - pnorm(umbral, mean = promedio, sd = desviacion)
print(probabilidad)

## [1] 0.4900152

• Tras los estudios realizados, se concluye que las horas que duerme un estudiante influyen en su rendimiento académico. Esto se demostró mediante análisis y evidencia empírica.

• Por otro lado, se concluye que las horas que un estudiante le dedica al estudio no tienen influencia en las horas que duerme. Esta conclusión se obtuvo a través del cálculo de probabilidades.

• Al analizar los gráficos, se observa que a medida que un estudiante lleva más cursos, sus horas de sueño disminuyen gradualmente. Sin embargo, no se puede afirmar que exista una influencia directa, ya que esto depende de otros factores distintos a la cantidad de cursos.

• Los estudios realizados indican que es más probable encontrar estudiantes insatisfechos con la calidad de su sueño que estudiantes satisfechos.

• Al analizar los gráficos y la información obtenida, se observa que hay una mayor cantidad de estudiantes que prefieren descansar en el piso 11. Además, se nota que existe una mayor cantidad de estudiantes que no se sienten satisfechos con los espacios de descanso.