OBJETIVO

Llegar a tomar decisiones fundamentadas sobre los métodos típicos de solución, por el comportamiento de datos tabulados que pueden aproximarse a un polinomio de grado n.

Implementar algoritmos de aproximación polinómica de Diferencias divididas o el Método polimonial de Newton y el Método de Lagrange.

Realizar software indicando su caso de diseñar programas especializados para hacer corridas.

Llegar a sus resultados.

QUÈ ES INTERPOLACIÒN

Es un método estadìstico en el cual se utiliza para simplificar funciones complicadas mediante el muestreo de cualquier punto de datos.En el cual se utiliza datos conocidos relacionados para estimar un precio desconocido o el rendimiento potencial.

TÈCNICA

La técnica de interpolación (exacta) para un conjunto de datos.

         (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)

Es la interpolación polinomial, donde se busca un polinomio.

                 p(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn

QUÈ ES LA INTERPOLACIÒN DE LAGRANGE

El método de Lagrange permite construir fácilmente de forma explícita, el polinomio interpolador. Dos de las interpolaciones más utilizados son las interpolaciones lineal y parabólica.

Este método consiste en construir el polinomio interpolador de grado n que pasa por n + 1 puntos (xi,yi).

De su forma explícita, vemos que Li(xi) = 1 y que Li(xk) = 0 para i = k.

Podemos escribir el polinomio interpolador de una función f(x) en los puntos

                     x0,x1,...,xn.

QUÈ ES LA INTERPOLACIÒN DE NEWTON

El método de Newton o aproximaciòn con diferencias divididas es otra forma de obtener el polinomio interpolador.

En este método el polinomio interpolador se escribe de la forma:

   Pn(x) = a0 +(x−x0)a1 +(x−x0)(x−x1)a2 +···+(x−x0)(x−x1)···(x−xn−1)an

El algoritmo proporciona una regla para obtener los coeficientes

                     a0,a1,...,an.

El polinomio interpolador pase por los puntos de interpolación obtenemos

 Pn(x0) = a0 = f(x0)

 Pn(x1) = a0 +(x1 −x0)a1 = f(x1)

 Pn(x2) = a0 +(x2 −x0)a1 +(x2 −x0)(x2 −x1)a2 = f(x2)
 .
 .
 . .
 .

 Pn(xn) = a0 +(xn −x0)a1 +···+(xn −x0)···(xn −xn−1)an = f(xn)

APLICACIONES

1.Ingeniería farmacéutica

Se generan fármacos para medicamentos.Se puede monitorear la respuesta de un paciente a diferentes dosis de un medicamento. Sin embargo, solo se puede predecir lo que sucederá en forma casi inmediata, con una dosis que no se ha probado explícitamente. La extrapolación numérica supone el curso de acontecimientos que ocurrirán, lo cual puede soportar la definición de dosis que se utilizará para una población.

2.Ingeniería Ambiental

Interpolación climática.

La interpolación polinómica es empleada por cartógrafos para la creación de mapas de isolíneas, esto se refiere a que se tienen mediciones obtenidas de estaciones meteorológicas que se emplean para estimar patrones del clima.

La idea es que a partir de datos en puntos particulares, sea posible estimar el clima para todas las ubicaciones dentro de una región, y no sólo para aquellos puntos.

En general, a mayor número de puntos de muestreo, mayor será la precisión en la superficie interpolada, como es más probable que incluya ubicaciones cuyos valores son importantes para definir la superficie. Ejemplo:

(los picos y valles de la zona) la definición de la localización.

3.Ingeniería en Mecanica

Una prueba de laboratorio consiste en aplicar sobre una probeta normalizada un esfuerzo axial de tracción (alargamiento) hasta producir una ruptura.

Un objetivo de la prueba, es medir la resistencia del material.

Para ello, se obtienen datos de la tensión que provoca una deformación en periodos de tiempo.

La interpolación permite, a partir de coordenadas discretas esfuerzo- deformación

                       (x𝑖,y𝑖)

Obtener valores intermedios para obtener lecturas concretas en distintos tiempo.

4.Ingeniería en Ciencias Economicas y Financieras.

En sus aplicaciones prácticas, la interpolación lineal se puede utilizar para determinar cálculos como los pagos de tasas de interés a medio mes.

Debido a que muchas tasas de interés se determinan en uno o dos meses, estos valores son conocidos.

Mediante la interpolación, un analista financiero puede estimar la tasa para un período que se encuentra dentro de ese rango.

5.Ingeniería Civil

Cuando se toma una fotografía con una cámara digital, el producto es una malla

n*m

con valores de color por cada píxel.

Se podría pensar en la fotografía como una función continua. En una fotografía del espacio, los colores representan elementos químicos, y si en caso, se desconoce el valor de un color, la interpolación ubica la posición con respecto al color.

CASOS DE ESTUDIOS

Primer caso

Propongo un estudio del clima de la cuidad de Guano del 01 de Julio del 2023

Segundo caso

Propongo un estudio del mecanisno del motor de un automovil Corsa

_Tercer caso

El estudio es nos da un valor x=3.2 por evaluar ver si es un polinomio

EJERCICIOS

· Lagrange

Realizar la siguiente funciòn y encontrar el valor para x=2.

X y 0 2 1 3 4 18 6 38

Resoluciòn

Existen 4 puntos con la fórmula de Lagrange se aplica 𝑦 = (𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥4 )/ (𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 )(𝑥1 − 𝑥4 ) 𝑦1 + (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥4 )/ (𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥3 )(𝑥2 − 𝑥4 ) 𝑦2 + (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥4 )/ (𝑥3 − 𝑥2 )(𝑥3 − 𝑥2 )(𝑥3 − 𝑥4 ) 𝑦3 + (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )/ (𝑥4 − 𝑥1 )(𝑥4 − 𝑥2 )(𝑥4 − 𝑥3 ) 𝑦4 Sustituir los valores. 𝑦 = (2 − 1)(2 − 4)(2 − 6)/ (0 − 1)(0 − 4)(0 − 6) (2) + (2 − 0)(2 − 4)(2 − 6)/ (1 − 0)(1 − 4)(1 − 6) (3) + (2 − 0)(2 − 1)(2 − 6)/ (4 − 0)(4 − 1)(4 − 6) (18) + (2 − 0)(2 − 1)(2 − 4)/ (6 − 0)(6 − 1)(6 − 4) (38)

Resoluciòn

f(2)=6

Ejercicio 2

Obtener el valor de y para x=3.2 de la siguiente función. x y 0 2 2 8 4 62 6 212 8 506 10 992

Aplicando la fórmula de Lagrange, ya con restas aplicadas, se obtiene 𝑦 = (1.2)(−0.8)(−2.8)(−4.8)(−6.8)/ (−2)(−4)(−6)(−8)(−10) (2) + (3.2)(−0.8)(−2.8)(−4.8)(−6.8)/ (2)(−2)(−4)(−6)(−8) (8) + (3.2)(1.2)(−2.8)(−4.8)(−6.8)/ (4)(2)(−2)(−4)(−6) (62) + (3.2)(1.2)(−0.8)(−4.8)(−6.8)/ (6)(4)(2)(−2)(−4) (212) + (3.2)(1.2)(−0.8)(−2.8)(−6.8)/ (8)(6)(4)(2)(−2) (506) + (3.2)(1.2)(−0.8)(−2.8)(−4.8)/ (10)(8)(6)(4)(2) (992) 𝑦 = 87.73632/ −3840 (2) + 233.96352/ 768 (8) + −350.94528/ −384 (62) + −100.27008/ 384 (212) + −58.49088/ −768 (506) + −91.28768/ 3840(992)

𝑦 = 31.568

f(3.2)=31.568.

·Interpolaciòn de Newton

Para la función definida en el ejemplo anterior, localizar el valor de la función para x=9. x y ∆𝒚 ∆𝟐𝒚 ∆𝟑𝒚 0 2
6

2 8 48 48 54

4 62 96 48 150

6 212 144 48 294

8 506 192 486

10 992

Resoluciòn

𝑘 =10 − 9/2= 0.5

𝑥𝑛 = 10

𝑥𝑘 = 9; ℎ = 2

𝑦𝑛 = 992; ∆𝑦𝑛 = 486

∆^2𝑦𝑛 = 192

∆^3𝑦𝑛 = 48

𝑦0.5 = 992 − 0.5(486) + 0.5(0.5 − 1)/2 (192) − 0.5(0.5 − 1)(0.5 − 2)/6 (48)

𝑦0.5 = 772

Nos queda haci

𝑓(9) = 772

Codigos de las Interpolaciones de Lagrange y Newton.

·Realize en el programa Octave

CODIGO DE LA INTERPOLACIÒN DE LAGRANGE

Carga [C,L]=lagrange([1.0 1.3 1.6 1.9 2.2],[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623])

%Ingreso - X es el vector de abcisas

% - Y es el vector de ordenadas

%salida - C es una matriz que contiene los coeficientes del polinomio %interpolatorio de Lagrange

% - L es una matriz que contiene los coeficientes polinomiales de Lagrange

w=length(X); n=w-1; L=zeros(w,w);

%Forma los coeficientes polinomiales de Lagrange

for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); end end L(k,:)=V; end

%Determina los coeficientes del polinomio interpolatorio de Lagrange

C=Y*L;

Dados los siguientes valores x-y:

x=[1.0 1.3 1.6 1.9 2.2];

y=[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623];

Encontrar el polinomio interpolante de Lagrange

octave:19> [C,L]=lagrange([1.0 1.3 1.6 1.9 2.2],[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623])

C = 0.0018251 0.0552928 -0.3430466 0.0733913 0.9777351 L =

            5.1440  -36.0082  93.3642      -106.2243       44.7243
            -20.5761  137.8601  -338.2716  358.6008      -137.6132
            30.8642  -197.5309   460.1852  -461.2346     167.7160
            -20.5761 125.5144 -279.0123     268.2305     -94.1564
             5.1440  -29.8354  63.7346      -59.3724      20.3292

CODIGO DE INTERPOLACIÒN DE NEWTON

function [p0,y0,err,P] = newton(p0,delta,max1) METODO DE NEWTON

·Ejemplo carga [p0,y0,err,P] = newton(0.25*pi,0.01,12)

función ‘cos(x)-x’

derivada ‘-sin(x)-1’

f=input(‘ingrese f(x) entre comillas en términos de x’);

f=inline(f,‘x’);

epsilon = 1.0842e-19;

df = input(‘ingrese la derivada de f(x) entre comillas, en términos de x’);

df = inline(df,‘x’);

y0 = feval(f,p0);

for k=1:max1,

df0 = feval(df,p0);

if df0 == 0,

dp = 0;

else

dp = y0/df0;

end

p1 = p0 - dp;

y1 = feval(f,p1);

err = abs(dp);

relerr = err/(abs(p1)+eps);

p0 = p1;

y0 = y1;

P = [P;p1 y0 df0 err relerr];

if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y1)<epsilon), break, end

end

disp(’ Xi F(Xi) F(Xi) ErrorAbs ErrorRel ’);

disp(P);

disp(‘Error Absoluto:’),disp(err);

disp(’ Error Relativo: ’), disp(relerr);

end

Dada la función f(x)=x-x

3+4x2-10, hallar una raíz por el método de Newton

con aprox. inicial 1.5, tolerancia para la raíz de 10-4 y 10-5 para los valores de f, con 10 iteraciones.

Sea la función x^3+4*x^2-10

Su derivada es 3x^2+8x

octave:9> newton(1.5,0.0001,10)

ingresef(x) entre comillas en términos de x ’x^3+4*x^2-10’

’x^3+4*x^2-10’

ingrese la derivada de f(x) entre comillas, en términos de x ‘3x^{2+8x’ ’3x}2+8x’

          Xi F(Xi) F(Xi) ErrorAbs ErrorRel
          1.50000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
          1.37333 0.13435 18.75000 0.12667 0.09223
          1.36526 0.00053 16.64480 0.00807 0.00591
          1.36523 0.00000 16.51392 0.00003 0.00002
          
          
           ErrorAbsoluto:
           3.2001e-005
           
           Error Relativo:
           2.3440e-005
           
           ans = 1.3652

#BIBLIOGRAFIA

https://www.academia.edu/40452797/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricos_para_Ingenieros_7ma_Edici%C3%B3n_Chapra

https://lacienciaparatodos.wordpress.com/tag/interpolar/#:~:text=Interpolaci%C3%B3n%20y%20Extrapolaci%C3%B3n,la%20variaci%C3%B3n%20en%20ese%20per%C3%ADodo.

https://journal.poligran.edu.co/index.php/libros/article/view/2834

https://journal.poligran.edu.co/index.php/libros/article/view/2834/2991

Trabajo Individual

Erika Alajo

2023-07-05

OBJETIVO

QUÈ ES INTERPOLACIÒN

TÈCNICA

QUÈ ES LA INTERPOLACIÒN DE LAGRANGE

QUÈ ES LA INTERPOLACIÒN DE NEWTON

APLICACIONES

1.Ingeniería farmacéutica

2.Ingeniería Ambiental

3.Ingeniería en Mecanica

4.Ingeniería en Ciencias Economicas y Financieras.

5.Ingeniería Civil

CASOS DE ESTUDIOS

EJERCICIOS

Codigos de las Interpolaciones de Lagrange y Newton.

CODIGO DE LA INTERPOLACIÒN DE LAGRANGE

CODIGO DE INTERPOLACIÒN DE NEWTON

función ‘cos(x)-x’

derivada ‘-sin(x)-1’