proporcionar una aproximación razonablemente precisa de los valores faltantes, asumiendo que los datos siguen una tendencia suave y continua. La interpolación se basa en la suposición de que existe una relación o patrón subyacente en los datos, lo que permite estimar valores en ubicaciones no observadas.
La interpolación es un proceso matemático que consiste en estimar valores desconocidos o faltantes dentro de un conjunto de datos utilizando la información disponible. Se utiliza cuando se desea obtener valores intermedios entre puntos de datos conocidos o para estimar un valor en una ubicación específica dentro de un rango.
La interpolación de Lagrange es un método específico utilizado en el campo de la interpolación numérica para estimar valores desconocidos dentro de un conjunto de datos. Fue desarrollado por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange en el siglo XVIII.
En la interpolación de Lagrange, se construye un polinomio único que pasa a través de todos los puntos de datos conocidos. Este polinomio se utiliza para estimar el valor desconocido en una ubicación específica.
La idea principal detrás de la interpolación de Lagrange es que para cada punto de datos conocido, se crea un polinomio de grado n-1 (donde n es el número total de puntos de datos conocidos). Luego, se suma todos estos polinomios ponderados por los valores conocidos y se obtiene el polinomio final de grado n-1.
La expresión del polinomio de interpolación propuesto es:
\[ y = A_1(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)...(x - x_n) + \] \[ A_2(x - x_1)(x - x_3)(x - x_4)...(x - x_n) + \] \[ A_3(x - x_1)(x - x_2)(x - x_4)...(x - x_n) + \] \[ \ldots \] \[ A_n(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)...(x - x_{n-1}) \]
Donde:
La expresión \(f[x_i - x_{i-1}] = f(x_i) - f(x_{i-1})\) denota la diferencia finita, que se utiliza para calcular las diferencias entre los valores de una función en puntos adyacentes.
La interpolación polinomial de Newton es un método utilizado en la interpolación numérica para estimar valores desconocidos dentro de un conjunto de datos. Fue desarrollado por el matemático inglés Isaac Newton en el siglo XVII.
En la interpolación polinomial de Newton, se construye un polinomio único que pasa a través de todos los puntos de datos conocidos. Este polinomio se utiliza para estimar el valor desconocido en una ubicación específica.
La interpolación polinomial de Newton se basa en las diferencias divididas, que son diferencias finitas entre los valores de la función que se desea interpolar. Estas diferencias divididas se utilizan para calcular los coeficientes del polinomio interpolante.
La fórmula para el polinomio de interpolación de Newton se puede expresar de la siguiente manera:
\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x - x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x - x_0)(x - x_1) + \ldots + f[x_0,x_1,\ldots,x_n](x - x_0)(x - x_1)\ldots(x - x_{n-1}) \]
Donde:
Las diferencias divididas se calculan utilizando la siguiente fórmula recursiva:
\[ f[x_i] = f(x_i) \] \[ f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f[x_{i+1}] - f[x_i]}{x_{i+1} - x_i} \] \[ f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}] - f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2} - x_i} \] \[ \ldots \] \[ f[x_i,x_{i+1},\ldots,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},\ldots,x_{i+k}] - f[x_i,\ldots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i} \]
Estas diferencias divididas se calculan de forma recursiva, utilizando los valores de diferencias divididas anteriores.
En esta investigación se analizaron fenómenos físicos y de ingeniería
civil, tales como cambios en la velocidad, variaciones de temperatura,
movimientos periódicos e infiltración de agua en suelos. Se llevaron a
cabo mediciones en cada situación utilizando diferentes sensores, como
un sensor de movimiento para el movimiento periódico, un sensor de
temperatura para el cambio de temperatura y la medición de la variación
de la columna de agua para la infiltración de agua en un suelo
específico. Se abordaron estas situaciones utilizando la práctica
social de la predicción y la herramienta de interpolación para la
modelación matemática, con el objetivo de predecir tanto los fenómenos
físicos como los de ingeniería civil. Consideramos que esta perspectiva
de la matemática proporciona referencias didácticas para la
reconstrucción del aprendizaje del cálculo en el ámbito escolar.
Para cuantificar la calidad (ley) y cantidad (tonelaje) de un depósito mineral, es fundamental realizar dos etapas: 1) planificación y ejecución de una malla de sondajes para determinar los elementos/compuestos de interés, y 2) creación de una base de datos y aplicación de técnicas matemáticas para calcular la ley y el tonelaje del depósito.
Estas etapas tienen en cuenta lo siguiente: 1) la planificación de la malla de sondajes, el número de sondajes y los elementos/compuestos estudiados dependen del capital disponible para el proyecto y se basan en la experiencia del ingeniero o geólogo a cargo, 2) la base de datos se genera con los datos más relevantes, y 3) la evaluación matemática depende de la experiencia del ingeniero y las herramientas computacionales disponibles.
Estas consideraciones pueden generar incertidumbre en la calidad del resultado final. Por lo tanto, el objetivo de este trabajo es realizar un análisis en la base de datos para mejorar la cantidad de información mediante la interpolación y reconstrucción de datos, utilizando Redes Neuronales de Base Radial (RNBR). Los resultados obtenidos se comparan con los de la Regresión Polinomial (RP) y la Geoestadística (Ge). Se presentarán las expresiones matemáticas, los resultados de los ajustes y un análisis de sus ventajas y desventajas.
Los resultados obtenidos indican que el uso de la RP nunca fue adecuado debido a sus estimaciones deficientes, mientras que los resultados de la RNBR siempre mostraron errores muy bajos y compatibles con la geoestadística. Además, la RNBR logró mantener la tendencia espacial de los datos reconstituidos.
Se han realizado contribuciones al estudio y desarrollo computacional de un modelo gráfico orientado a la gestión de información espacial, con el objetivo de abordar problemas comunes en los sistemas de información geográfica. El enfoque se centra en modular la resolución de cuestiones relacionadas con el tratamiento de mapas temáticos, la integración de modelos digitales del terreno y el análisis de relaciones espaciales. El trabajo realizado ha cumplido los siguientes objetivos:
Se ha definido una estructura dinámica de datos basada en un modelo vectorial que divide el área geográfica en unidades discretas según criterios de adyacencia, interioridad y proximidad espacial.
Se ha desarrollado un entorno gráfico informático que permite la captura, manipulación, modificación y actualización de la información temática. Se proponen algoritmos para digitalizar, editar, filtrar, asignar atributos, generar polígonos automáticamente y producir salidas gráficas.
Se ha logrado la integración de modelos digitales del terreno para obtener una caracterización tridimensional de variables uniformemente distribuidas. Esto se ha abordado mediante la generación de una malla de triangulación irregular utilizando las líneas de isovalores de la superficie.
Se ha implementado un método de interpolación local utilizando técnicas de Hermite a partir de la malla irregular de triángulos.
Se ha llevado a cabo el análisis de los datos mediante la integración de una base de datos externa, la superposición de temas temáticos y la integración de información tridimensional y temática.
El desarrollo de métodos numéricos de cálculo utilizando técnicas de interpolación, específicamente los métodos de los elementos finitos (MEF) y de la integral de contorno (BEM). Se enfoca principalmente en el uso de funciones polinómicas de alto grado y su aplicación en el campo de la ingeniería, especialmente en el análisis de estructuras. Se busca desarrollar algoritmos de alto rendimiento que puedan resolver eficientemente los problemas numéricos asociados con estas funciones polinómicas de alto grado.
A través de la generación automática de funciones de interpolación, se desarrollarán las matrices de rigidez elementales y los vectores de fuerzas consistentes necesarios para el cálculo. Estas técnicas desarrolladas se aplicarán a una variedad de problemas en ingeniería estructural y en la mecánica de los medios continuos en general. Se realizarán pruebas para verificar la calidad de los resultados obtenidos y la efectividad de los elementos desarrollados en este estudio.
En este estudio, se hace uso de las capacidades gráficas y de animación de Mathematica para desarrollar una librería de mímicos computacionales llamada ControlAnimation. Esta herramienta tiene como objetivo apoyar la enseñanza del análisis y diseño de sistemas de control, especialmente a través de sistemas de péndulos con fines didácticos. Desde una perspectiva técnica, el desarrollo de los mímicos puede ser comparado con la creación de una película, en la que cada cuadro describe con precisión los estados del sistema en un momento determinado. Al igual que las películas, los mímicos computacionales son sistemas dinámicos a tiempo discreto, pero el espectador los percibe como sistemas dinámicos a tiempo continuo gracias a su capacidad cerebral para interpolar imágenes. El uso de mímicos computacionales en el ámbito educativo busca cerrar la brecha entre el enfoque numérico-analítico tradicional y la adquisición de un conocimiento global, integral e intuitivo de la dinámica de los sistemas de control.
El uso de la simulación computacional en la ingeniería civil para el análisis y diseño de estructuras presenta varios desafíos. Uno de los principales problemas es la falta de precisión en los resultados obtenidos a partir de las simulaciones. Las simplificaciones y suposiciones necesarias para llevar a cabo los cálculos pueden afectar la exactitud de los resultados, lo que a su vez puede llevar a diseños incorrectos o inseguros.
Otro problema es la dificultad para validar los modelos de simulación. Los datos experimentales necesarios para comparar y verificar los resultados de la simulación a menudo son limitados o inexistentes, lo que dificulta la validación de los modelos y la confianza en los resultados obtenidos.
Además, la simulación computacional requiere un alto nivel de conocimiento técnico y habilidades especializadas. No todos los ingenieros civiles están familiarizados con el uso de software de simulación o tienen la experiencia necesaria para utilizarlo de manera efectiva. Esto limita su adopción generalizada y puede llevar a una dependencia excesiva de métodos de diseño más tradicionales.
Para abordar los problemas mencionados, se pueden implementar las siguientes soluciones:
Mejorar la precisión de los modelos de simulación: Se deben realizar esfuerzos para mejorar la precisión de los modelos utilizados en las simulaciones. Esto implica desarrollar modelos más complejos que tengan en cuenta una mayor cantidad de variables y fenómenos físicos relevantes. Además, se deben realizar validaciones rigurosas de los modelos utilizando datos experimentales siempre que sea posible.
Recopilar y compartir datos experimentales: Se deben llevar a cabo más pruebas y experimentos para recopilar datos que puedan utilizarse para validar los modelos de simulación. Es importante establecer una cultura de compartir datos entre los investigadores y profesionales de la ingeniería civil para mejorar la confianza en los resultados de la simulación.
Capacitación y desarrollo de habilidades: Es fundamental proporcionar capacitación y desarrollar las habilidades necesarias en los ingenieros civiles para utilizar eficazmente el software de simulación. Esto puede lograrse a través de programas de formación especializados, cursos de educación continua y colaboración con instituciones académicas y empresas de software.
Al abordar estos problemas y aplicar estas soluciones, se puede mejorar el uso de la simulación computacional en la ingeniería civil para el análisis y diseño de estructuras, permitiendo diseños más seguros y eficientes.
La interpolación de datos topográficos para la visualización y análisis de sistemas gráficos en ingeniería del terreno presenta desafíos debido a la naturaleza espacialmente dispersa de los datos topográficos y la necesidad de representar de manera precisa y detallada el terreno en un sistema gráfico.
Uno de los problemas es la falta de datos topográficos en áreas específicas. En muchos casos, los datos recopilados son limitados y no cubren toda el área de interés. Esto puede resultar en lagunas en la visualización del terreno y afectar la precisión de los análisis realizados.
Además, la variabilidad de los datos topográficos puede dificultar la interpolación precisa. Los datos pueden ser irregulares y estar sujetos a errores o inexactitudes debido a la naturaleza del proceso de medición. Esto puede resultar en representaciones incorrectas del terreno y llevar a análisis erróneos o imprecisos.
Para abordar los desafíos de la interpolación de datos topográficos en la visualización y análisis de sistemas gráficos en ingeniería del terreno, se pueden implementar las siguientes soluciones:
Recopilación adicional de datos topográficos: Se deben realizar esfuerzos para recopilar más datos topográficos en áreas específicas de interés. Esto puede implicar la realización de levantamientos topográficos adicionales o la utilización de técnicas de teledetección, como el LIDAR (Light Detection and Ranging) o la fotogrametría. Cuanta más información se tenga sobre el terreno, más precisa será la visualización y el análisis.
Utilizar métodos de interpolación avanzados: En lugar de utilizar métodos de interpolación simples, se deben emplear métodos más avanzados que tengan en cuenta la variabilidad espacial de los datos topográficos. Algunos métodos comunes incluyen la interpolación por kriging, la interpolación por spline y el método de los vecinos más cercanos ponderados. Estos métodos pueden proporcionar resultados más precisos al considerar la estructura y distribución de los datos.
Validación y verificación de los resultados: Es importante validar y verificar los resultados de la interpolación utilizando datos adicionales o comparándolos con mediciones de campo. Esto ayuda a evaluar la precisión de los resultados y detectar posibles errores o sesgos en la interpolación.
Al implementar estas soluciones, se puede mejorar la interpolación de datos topográficos para la visualización y el análisis de sistemas gráficos en ingeniería del terreno, lo
que permite una representación más precisa y detallada del terreno y una mejor toma de decisiones en proyectos de ingeniería relacionados con el terreno.
La interpolación y reconstrucción de bases de datos de leyes de cobre utilizando redes neuronales artificiales de base radial (RBF, por sus siglas en inglés) y geoestadística puede presentar desafíos en la industria minera. La obtención de datos precisos y confiables de las leyes de cobre es crucial para la planificación y operación eficiente de las minas. Sin embargo, existen problemas inherentes al proceso de interpolación y reconstrucción de datos que pueden afectar la calidad y exactitud de los resultados.
Uno de los problemas es la falta de datos en áreas específicas de la mina. Las bases de datos de leyes de cobre a menudo tienen brechas o espacios vacíos debido a la falta de muestras en ciertas zonas. Esto puede llevar a errores en la interpolación y a una representación inexacta de las leyes de cobre en esas áreas.
Además, la variabilidad espacial de las leyes de cobre puede ser compleja y difícil de modelar. Las relaciones espaciales y las correlaciones entre los puntos de muestreo pueden ser difíciles de capturar y reflejar en los modelos de interpolación. Esto puede llevar a estimaciones inexactas y errores en la reconstrucción de las bases de datos de leyes de cobre.
Para abordar los desafíos mencionados en la interpolación y reconstrucción de bases de datos de leyes de cobre, se pueden implementar las siguientes soluciones:
Recopilación adicional de datos: Se debe realizar un esfuerzo para recopilar más datos en áreas con brechas o espacios vacíos en la base de datos de leyes de cobre. Esto implica la recolección de muestras adicionales y la incorporación de datos de exploración geológica en esas áreas. Cuanta más información se tenga, más precisa será la interpolación y reconstrucción de las leyes de cobre.
Selección adecuada de parámetros: Tanto en las redes neuronales artificiales de base radial como en los métodos geoestadísticos, es importante seleccionar los parámetros adecuados para el proceso de interpolación y reconstrucción. Estos parámetros incluyen la elección del número de neuronas en la RBF, los parámetros de variograma en la geoestadística, entre otros. La optimización de estos parámetros puede mejorar la precisión de los resultados.
Integración de técnicas: En lugar de depender exclusivamente de una técnica de interpolación, se puede considerar la integración de diferentes métodos. Esto implica combinar las redes neuronales artificiales de base radial con técnicas geoestadísticas para aprovechar las fortalezas de cada enfoque. La combinación de métodos puede proporcionar estimaciones más precisas y robustas de las leyes de cobre.
Al implementar estas soluciones, se puede mejorar la interpolación y reconstrucción de bases de datos de leyes de cobre, lo que lleva a una mejor planificación y operación de las minas y a una toma de decisiones más precisa en la industria minera.
Dado el siguiente conjunto de puntos: (1, 3), (2, 4), (4, 2)
library(knitr)
# Datos
datos <- data.frame(x = c(1, 2, 4),
y = c(3, 4, 2))
# Crear tabla
kable(datos, format = "pipe", caption = "Datos (x, y)")| x | y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 4 | 2 |
Queremos encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange que pase por estos puntos.
El polinomio de interpolación de Lagrange se calcula utilizando la siguiente fórmula general: \[ P(x) = \sum_{i} (y_i \cdot L_i(x)) \]
Donde \(y_i\) son las coordenadas y \(L_i(x)\) son los polinomios de Lagrange.
Los polinomios de Lagrange se calculan utilizando las siguientes fórmulas:
\[ L_1(x) = \frac{{(x - x_2) \cdot (x - x_3)}}{{(x_1 - x_2) \cdot (x_1 - x_3)}} \] \[ L_2(x) = \frac{{(x - x_1) \cdot (x - x_3)}}{{(x_2 - x_1) \cdot (x_2 - x_3)}} \] \[ L_3(x) = \frac{{(x - x_1) \cdot (x - x_2)}}{{(x_3 - x_1) \cdot (x_3 - x_2)}} \]
Sustituyendo los valores en las fórmulas:
\[ L_1(x) = \frac{{(x - 2) \cdot (x - 4)}}{{(1 - 2) \cdot (1 - 4)}} = \frac{{-(x^2 - 6x + 8)}}{3} \] \[ L_2(x) = \frac{{(x - 1) \cdot (x - 4)}}{{(2 - 1) \cdot (2 - 4)}} = \frac{{x^2 - 5x + 4}}{2} \] \[ L_3(x) = \frac{{(x - 1) \cdot (x - 2)}}{{(4 - 1) \cdot (4 - 2)}} = \frac{{-(x^2 - 3x + 2)}}{6} \]
Finalmente, el polinomio de interpolación es:
\[ P(x) = 3 \cdot L_1(x) + 4 \cdot L_2(x) + 2 \cdot L_3(x) \] \[ P(x) = 3 \cdot \left(\frac{{-(x^2 - 6x + 8)}}{3}\right) + 4 \cdot \left(\frac{{x^2 - 5x + 4}}{2}\right) + 2 \cdot \left(\frac{{-(x^2 - 3x + 2)}}{6}\right) \] \[ P(x) = -x^2 + 4x + 2 \]
Por lo tanto, el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por los puntos dados es \(P(x) = -x^2 + 4x + 2\).
Dado el siguiente conjunto de puntos: (0, 1), (2, 3), (4, 5), (6, 7), encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange.
# Datos
datos <- data.frame(x = c(0, 2, 4, 6),
y = c(1, 3, 5, 7))
# Crear tabla
kable(datos, format = "pipe", caption = "Datos (x, y)")| x | y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 2 | 3 |
| 4 | 5 |
| 6 | 7 |
Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, podemos calcular los polinomios de Lagrange correspondientes y luego combinarlos:
\[ L_1(x) = \frac{{(x - 2) \cdot (x - 4) \cdot (x - 6)}}{{(0 - 2) \cdot (0 - 4) \cdot (0 - 6)}} = -x^3 + 6x^2 - 8x + 4 \] \[ L_2(x) = \frac{{(x - 0) \cdot (x - 4) \cdot (x - 6)}}{{(2 - 0) \cdot (2 - 4) \cdot (2 - 6)}} = x^3 - 10x^2 + 24x - 12 \] \[ L_3(x) = \frac{{(x - 0) \cdot (x - 2) \cdot (x - 6)}}{{(4 - 0) \cdot (4 - 2) \cdot (4 - 6)}} = -x^3 + 8x^2 - 12x + 4 \] \[ L_4(x) = \frac{{(x - 0) \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)}}{{(6 - 0) \cdot (6 - 2) \cdot (6 - 4)}} = x^3 - 6x^2 + 8x \]
El polinomio de interpolación es:
\[ P(x) = 1 \cdot L_1(x) + 3 \cdot L_2(x) + 5 \cdot L_3(x) + 7 \cdot L_4(x) \] \[ P(x) = -x^3 + 6x^2 - 8x + 4 + 3 \cdot (x^3 - 10x^2 + 24x - 12) + 5 \cdot (-x^3 + 8x^2 - 12x + 4) + 7 \cdot (x^3 - 6x^2 + 8x) \] \[ P(x) = -3x^3 + 30x^2 - 61x + 26 \]
Por lo tanto, el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por los puntos dados es \(P(x) = -3x^3 + 30x^2 - 61x + 26\).
Dado el siguiente conjunto de puntos: (1, 1), (2, 8), (3, 27), (4, 64), encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange.
# Datos
datos <- data.frame(x = c(1, 2, 3, 4),
y = c(1, 8, 27, 64))
# Crear tabla
kable(datos, format = "pipe", caption = "Datos (x, y)")| x | y |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
Siguiendo el mismo procedimiento que en los ejercicios anteriores, calculamos los polinomios de Lagrange correspondientes y luego los combinamos:
\[ L_1(x) = \frac{{(x - 2) * (x - 3) * (x - 4)}}{{(1 - 2) * (1 - 3) * (1 - 4)}} = x^3 - 9x^2 + 23x - 14 \] \[ L_2(x) = \frac{{(x - 1) * (x - 3) * (x - 4)}}{{(2 - 1) * (2 - 3) * (2 - 4)}} = -3x^3 + 19x^2 - 34x + 12 \] \[ L_3(x) = \frac{{(x - 1) * (x - 2) * (x - 4)}}{{(3 - 1) * (3 - 2) * (3 - 4)}} = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 8 \] \[ L_4(x) = \frac{{(x - 1) * (x - 2) * (x - 3)}}{{(4 - 1) * (4 - 2) * (4 - 3)}} = -x^3 + 6x^2 - 11x + 6 \]
El polinomio de interpolación es:
\[ P(x) = 1 * L_1(x) + 8 * L_2(x) + 27 * L_3(x) + 64 * L_4(x) \] \[ P(x) = (x^3 - 9x^2 + 23x - 14) + 8 * (-3x^3 + 19x^2 - 34x + 12) + 27 * (3x^3 - 18x^2 + 27x - 8) + 64 * (-x^3 + 6x^2 - 11x + 6) \] \[ P(x) = -2x^3 + 15x^2 - 30x + 16 \]
Por lo tanto, el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por los puntos dados es \(P(x) = -2x^3 + 15x^2 - 30x + 16\).
Dado el conjunto de puntos (x, y): (1, 2) (3, 6) (5, 12)
Encuentra el polinomio interpolante de Newton.
# Datos
datos <- data.frame(x = c(1, 3, 5),
y = c(2, 6, 12))
# Crear tabla
kable(datos, format = "pipe", caption = "Datos (x, y)")| x | y |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 3 | 6 |
| 5 | 12 |
Primero, vamos a calcular las diferencias divididas:
\(f[x_0] = 2\)
\(f[x_1] = 6\)
\(f[x_2] = 12\)
\[f[x_0, x_1] = \frac{{f[x_1] - f[x_0]}}{{x_1 - x_0}} = \frac{{6 - 2}}{{3 - 1}} = \frac{{4}}{{2}} = 2\]
\[f[x_1, x_2] = \frac{{f[x_2] - f[x_1]}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{12 - 6}}{{5 - 3}} = \frac{{6}}{{2}} = 3\]
\[f[x_0, x_1, x_2] = \frac{{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}}{{x_2 - x_0}} = \frac{{3 - 2}}{{5 - 1}} = \frac{{1}}{{4}} = 0.25\]
El polinomio interpolante de Newton es:
\[P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1)\]
\[P(x) = 2 + 2(x - 1) + 0.25(x - 1)(x - 3)\]
Dado el conjunto de puntos (x, y): (-1, 4) (0, 2) (2, 0) (3, -1)
Encuentra el polinomio interpolante de Newton.
# Datos
datos <- data.frame(x = c(-1, 0, 2, 3),
y = c(4, 2, 0, -1))
# Crear tabla
kable(datos, format = "pipe", caption = "Datos (x, y)")| x | y |
|---|---|
| -1 | 4 |
| 0 | 2 |
| 2 | 0 |
| 3 | -1 |
Las diferencias divididas son:
\(f[x_0] = 4\)
\(f[x_1] = 2\)
\(f[x_2] = 0\)
\(f[x_3] = -1\)
\[f[x_0, x_1] = \frac{{f[x_1] - f[x_0]}}{{x_1 - x_0}} = \frac{{2 - 4}}{{0 - (-1)}} = \frac{{-2}}{{1}} = -2\]
\[f[x_1, x_2] = \frac{{f[x_2] - f[x_1]}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{0 - 2}}{{2 - 0}} = \frac{{-2}}{{2}} = -1\]
\[f[x_2, x_3] = \frac{{f[x_3] - f[x_2]}}{{x_3 - x_2}} = \frac{{-1 - 0}}{{3 - 2}} = \frac{{-1}}{{1}} = -1\]
\[f[x_0, x_1, x_2] = \frac{{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}}{{x_2 - x_0}} = \frac{{-1 - (-2)}}{{2 - (-1)}} = \frac{{1}}{{3}} \approx 0.33\]
\[f[x_1, x_2, x_3] = \frac{{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}}{{x_3 - x_1}} = \frac{{-1 - (-1)}}{{3 - 0}} = \frac{{0}}{{3}} = 0\]
\[f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}}{{x_3 - x_0}} = \frac{{0 - 0.33}}{{3 - (-1)}} = \frac{{-0.33}}{{4}} \approx -0.083\]
El polinomio interpolante de Newton es:
\[P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)\]
\[P(x) = 4 - 2(x + 1) + 0.33(x + 1)x - 0.083(x + 1)x(x - 2)\]
Dado el conjunto de puntos (x, y): (-2, -3) (0, 1) (1, 0) (3, 10)
Encuentra el polinomio interpolante de Newton.
# Datos
datos <- data.frame(x = c(-2, 0, 1, 3),
y = c(-3, 1, 0, 10))
# Crear tabla
kable(datos, format = "pipe", caption = "Datos (x, y)")| x | y |
|---|---|
| -2 | -3 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 3 | 10 |
Las diferencias divididas son:
\(f[x_0] = -3\)
\(f[x_1] = 1\)
\(f[x_2] = 0\)
\(f[x_3] = 10\)
\[f[x_0, x_1] = \frac{{f[x_1] - f[x_0]}}{{x_1 - x_0}} = \frac{{1 - (-3)}}{{0 - (-2)}} = \frac{{4}}{{2}} = 2\]
\[f[x_1, x_2] = \frac{{f[x_2] - f[x_1]}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{0 - 1}}{{1 - 0}} = \frac{{-1}}{{1}} = -1\]
\[f[x_2, x_3] = \frac{{f[x_3] - f[x_2]}}{{x_3 - x_2}} = \frac{{10 - 0}}{{3 - 1}} = \frac{{10}}{{2}} = 5\]
\[f[x_0, x_1, x_2] = \frac{{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}}{{x_2 - x_0}} = \frac{{-1 - 2}}{{1 - (-2)}} = \frac{{-3}}{{3}} = -1\]
\[f[x_1, x_2, x_3] = \frac{{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}}{{x_3 - x_1}} = \frac{{5 - (-1)}}{{3 - 0}} = \frac{{6}}{{3}} = 2\]
\[f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}}{{x_3 - x_0}} = \frac{{2 - (-1)}}{{3 - (-2)}} = \frac{{3}}{{5}} = 0.6\]
El polinomio interpolante de Newton es:
\[P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)\]
\[P(x) = -3 + 2(x + 2) - 1(x + 2)x + 0.6(x + 2)x(x - 1)\]
# Definir la función de interpolación de Lagrange
lagrange_interpolacion <- function(x, y, xi) {
n <- length(x) # Número de puntos de datos
ni <- length(xi) # Número de puntos donde se desea interpolar
# Inicializar el vector de resultados
yi <- numeric(ni)
# Calcular la interpolación de Lagrange para cada punto xi
for (j in 1:ni) {
for (i in 1:n) {
L <- 1
for (k in 1:n) {
if (k != i) {
L <- L * (xi[j] - x[k]) / (x[i] - x[k])
}
}
yi[j] <- yi[j] + y[i] * L
}
}
return(yi)
}
# Ejemplo de uso
x <- c(0, 2, 4, 6) # Puntos x de datos
y <- c(1, 3, 5, 7) # Puntos y de datos
xi <- c(3, 5) # Puntos donde se desea interpolar
# Realizar la interpolación de Lagrange
yi <- lagrange_interpolacion(x, y, xi)
# Imprimir los resultados
print(yi)## [1] 4 6# Definir la función de interpolación de Newton
newton_interpolation <- function(x, y, xi) {
n <- length(x) # Número de puntos de datos
ni <- length(xi) # Número de puntos donde se desea interpolar
# Calcular las diferencias divididas
divided_diff <- matrix(0, n, n)
divided_diff[, 1] <- y
for (j in 2:n) {
for (i in j:n) {
divided_diff[i, j] <- (divided_diff[i, j - 1] - divided_diff[i - 1, j - 1]) / (x[i] - x[i - j + 1])
}
}
# Inicializar el vector de resultados
yi <- numeric(ni)
# Calcular la interpolación de Newton para cada punto xi
for (j in 1:ni) {
term <- 1
for (i in 1:n) {
yi[j] <- yi[j] + divided_diff[i, i] * term
term <- term * (xi[j] - x[i])
}
}
return(yi)
}
# Ejemplo de uso
x <- c(1, 2, 4, 5) # Puntos x de datos
y <- c(3, 1, 6, 4) # Puntos y de datos
xi <- c(2.5, 3.5) # Puntos donde se desea interpolar
# Realizar la interpolación de Newton
yi <- newton_interpolation(x, y, xi)
# Imprimir los resultados
print(yi)## [1] 1.96875 5.03125Rosas, C., Javier, J., Cárdenas, G., Pinilla, M.E., Damián, M.V., Moreno, S., Tovar Pérez, A., y Hugo, V. (s.f.). Interpolación con incrementos variables: Polinomio de Lagrange. Unam.mx [en línea]. [Consulta: 5 julio 2023]. Disponible en: https://www.ingenieria.unam.mx/pinilla/PE105117/pdfs/tema4/4-1_lagrange.pdf.
PINZÓN, W., WILSON, C. y THIRIAT, G., [sin fecha]. ALGUNOS METODOS PARA OBTENER POLINOMIOS DE INTERPOLACION. Edu.co [en línea]. [consulta: 5 julio 2023]. Disponible en: http://funes.uniandes.edu.co/5614/1/Pinz%C3%B3nAlgunosGeometr%C3%ADa2008.PDF.
HERNÁNDEZ, H., MUÑOZ, G. y BUENDÍA, G., 2007. La modelación matemática en el contexto de ingeniería civil a través de la interpolación y la predicción. En: C.R. CRESPO (ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Camagüey, Cuba: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C, pp. 768. vol. 20. ISBN 9789709971132.
MENÉNDEZ DÍAZ, A., 1992. Caracterización de un sistema gráfico orientado a la ingeniería del terreno. S.l.: Universidad de Oviedo.
PATETE, A. y MILLÁN, J.R., 2011. Los mímicos computacionales: una herramienta docente para la enseñanza de la ingeniería de control. Acción Pedagógica [en línea], vol. 20, no. 1, [consulta: 5 julio 2023]. ISSN 1315-401X. Disponible en: https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=6222149.
LÓPEZ CASTILLO, C., 2016. Técnicas de interpolación de alto grado en ingeniería estructural. S.l.: UCrea Repositorio abierto de la Universidad de Cantabria.
Org.bo [en línea], [sin fecha]. [consulta: 5 julio 2023]. Disponible en: http://www.scielo.org.bo/scielo.php?pid=S2519-53522018000200005&script=sci_arttext.