OBJETIVOS

Hallar las diversas aplicaciones de los métodos de interpolación de Newton y Lagrange en la práctica. Puedes investigar ejemplos de campos como la física, la ingeniería, las ciencias de la computación o la economía, donde la interpolación juega un papel importante.

DEFINICIONES

Interpolacón

La interpolacion es un metodo para encontra valores intermedios entre valores definidos por un punto. El método más frecuente de interpolacion, es la interpolación polinomica donde su fórmula general de n-ésimo grado es:

\[ f(x)= a_{0}+a_{i}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n \]

Dados n+1 puntos, hay un solo polinomio de grado n-esimo que recorre todos los demás puntos. Asi mismo la interpolacion polinomial busca el polinimio específico de grado n_esimo que satisface a n+1 puntos.

Interpolación de Newton

Existen dos tipos de interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas.

Interpolacion Polinomial Lineal.

Esta interpolacion consiste en unir dos puntos en una sola linea recta. Estableciendo Triángulos casi parecidos.

\[ \frac{f_{1}(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} \]

despejando se obtiene:

\[ f_{1}(x)=f(x_{0})+ \frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0}) \] Al realizar el despeje obtenermos una formula para la interpolación lineal.El cual es un polinomio de primer grado. donde $ [f(x_{1})-f(x_{0})]/(x_{1}-x_{0}) $ es una aproximación en diferencias finita.

Interpolacion Polinomial Cuadrática.

Consiste en introducir alguna curvatura en la linea que une los puntos para mejorara la estimación. La interpolacion polinomial cuadrática es desde un segundo grado. Donde

\[ f_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2 \] Por conseguiente:

\[ a_{0}=b_{0}-b_{1}x_{0}+b_{2}x_{0}x_{1} \] \[ a_{1}=b_{1}-b_{2}x_{0}-b_{2}x_{1} \] \[ a_{2}=b_{2} \] Las ecuanciones son equivalentes al polinomio de segundo grado que une dichos puntos.

Para encontrar los valores de coeficientes de \(b_{0}\), en la ecuación principal y elavluamos con \(x=x_{0}\) y obtenemos

\[ b_{0}=f(x_{0}) \] Para \(b_{1}\) susutituimos \(b_{0}\) en la ecuación principal y luego se evalúa en \(x=x_{1}\)

\[ b_{1}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}\]

Para \(b_{2}\) sustituimos \(b_{0}\) y \(b_{1}\) y nuevamente sustituimos en la ecuacion principal posterior a ello evaluamos en \(x=x_{2}\)

\[ b_{2}=\frac{\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}-\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}{x_{2}-x_{0}} \]

Forma General de la Interpolacion de Newton

para encontra un polinomio de enesimo grado a n+1 valores. El polinomio es:

\[ f_{n}(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+...+b_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n-1}) \]

Para un polinomo de n- esimo grado se requiere n+1 puntos: \[ [x_{0},f(x_{0})],[x_{1},f(x_{1})],...,[x_{n},f(x_{n})] \] y las siguientes ecuaciones:

\[ b_{0}=f(x_{0}) \] \[ b_{1}=f[x_{1},x_{0}] \] \[ b_{2}=f[x_{2},x_{1},x_{0}] \] . . .

\[ b_{n}=f[x_{n},x_{n-1},...,x_{1},x_{0}] \] La forma general a la n-esima diferencia dividida finita es:

\[ f[x_{n},x_{n-1},...,x_{1},x_{0}]=\frac{f[x_{n},x_{n-1},...,x_{1}]-f[x_{n},x_{n-1},...,x_{0}]}{x_{n}-x_{0}} \]

Errores en la interpolacion de Taylor

Como en las series de Taylor, para un polinomio de interpolación de n-esimo grado se puede encontrar expresión para el error:

\[ R_{n}=\frac{f^(n+1)(\xi )}{(n-1)!}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n}) \] donde $ $ está dentro de la incognita en algún sitio del intervalo. Para que la fórmula funcione, la función actual debe ser conocida y diferenciable.

Utilizando diferencias divididas finitas para aproximar (n+1)-esima derivada.

\[ R_{n}= f[x,x_{n},x_{n-1},...,x_{0}](x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n}) \] donde:

\[ f[x,x_{n},x_{n-1},...,x_{0}] \] es la (n+1)-esima diferencia dividida.

Si se tiene un dato mas, \(f(x_{n-1})\), la ecuacion resultante es:

\[ R_{n}= f[x_{n+1},x_{n},x_{n-1},...,x_{0}](x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n}) \] ## Interpolación de Lagranje

El polinomio de lagrange se obtiene a partir de la formulacion del metodo de Newton. Donde ya no nesesita de diferencias divididas.

Por ejemplo partimos de la primera diferencia dividida

\[ f[x_{1},x_{0}]=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} \] reformulando obtebenos la forma simétrica:

\[ f[x_{1},x_{0}]= \frac{f(x_{1})}{x_{1}-x_{0}}- \frac{f(x_{0})}{x_{0}-x_{1}} \]

AL sustituir la ecuación en la formula de la interpolacion lineal se obtiene:

\[ f_{1}(x)=f(x_{0})+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}f(x_{1})+\frac{x-x_{0}}{x_{0}-x_{1}}f(x_{0}) \] Al Factorizamos y simplificamos obtenemos el polinomio de lagrange.

\[ f_{1}(x)= \frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}f(x_{0})+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}f(x_{1}) \] El polinomio de Lagrange se representa de la siguiente manera.

\[ f_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}L_{i}(x)f(x_{1}) \] donde:

\[ L_{i}(x)=\prod_{\binom{i=0}{j\neq i}}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} \]

Método mejorado de Lagrange

Se busca un polinomio que sigua por cada uno de los puntos de la tabla. Si hay n puntos el polinomio sera de grado n-1.

Cuando hay 2 puntos

\[ P(x) = a_{0}(x-x_{1})+a_{1}(x-x_{0}) \] \[ a_{0}=\frac{y_{0}}{(x_{0}-x_{1})} \] \[ a_{1}=\frac{y_{1}}{(x_{1}-x_{0})} \]

Cuando hay 3 puntos:

\[ P(x)= a_{0}(x-x_{1})(x-x_{2})+a_{1}(x-x_{0})(x-x_{2})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) \]

\[ a_{0}=\frac{y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})} \] \[ a_{1}=\frac{y_{1}}{(x_{1}-x_{0})(x_{0}-x_{2})} \] \[ a_{2}=\frac{y_{2}}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})} \] # APLICACIONES

Ingeniería Agronoma

Permite observar aspectos relevantes en el ritmo cardiaco de las plantas. Este aspecto muestra información sobre los genes relacionados con el crecimiento. La interpolacion de Lagrange permite establecer si un grupo de puntos representa un ritmo cardiaco.

El polinomio de lagrange al tener un único polinomio de grado n-1 y su función polinómica puede pasar por muchas curvas y pasar por todos los puntos, muestra desplazamientos anormales de un punto que alerta de un movimiento irregular en las hojas de las plantas.

Ingeniería Electrónica

Análisis dinámico de la estabilidad usando interpolación de alto orden. Se utiliza para el análisis del margen de estabilidad transitoria en sistemas eléctricos de potencia multi-máquinas. Para evaluar las condiciones críticas de estabilidad dinámica, la técnica propuesta combina los métodos de interpolación de Lagrange con el de diferencias divididas de Newton, el resultado de la combinación es un método de interpolación de alto orden con el que obtendremos parámetros críticos medibles de un sistema multi-máquina usando una técnica no lineal.

Industria Maderera

El metodo de Newton permite cuantifica el volumen del árbol donde los datos son el diametro a una altura dada y la altura como parámetro, a mas a ello se utiliza para calcular el columen comercial de la plantacion.

Metereología

Se los utiliza para obtener valores aproximados de las variables metereológicas de acuerdo a los datos obtenidos de estaciones ubicadas en ciertos puntos.

Metereologia

ESPOCH- FACULTAD DE CIENCIAS diseñó un modelo polinomial de interpolación de datos de velocidad de viento y radiación solar utilizando la aproximación Polinómica de Newton y laproximación Polinómica de Lagrange, para la completación de valores faltantes de la estaciómeteorológica de la ESPOCH durante el período enero 2012- enero 2013.

CASOS DE ESTUDIO

1.- Análisis Financiero: Mediante datos históricos podemos tabular el comportamiento del mercado y ver aproximar o ver el futo que el mercado puede tener.

2.- Aclaramiento de Imagenes: Sabemos que las imagenes son un conjunto de pixeles y en sierto casos necesitos aclarar una imagen. Con el método de interpolacion podemos rellenar los pixeles que que no tengan informacion o aclarar la informacion borrosa de dicho pixel.

3.- Predicciones Futbolísticas: Mediante la los metodos de interpolacion podemos predecir en sierta parte el rumbo que tomará un partido de fútbol. Esto tomando en cuenta sierto factores.

EJERCICOS RESUELTOS

Metodo de Newton

Metodo de newton
Metodo de newton
Metodo de newton
Metodo de newton

Metodo de Lagrange

Metodo de lagrange
Metodo de lagrange
Metodo de lagrange
Metodo de lagrange

SCRIPS O CODIGO EN R

Método de Newton.

# Función de diferencias divididas de orden k
dif_divididas <- function(x, y, k) {
  n <- length(x)
  f <- matrix(0, n, n)
  f[, 1] <- y
  
  for (j in 2:n) {
    for (i in 1:(n - j + 1)) {
      f[i, j] <- (f[i + 1, j - 1] - f[i, j - 1]) / (x[i + j - 1] - x[i])
    }
  }
  
  return(f[1, k])
}

# Función para calcular el polinomio de interpolación de Newton
p_newton <- function(x, y, xi) {
  n <- length(x)
  fxi <- y[1]  # valor del polinomio interpolado con el primer punto
  
  for (i in 2:n) {
    prd <- 1  #  producto de diferencias (x - x_j)
    for (j in 1:(i - 1)) {
      prd <- prd * (xi - x[j])
    }
    fxi <- fxi + dif_divididas(x[1:i], y[1:i], i) * prd
  }
  
  return(fxi)
}

# Aplicacion 
x <- c(-1, 1, 2, 4, 5)  
y <- c(2, 2, 6, 23, 40)  

xi <- 0  # Valor de x para interpolar

# Calcula el polinomio de interpolación de Newton y obtiene el valor interpolado
resultado <- p_newton(x, y, xi)

# Imprime los valores conocidos y el valor interpolado
cat("Valores conocidos:")
## Valores conocidos:
for (i in 1:length(x)) {
  cat("(", x[i], ",", y[i], ")\n")
}
## ( -1 , 2 )
## ( 1 , 2 )
## ( 2 , 6 )
## ( 4 , 23 )
## ( 5 , 40 )
cat("El valor interpolado en x =", xi, "es:", resultado)
## El valor interpolado en x = 0 es: 0.3333333

Método de lagrange

# Algoritmo método de Lagrange
# Entrada:
#   - x: vector de puntos x
#   - y: vector de puntos y 
#   - xi: punto en el que se desea interpolar
# Salida:
#   - yi: respecto al punto xi
lagrange <- function(x, y, xi) {
  n <- length(x)  # longitud de los puntos
  yi <- 0  # punto inicial xi
  
  # Iterar para cada punto 
  for (i in 1:n) {
    L <- 1  # conatdor para el polinomio de Lagrange para cada punto i
    
    # Calculamos 
    for (j in 1:n) {
      if (j != i) {
        L <- L * (xi - x[j]) / (x[i] - x[j])
      }
    }
    
    # Añadir el término correspondiente al valor interpolado
    yi <- yi + y[i] * L
  }
  
  return(yi)
}

# Ejemplo de uso

x <- c(0, 2, 3)
y <- c(-2, 5, 9)
# Punto para la  interpolacion 
xi <- 1

# interpolar usando el método de Lagrange
inter_eVal <- lagrange(x, y, xi)

# mostrar resultado. 
print(paste("El valor interpolado en", xi, "es", inter_eVal))
## [1] "El valor interpolado en 1 es 1.33333333333333"

BIBLIOGRAFÍA

CHAPRA, Steven C., et al. Métodos numéricos para ingenieros. New York, NY, USA: McGraw-Hill, 2011.

MOYA, Fabian Fallas, et al. Interpolación de Lagrange para el Análisis del Ritmo Circadiano en Plantas. Tecnología Vital, 2019, vol. 2, no 6.

PACHECO-MARTÍNEZ, NANCY JACQUELINE; JUAREZ-TOLEDO, CARLOS; MARTINEZ-CARRILLO, I. R. M. A. Análisis dinámico de la estabilidad usando interpolación de alto orden. Ingeniería, investigación y tecnología, 2012, vol. 13, no 4, p. 451-460.

VALENZUELA CASTILLO, Carlos Manfried, et al. Funciones de volumen fustal y biomasa aérea total y de componentes a nivel de árbol individual para renovales de roble, raulí y coigüe. 2017.

ELIZONDO, Fernando Ureña. Utilización de estaciones meteorológicas automáticas como nueva alternativa para el registro y transmisión de datos. Posgrado y Sociedad Revista Electrónica del Sistema de Estudios de Posgrado, 2011, vol. 11, no 1, p. 33-49.

VILLAMARÍN PADILLA, Jenny Margoth. Modelo polinomial para interpolación de datos de velocidad de viento y radiación solar de la Estación Meteorológica de la Facultad de Ciencias de la ESPOCH. 2017.