INTERPOLACION
STANISLAO IZA
2023-07-05
OBJETIVO
Analizar y comparar los métodos de interpolación de Newton y Lagrange examinando en detalle los dos métodos de interpolación y proporcionar una comparación exhaustiva entre ellos. Al comprender las características y diferencias de ambos métodos podremos apreciar mejor cuándo y cómo aplicar cada uno en diferentes métodos.
DEFINICIONES
Interpolación
Es un método para hallar puntos intermedios entre valores establecidos por un punto. La interpolacion polinomica tiene como fórmula la siguiente:
\[ f(x)= a_{0}+a_{i}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n \]
Interpolacion de lagrange
La interpolación de Lagrange es un método utilizado para aproximar una función desconocida a partir de un conjunto de puntos conocidos. Es un método de interpolación polinómica donde busca hallar un polinomio que pase justamente por los puntos dados. El método de interpolación de Lagrange utiliza un polinomio llamado polinomio de Lagrange, que se construye de la siguiente manera:
\[ f_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}L_{i}(x)f(x_{1}) \] donde:
\[ L_{i}(x)=\prod_{\binom{i=0}{j\neq i}}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} \]
\[ f_{1}(x)= \frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}f(x_{0})+\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}f(x_{1}) \]
Método mejorado de lagranje
Se busca un polinomio que sigua por cada uno de los puntos establecidos en la tabla. Si hay n puntos el polinomio sera de grado n-1 o menor.
Cuando hay 2 puntos
\[ P(x) = a_{0}(x-x_{1})+a_{1}(x-x_{0}) \] \[ a_{0}=\frac{y_{0}}{(x_{0}-x_{1})} \] \[ a_{1}=\frac{y_{1}}{(x_{1}-x_{0})} \]
Cuando hay 3 puntos:
\[ P(x)= a_{0}(x-x_{1})(x-x_{2})+a_{1}(x-x_{0})(x-x_{2})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) \]
\[ a_{0}=\frac{y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})} \] \[ a_{1}=\frac{y_{1}}{(x_{1}-x_{0})(x_{0}-x_{2})} \] \[ a_{2}=\frac{y_{2}}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})} \]
INTERPOLACION DE NEWTON
Existen dos tipos de interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas.
Interpolacion Polinomial Lineal.
Esta interpolacion consiste en unir dos puntos en una sola linea recta. Estableciendo Triángulos casi parecidos.
\[ \frac{f_{1}(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} \]
despejando se obtiene:
\[ f_{1}(x)=f(x_{0})+ \frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0}) \] Al realizar el despeje obtenermos una formula para la interpolación lineal.El cual es un polinomio de primer grado. donde:
\[ [f(x_{1})-f(x_{0})]/(x_{1}-x_{0}) \]
es una aproximación en diferencias finita.
Interpolacion Polinomial Cuadrática.
Consiste en introducir alguna curvatura en la linea que une los puntos para mejorara la estimación. La interpolacion polinomial cuadrática es desde un segundo grado. Donde
\[ f_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2 \] Por conseguiente:
\[ a_{0}=b_{0}-b_{1}x_{0}+b_{2}x_{0}x_{1} \] \[ a_{1}=b_{1}-b_{2}x_{0}-b_{2}x_{1} \] \[ a_{2}=b_{2} \] Las ecuanciones son equivalentes al polinomio de segundo grado que une dichos puntos.
Para encontrar los valores de coeficientes de \(b_{0}\), en la ecuación principal y elavluamos con \(x=x_{0}\) y obtenemos
\[ b_{0}=f(x_{0}) \] Para \(b_{1}\) susutituimos \(b_{0}\) en la ecuación principal y luego se evalúa en \(x=x_{1}\)
\[ b_{1}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}\]
Para \(b_{2}\) sustituimos \(b_{0}\) y \(b_{1}\) y nuevamente sustituimos en la ecuacion principal posterior a ello evaluamos en \(x=x_{2}\)
\[ b_{2}=\frac{\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}-\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}{x_{2}-x_{0}} \]
Forma General de la Interpolacion de Newton
para encontra un polinomio de enesimo grado a n+1 valores. El polinomio es:
\[ f_{n}(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+...+b_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n-1}) \]
Para un polinomo de n- esimo grado se requiere n+1 puntos:
\[ [x_{0},f(x_{0})],[x_{1},f(x_{1})],...,[x_{n},f(x_{n})] \]
y las siguientes ecuaciones:
\[ b_{0}=f(x_{0}) \] \[ b_{1}=f[x_{1},x_{0}] \] \[ b_{2}=f[x_{2},x_{1},x_{0}] \] . . .
\[ b_{n}=f[x_{n},x_{n-1},...,x_{1},x_{0}] \]
La forma general a la n-esima diferencia dividida finita es:
\[ f[x_{n},x_{n-1},...,x_{1},x_{0}]=\frac{f[x_{n},x_{n-1},...,x_{1}]-f[x_{n},x_{n-1},...,x_{0}]}{x_{n}-x_{0}} \]
Errores en la interpolacion
Como en las series de Taylor, para un polinomio de interpolación de n-esimo grado se puede encontrar expresión para el error:
\[ R_{n}=\frac{f^(n+1)(\xi )}{(n-1)!}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n}) \]
donde $ $ está dentro de la incognita en algún sitio del intervalo. Para que la fórmula funcione, la función actual debe ser conocida y diferenciable.
Utilizando diferencias divididas finitas para aproximar (n+1)-esima derivada.
\[ R_{n}= f[x,x_{n},x_{n-1},...,x_{0}](x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n}) \]
donde:
\[ f[x,x_{n},x_{n-1},...,x_{0}] \]
es la (n+1)-esima diferencia dividida.
Si se tiene un dato mas, \(f(x_{n-1})\), la ecuacion resultante es:
\[ R_{n}= f[x_{n+1},x_{n},x_{n-1},...,x_{0}](x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n}) \]
APLICACIONES
Ingeniería Electrónica
Se utiliza para el análisis del margen de estabilidad transitoria en sistemas eléctricos de potencia multi-máquinas. Para evaluar las condiciones críticas de estabilidad dinámica, la técnica propuesta combina los métodos de interpolación de Lagrange con el de diferencias divididas de Newton, el resultado de la combinación es un método de interpolación de alto orden con el que obtendremos parámetros críticos medibles de un sistema multi-máquina usando una técnica no lineal.
Economía
Para elborar modelos matemáticos que expliquen y porporcionen pronosticos económicos que hay en dibersos mercado. Buscando relaciones entre las variables partiendo de datos conocidos.
Geografía
La interpolación polinómica se emplea en la estimación de las alturas niveladas de Costa Rica. Los Sistemas de Información Geográfica se utilizan para estimar estas alturas utilizando el modelo geoidal global EIGEN-6c4. Con el objetivo de obtener una superficie continua y tener en cuenta las alturas elipsoidales, a esto aplican métodos de interpolación en el cálculo de las alturas niveladas en Costa Rica.
Econometría
Observar el crecimiento procentual económico. Con la información recopilada, seremos capaces de realizar una aproximación polinómica que permita evaluar el crecimiento económico durante el período de estudio. Mediante las interpolaciones que llevaremos a cabo, analizaremos la efectividad de los métodos utilizados, teniendo en cuenta el comportamiento típico de los factores que influyen en el desarrollo económico.
Ingeniería Agronoma
Permite observar aspectos relevantes en el ritmo cardiaco de las plantas. Este aspecto muestra información sobre los genes relacionados con el crecimiento. La interpolacion de Lagrange permite establecer si un grupo de puntos representa un ritmo cardiaco.
El polinomio de lagrange al tener un único polinomio de grado n-1 y su función polinómica puede pasar por muchas curvas y pasar por todos los puntos, muestra desplazamientos anormales de un punto que alerta de un movimiento irregular en las hojas de las plantas.
Ingeniería en Sistemas
Métodos numéricos en diferencias finitas para la estimación de recursos de Hardware FPGA en arquitecturas LFSR(n,k) fractales
El enfoque utilizado implicó la discretización de las variables presentes en el informe de síntesis sobre hardware de los casos de estudio. A través del modelado matemático, interpolacion, se generaron ecuaciones descriptivas que permitieron validar las estrategias de optimización de los diseños utilizando un operador matemático con una estructura concurrente de realimentación lineal LFCS (n,k). Este operador se define mediante funciones compuestas con auto similitud. Como resultado, se obtuvo un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento del parámetro estimado, lo que facilita la evaluación del diseño en etapas anteriores y permite utilizar un elemento recursivo para determinar el consumo de recursos en función de este operador lógico-matemático.
CASOS DE ESTUDIO
1.- Procesamiento de señales.
Al utilizar técnicas de interpolacion podemos mejorar la calidad señales ya que puede haber puntos en los que no hayan datos y debamos rellenarlos asi podremos ajustar las frecuencias de dichas señales.
2.- Calculo de valores fatantes en ecuestas.
Se aplica al rellenar valores faltantes y respuestas en donde no se completo adecuadamente. La interpolacion aydaria a porporcionar datos aproximados apartir de las respuestas ya proporcionadas.
3.- Precios de productos.
En el ámbito del comercio minorista, la interpolación se utiliza para determinar los precios de los productos en ubicaciones o momentos específicos donde no se dispone de datos exactos. Esto es útil para establecer precios coherentes en diferentes sucursales o en diferentes períodos de tiempo, permitiendo una gestión más eficiente de inventarios y ventas.
EJERCICOS RESUELTOS
Metodo de lagrange
(with=10%)
(with=10%)
Metodo de Newton
(with=10%)
(with=10%)
SCRIPS O CODIGO EN R
Método de lagrange
# Algoritmo método de Lagrange
# Entrada:
# - x: vector de puntos x
# - y: vector de puntos y
# - xi: punto en el que se desea interpolar
# Salida:
# - yi: respecto al punto xi
lagrangeInterpolation <- function(x, y, xi) {
n <- length(x) # longitud de los puntos
yi <- 0 # punto inicial xi
# Iterar para cada punto
for (i in 1:n) {
L <- 1 # conatdor para el polinomio de Lagrange para cada punto i
# Calculamos
for (j in 1:n) {
if (j != i) {
L <- L * (xi - x[j]) / (x[i] - x[j])
}
}
# Añadir el término correspondiente al valor interpolado
yi <- yi + y[i] * L
}
return(yi)
}
# Ejemplo de uso
x <- c(1, 2, 4)
y <- c(3, 1, 6)
# Punto para la interpolacion
xi <- 3.5
# interpolar usando el método de Lagrange
interpolatedValue <- lagrangeInterpolation(x, y, xi)
# mostrar resultado.
print(paste("El valor interpolado en", xi, "es", interpolatedValue))## [1] "El valor interpolado en 3.5 es 3.625"Método de Newton.
# Función de diferencias divididas de orden k
dif_divididas <- function(x, y, k) {
n <- length(x)
f <- matrix(0, n, n)
f[, 1] <- y
for (j in 2:n) {
for (i in 1:(n - j + 1)) {
f[i, j] <- (f[i + 1, j - 1] - f[i, j - 1]) / (x[i + j - 1] - x[i])
}
}
return(f[1, k])
}
# Función para calcular el polinomio de interpolación de Newton
p_newton <- function(x, y, xi) {
n <- length(x)
fxi <- y[1] # valor del polinomio interpolado con el primer punto
for (i in 2:n) {
prd <- 1 # producto de diferencias (x - x_j)
for (j in 1:(i - 1)) {
prd <- prd * (xi - x[j])
}
fxi <- fxi + dif_divididas(x[1:i], y[1:i], i) * prd
}
return(fxi)
}
# Aplicacion
x <- c(0, 1, 2, 4, 5)
y <- c(2, 2, 6, 23, 40)
xi <- 3 # Valor de x para interpolar
# Calcula el polinomio de interpolación de Newton y obtiene el valor interpolado
resultado <- p_newton(x, y, xi)
# Imprime los valores conocidos y el valor interpolado
cat("Valores conocidos:")## Valores conocidos:for (i in 1:length(x)) {
cat("(", x[i], ",", y[i], ")\n")
}## ( 0 , 2 )
## ( 1 , 2 )
## ( 2 , 6 )
## ( 4 , 23 )
## ( 5 , 40 )cat("------------------------------\n")## ------------------------------cat("El valor interpolado en x =", xi, "es:", resultado)## El valor interpolado en x = 3 es: 12.7BIBLIOGRAFIA
CHAPRA, Steven C., et al. Métodos numéricos para ingenieros. New York, NY, USA: McGraw-Hill, 2011.
MOYA, Fabian Fallas, et al. Interpolación de Lagrange para el Análisis del Ritmo Circadiano en Plantas. Tecnología Vital, 2019, vol. 2, no 6.
BASTOS GUTIÉRREZ, Sara. Aplicación de modelos de interpolación dentro de un sistemas de información Geográfica para la estimación de alturas niveladas en Costa Rica. 2018.
BASTOS GUTIÉRREZ, Sara. Aplicación de modelos de interpolación dentro de un sistemas de información Geográfica para la estimación de alturas niveladas en Costa Rica. 2018.
RONQUILLO, Shirley Carolina Segura; RONQUILLO, Erika Alexandra Segura. Las recaudaciones tributarias y el crecimiento económico. Un análisis a través del PIB de Ecuador. Empresarial, 2017, vol. 11, no 44, p. 33-39.
PÉREZ, Erika Alejandra Villarreal; OCAMPO, Esteban Flores. EFICACIA PARA LA ELIMINACION LA MAYOR CANTIDAD DE BACTERIAS EN LAS MANOS. Memorias del III Encuentro Estudiantil de Matemáticas Aplicadas, 2015, p. 14.