リサーチ方法論第13回演習
2023-07-03
パッケージにあらかじめ組み込まれているcarsというデータを使う。
data(cars) #データを読み込む
head(cars) #データの内容確認## speed dist
## 1 4 2
## 2 4 10
## 3 7 4
## 4 7 22
## 5 8 16
## 6 9 10cars$speed<-cars$speed*1.6 #マイルをkmに直す。
cars$dist<-cars$dist*0.3 #フィートをmに直す。
head(cars) #データの内容確認## speed dist
## 1 6.4 0.6
## 2 6.4 3.0
## 3 11.2 1.2
## 4 11.2 6.6
## 5 12.8 4.8
## 6 14.4 3.0plot(cars) #散布図を描く
cor(cars) #cor()で相関係数を出す。## speed dist
## speed 1.0000000 0.8068949
## dist 0.8068949 1.0000000speedとdistの間の相関係数は約0.8069。
回帰分析を行う。関数はlm。
目的変数~説明変数 という書き方をする。
dist~speed でdist=a*speed+bという回帰式を示す。
cars.lm<-lm(dist~speed, data=cars) #回帰分析
summary(cars.lm) #結果の表示##
## Call:
## lm(formula = dist ~ speed, data = cars)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -8.7207 -2.8576 -0.6816 2.7644 12.9604
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -5.27373 2.02753 -2.601 0.0123 *
## speed 0.73733 0.07791 9.464 1.49e-12 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.614 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.6511, Adjusted R-squared: 0.6438
## F-statistic: 89.57 on 1 and 48 DF, p-value: 1.49e-12Residuals:
残差。データから求められる実際の値と理論式から求められる値との差。
Coefficients:
回帰式の係数 Estimateの欄が推定値。 dist=aspeed+bにおいて、 dist=0.73733speed-5.27373となることを示している。
Std. Errorは係数の誤差。 t valueは推定値の検定統計量。
Signif. codes:
Pr(>|t|)の右隣に示されている*の数がどういう意味かを示している。
0.0123 となっているので、(Intercept)の信頼度は、有意水準で ’’ 0.05 ‘ 要するに有意水準5%で帰無仮説「係数は0である」を棄却する。 係数が0となるということは回帰式の切片が0であることを示すが、それを棄却するので、切片Interceptの値には意味があるということ。
1.49e-12 ***となっているので、speedの信頼度は、有意水準で
‘0 '***'
要するに有意水準がほぼ0%に近い値においても、帰無仮説「係数は0である」を棄却する。
係数が0となるということは回帰式の回帰係数が0であることを示すが、それを棄却するので、回帰係数speedの値には意味があるということ。
Residual standard error:
残差の標準誤差。残差の二乗和を残差の自由度で割った平方根。
Multiple R-squared:
決定係数(coefficient of determination)、寄与率(contribution ration)
Adjusted R-squared:
調整済み決定係数。標本数と説明変数の数を考慮した係数。
ともに1に近いほど、データがモデルに当てはまっている。
F-statistic:
F統計量。帰無仮説「決定係数が0である」を分散分析の手法で検定している。p-value:1.49e-12なので、帰無仮説を5%有意水準においても、それ以下の水準においても棄却できる。
plot(cars)
abline(cars.lm) #散布図に回帰直線を書き加える。
confidence_intervals <- confint(cars.lm)
confidence_intervals## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) -9.3503549 -1.1971021
## speed 0.5806808 0.8939725confin()で回帰係数の信頼区間が出力される。 dist=aspeed+bとして、予測された回帰式は dist=0.73733speed-5.27373 だったが、そのaとbの信頼区間は0.5806808<a<0.8939725 -9.3503549<b<-1.1971021 ということ。
#全ての値の予測値と信頼区間
predict<-predict(cars.lm, interval="confidence")
predict## fit lwr upr
## 1 -0.554838 -3.698863 2.589187
## 2 -0.554838 -3.698863 2.589187
## 3 2.984330 0.503693 5.464967
## 4 2.984330 0.503693 5.464967
## 5 4.164053 1.892258 6.435847
## 6 5.343775 3.271536 7.416014
## 7 6.523498 4.638575 8.408420
## 8 6.523498 4.638575 8.408420
## 9 6.523498 4.638575 8.408420
## 10 7.703220 5.989358 9.417083
## 11 7.703220 5.989358 9.417083
## 12 8.882943 7.318541 10.447345
## 13 8.882943 7.318541 10.447345
## 14 8.882943 7.318541 10.447345
## 15 8.882943 7.318541 10.447345
## 16 10.062666 8.619401 11.505931
## 17 10.062666 8.619401 11.505931
## 18 10.062666 8.619401 11.505931
## 19 10.062666 8.619401 11.505931
## 20 11.242388 9.884335 12.600442
## 21 11.242388 9.884335 12.600442
## 22 11.242388 9.884335 12.600442
## 23 11.242388 9.884335 12.600442
## 24 12.422111 11.106346 13.737876
## 25 12.422111 11.106346 13.737876
## 26 12.422111 11.106346 13.737876
## 27 13.601834 12.281303 14.922364
## 28 13.601834 12.281303 14.922364
## 29 14.781556 13.409696 16.153416
## 30 14.781556 13.409696 16.153416
## 31 14.781556 13.409696 16.153416
## 32 15.961279 14.496413 17.426144
## 33 15.961279 14.496413 17.426144
## 34 15.961279 14.496413 17.426144
## 35 15.961279 14.496413 17.426144
## 36 17.141001 15.548740 18.733263
## 37 17.141001 15.548740 18.733263
## 38 17.141001 15.548740 18.733263
## 39 18.320724 16.574186 20.067263
## 40 18.320724 16.574186 20.067263
## 41 18.320724 16.574186 20.067263
## 42 18.320724 16.574186 20.067263
## 43 18.320724 16.574186 20.067263
## 44 20.680169 18.568890 22.791448
## 45 21.859892 19.546993 24.172791
## 46 23.039615 20.516296 25.562933
## 47 23.039615 20.516296 25.562933
## 48 23.039615 20.516296 25.562933
## 49 23.039615 20.516296 25.562933
## 50 24.219337 21.478825 26.959850#残差
residual<-residuals(cars.lm)
residual## 1 2 3 4 5 6 7
## 1.1548380 3.5548380 -1.7843299 3.6156701 0.6359474 -2.3437752 -1.1234978
## 8 9 10 11 12 13 14
## 1.2765022 3.6765022 -2.6032204 0.6967796 -4.6829431 -2.8829431 -1.6829431
## 15 16 17 18 19 20 21
## -0.4829431 -2.2626657 0.1373343 0.1373343 3.7373343 -3.4423883 -0.4423883
## 22 23 24 25 26 27 28
## 6.7576117 12.7576117 -6.4221109 -4.6221109 3.7778891 -4.0018336 -1.6018336
## 29 30 31 32 33 34 35
## -5.1815562 -2.7815562 0.2184438 -3.3612788 0.8387212 6.8387212 9.2387212
## 36 37 38 39 40 41 42
## -6.3410015 -3.3410015 3.2589985 -8.7207241 -3.9207241 -2.7207241 -1.5207241
## 43 44 45 46 47 48 49
## 0.8792759 -0.8801693 -5.6598920 -2.0396146 4.5603854 4.8603854 12.9603854
## 50
## 1.2806628#
par(mfrow=c(2,2))
plot(cars.lm)
Residuals vs Fitted
予測値(Fitted values)と残差の散布図。
Nomal QQ
データが正規分布に従うと点が直線上に並ぶ。
Scale-Location
予測値と残差の平方根
Residuals vs Leverage
梃子値(Leverage)と標準化した残差の散布図。点線がクック距離というもの。梃子値もクック距離もモデルの当てはまりの良さを示す。
決定係数の計算
# 元のデータから計算
sr<-sum((cars.lm$fitted-mean(cars.lm$fitted))^2)
se<-sum((cars$dist-cars.lm$fitted)^2)
st<-sum((cars$dist-mean(cars$dist))^2)
sr/st #決定係数## [1] 0.6510794#先ほどのsummary(cars.lm)の値から取り出した場合
summary(cars.lm)$r.squared ## [1] 0.6510794#元のデータから計算 と #先ほどのsummary(cars.lm)の値から取り出した場合 が一致する。
F値
# 元の値からF値を求める
ve<-se/48
sr/ve## [1] 89.56711# 先ほどのsummary(cars.lm)の値から取り出した場合
summary(cars.lm)$fstatistic## value numdf dendf
## 89.56711 1.00000 48.00000#元のデータから計算 と #先ほどのsummary(cars.lm)の値から取り出した場合 が一致する。