Interpolación simple
Galo González Guerra
2023-07-05
1. Objetivo
Buscar información acerca de los 2 tipos de interpolaciones o
aproximaciones polinomiales simples dadas en clase, mediante fuentes de
información confiables con la finalidad de llevar a cabo casos de
estudio y exponer en clases una de las propuestas estimadas.
2. Definiciones
2.1. Interpolación de Lagrange
La interpolación de Lagrange es un método numérico de aproximación de
funciones, el cual hace uso de un polinomio que pasa por ciertos puntos
conocidos de la función que se pretende aproximar. Si la función a
aproximar es suave, aún fuera de los valores dados o conocidos, el
polinomio toma valores cercanos a los de la función de interés, sobre
todo si dichos valores están comprendidos entre los puntos dados. Por
eso el polinomio se considera una buena aproximación a la función. Este
tipo de polinomio se determina especificando los puntos en el plano por
donde debe pasar. El manejo algebraico es un poco dispendioso y se deben
tener n + 1 puntos para establecer un polinomio de grado n.
El polinomio interpolante de Lagrange está dado por:
\[ P(x) = f({x}_{0}){L}_{n,0}(x) +
f({x}_{1}){L}_{n,1}(x) + f({x}_{2}){L}_{n,2}(x) + ... +
f({x}_{n}){L}_{n,k}(x) \]
Que en forma simplificada es:
\[ P(x) = \sum_{k=0}^{n}
f({x}_{k}){L}_{n,k}(x) \]
Donde:
\[ {L}_{n,k}(x) = \frac{(x - {x}_{0})(x -
{x}_{1})...(x - {x}_{k-1})(x - {x}_{k+1})...(x - {x}_{n})}{({x}_{k} -
{x}_{0})({x}_{k} - {x}_{1})...({x}_{k} - {x}_{k-1})({x}_k -
{x}_{k+1})...({x}_{k} - {x}_{n})} \]
Se denominan coeficientes de Lagrange, los cuales en forma simplificada
se expresan así:
\[ {L}_{n,k}(x) = \prod_{i=0}^{n} \frac{(x -
{x}_{i})}{({x}_{k} - {x}_{i})} \]
El símbolo \(\prod_{i=0}^{n}\) se
denomina el producto de los factores interpolantes.
Donde:
- \(P(x)\) es el polinomio interpolante
Lagrange.
- \(n\) es el número total de puntos
conocidos.
- \({x}_{i}\) y \({x}_{j}\) son las coordenadas del punto
conocido.
Características de los polinomios de Lagrange
a) Los polinomios de Lagrange son exactamente iguales a la unidad cuando
se les evalúa en la abscisa correspondiente a su índice, es decir:
\[{L}_{i}({x}_{i}) = 1\]
b) Se anulan en las abscisas de los puntos de interpolación con índice
diferente al del mismo polinomio: \[{L}_{i}({x}_{j}) = 0, con \; i\neq j\] c)
Tomando otros valores de abscisas diferentes a los puntos de
interpolación, los polinomios de Lagrange adquieren valores comprendidos
entre –1 y +1.
d) Para obtener los polinomios de Lagrange únicamente se requiere
conocer las abscisas de los puntos a interpolar.
Figura 1. En esta imagen se muestra como obtener los polinomios de Lagrange para tres puntos de interpolación y a partir de ellos, el polinomio interpolante. Fuente: F. Zapata.
2.2. Interpolación polinomial de Newton
El método de interpolación Newton consiste en utilizar las diferencias
divididas en el cálculo del polinomio interpolador. En todos los casos
supondremos que la función a interpolar es derivable tantas veces como
requiera el problema, es decir, una unidad menos que el mayor orden de
contacto que se tenga.
Partiendo de n puntos (x, y), podemos obtener un polinomio de grado n −
1. El método que se utilizará es el de las diferencias divididas para
obtener los coeficientes, el cual facilita la tarea de resolver un
sistema de ecuaciones usando el cociente de sumas y restas. Dada una
colección de n puntos de x y sus imágenes \(f(x)\), se pueden calcular los coeficientes
del polinomio interpolante utilizando las siguientes expresiones:
\[ P(x) = f[{x}_{0}] + (X -
{x}-{0})f[{x}_{0},{x}_{1}] \]
Es decir que un principio se parte de:
\[ P(x) = {a}_{0} + {a}_{1}(x – {x}_{0})
\]
Se procede a encontrar las constantes, o sea:
si \(x = {x}_{0}\) \[ {a}_{0} = {P}_{2}({x}_{0}) = f[{x}_{0}]
\]
si \(x = {x}_{1}\) \[ {a}_{1} = \frac{f[{x}_{1}] - f[{x}_{0}]}{{x}_{1}
- {x}_{0}} = f[{x}_{0},{x}_{1}] \] si \(x = {x}_{2}\) \[
{a}_{2} = \frac{f[{x}_{2}] - f[{x}_{0}] - ({x}_{2} - {x}_{0})
\frac{f[{x}_{1}] - f[{x}_{0}]}{{x}_{1} - {x}_{0}}}{({x}_{1} -
{x}_{0})({x}_{2} - {x}_{1})} \]
Por lo que al desarrollar algebraicamente se llega a:
\[ {a}_{2} = \frac{ \frac{f[{x}_{2}] -
f[{x}_{1}]}{{x}_{2} - {x}_{1}} - \frac{f[{x}_{1}] - f[{x}_{0}]}{{x}_{1}
- {x}_{0}}}{({x}_{2} - {x}_{0})} = f[{x}_{0},{x}_{1},{x}_{2}] \]
Por ende la fórmula quedaría:
\[ P(x) = {a}_{0} + {a}_{1}(x - {x}_{0}) +
{a}_{2}(x - {x}_{0})(x - {x}_{1}) + ... + {a}_{n}(x - {x}_{0})(x -
{x}_{1})...(x - {x}_{n-1}) \]
Además, se la puede expresar sintéticamente como:
\[ {P}_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n}{a}_{k}
\prod_{i=0}^{k-1}(x - {x}_{i}) \] Donde:
- \(P(x)\) es el polinomio de
Newton.
- \({x}_{0},{x}_{1},...\) son los
puntos conocidos.
- \(f[{x}_{0}]\) es el valor de la
función interpolada en \({x}_{0}\).
- \(f[{x}_{0},{x}_{1}]\) es la
diferencia dividida de orden 1. - \(f[{x}_{0},{x}_{1},{x}_{2}]\) es la
diferencia dividida de orden 2.
- \(f[{x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{n}]\) es
la diferencia dividida de orden n.
- \({a}_{0} = f[{x}_{0}]\)
- \({a}_{1} =
f[{x}_{1},{x}_{0}]\)
- \({a}_{n} =
f[{x}_{n},{x}_{n-1},...,{x}_{1},{x}_{0}]\)
Figura 2. En esta imagen se muestra como obtener los polinomios de Newton por diferencias divididas. Fuente: Carlos Sevilla Contreras.
Figura 3. En esta imagen se muestra los puntos de aproximación de diferencias divididas. Fuente: Edison del Rosario.
Figura 4. En esta imagen se muestra las órdenes de las funciones de la aproximación de diferencias divididas. Fuente: Chapra.
3. Aplicaciones
3.1. Ingeniería civil
Se lo puede aplicar para la planificación de proyectos de
infraestructura, como carreteras, puentes o redes de servicios públicos,
porque se podría utilizar la interpolación en la estimación de
propiedades del terreno, tales como elevaciones, pendientes o
distribución de materiales.
3.2. Ingeniería ambiental
Se lo puede aplicar para el monitoreo y modelado de la calidad del aire
o del agua, porque se podría utilizar la interpolación en la estimación
de los niveles de contaminantes en puntos que no se han no muestreado o
no existe dato y realizarlo a partir de mediciones obtenidas en
ubicaciones cercanas.
3.3. Ingeniería mecánica
Se lo puede aplicar para el análisis de componentes y estructuras,
porque se podría utilizar la interpolación en la estimación de
propiedades físicas, como: resistencia, rigidez, conductividad térmica,
impulso en motores o directamente en puntos no evaluados directamente
sin datos.
3.4. Ingeniería aeroespacial
Se lo puede aplicar para la simulación de trayectorias de vuelo y en
diseños de superficies aerodinámicas, porque se podría utilizar la
interpolación en la estimación de resultados precisos y eficientes, para
el uso de variables como el viento, mareas, oxígeno y entre otros.
3.5. Ingeniería hidráulica
Se lo puede aplicar para el diseño de redes de distribución de agua,
porque se podría utilizar la interpolación para estimar una
determinación el flujo y presión en diferentes puntos de la red, para el
monitoreo de la corrientes acuáticas.
4. Casos de estudio
4.1. Debido a que mi hermano estudia la carrera de Diseño Gráfico, se me ocurre como posible propuesta el de utilizar la interpolación en la representación de diseños de fotografías por computadora donde la interpolación se podría aplicar ya sea entre el uso de variables como nitidez o saturación, resolución y contraste de la posición en la fotografía a través del tiempo en un movimiento de retoque de pixeles porque sirviría para generar suavidad y acomodo de luces en la fotografía.
4.2. A mi siempre me ha gustado la cartografía por ende como propuesta, se podría utilizar la interpolación para el relleno de datos faltantes en puntos de elevaciones, la idea se me ocurrió porque existe un juego de estrategia en la cual se podría interpolar una cordillera para conocer la elevación física o demográfica de algunos puntos faltantes que conlleva la misma donde se podría aplicar entre la distancia a través de la altura.
4.3. Yo sufro de amigdalitis crónica siempre que tengo alergia, por lo que siempre mantengo un tratamiento continuo, sin embargo, existen casos donde como no tengo tiempo de ir al médico mis datos de diagnóstico no están actualizados y cuando me enfermo muy severamente es cuando asisto al doctor, por lo que como propuesta de interpolación se me ocurre una simulación de la estimación propensa a enfermarme, siguiendo alguna de las variables como: fiebre, peso, respiración, análisis de laboratorio e imágenes de tomografía a través del tiempo.
5. Ejercicios resueltos
5.1. Interpolación de Lagrange
5.1.1. Ejercicio 1
| puntos | 0 | 1 |
| x | 4 | 5 |
| f(x) | 1.386 | 1.609 |
Interpole x = 4.5 cuando n = 1
\[ {f}_{1}(x) = \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{0}
- {x}_{1}}f({x}_{0}) + \frac{x - {x}_{0}}{{x}_{1} - {x}_{0}}f({x}_{1})
\]
\[ {P}_{1}(4.5) = \frac{4.5 - 5}{4 -
5}(1.386) + \frac{4.5 - 4}{5 - 4}(1.609) \]
\[ {P}_{1}(4.5) = 1.498 \]
Errores:
5.1.2. Ejercicio 2
| puntos | 0 | 1 | 2 |
| x | 2 | 4 | 5 |
| f(x) | 0.693 | 1.386 | 1.609 |
Interpole x = 4.5 cuando n = 2
\[ {f}_{2}(x) = \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{0}
- {x}_{1}} \frac{x - {x}_{2}}{{x}_{0} - {x}_{2}}f({x}_{0}) + \frac{x -
{x}_{0}}{{x}_{1} - {x}_{0}} \frac{x - {x}_{2}}{{x}_{1} -
{x}_{2}}f({x}_{1}) + \frac{x - {x}_{0}}{{x}_{2} - {x}_{0}} \frac{x -
{x}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}f({x}_{2})\]
\[ {P}_{2}(x = 4.5) = \frac{x - 4}{2 - 4}
\frac{x - 5}{2 - 5}(0.693) + \frac{x - 2}{4 - 2} \frac{x - 5}{4 -
5}(1.386) + \frac{x - 2}{5 - 2} \frac{x - 4}{5 - 4}(1.609)
\]
\[ {P}_{2}(4.5) = 1.508 \]
5.1.3. Ejercicio 3
| puntos | 0 | 1 | 2 | 3 |
| x | 2 | 4 | 5 | 6 |
| f(x) | 0.693 | 1.386 | 1.609 | 1.749 |
Interpole x = 4.5 cuando n = 3
\[ {f}_{3}(x) = \frac{x -
{x}_{1}}{{x}_{0} - {x}_{1}} \frac{x - {x}_{2}}{{x}_{0} - {x}_{2}}
\frac{x - {x}_{3}}{{x}_{0}- {x}_{3}} f({x}_{0}) + \frac{x -
{x}_{0}}{{x}_{1} - {x}_{0}} \frac{x - {x}_{2}}{{x}_{1} - {x}_{2}}
\frac{x - {x}_{3}}{{x}_{1} - {x}_{3}} f({x}_{1}) + \frac{x -
{x}_{0}}{{x}_{2} - {x}_{0}} \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}
\frac{x - {x}_{3}}{{x}_{2} - {x}_{3}} f({x}_{2}) + \frac{x -
{x}_{0}}{{x}_{3} - {x}_{0}} \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{3} - {x}_{1}}
\frac{x - {x}_{2}}{{x}_{3} - {x}_{2}} f({x}_{3}) \]
\[ {P}_{3}(4.5) = \frac{x - 4}{2 - 4} \frac{x
- 5}{2 - 5} \frac{x - 6}{2 - 6} (0.693) + \frac{x - 2}{4 - 2} \frac{x -
5}{4 - 5} \frac{x - 6}{4 - 5} (1.386) + \frac{x - 2}{5 - 2} \frac{x -
4}{5 - 4} \frac{x - 5}{5 - 6} (1.609) + \frac{x - 2}{6 - 2} \frac{x -
4}{6 - 4} \frac{x - 6}{6 - 5} (1.749) \]
\[ {P}_{3}(4.5) = 1.508 \]
5.2. Interpolación polinomial de Newton
5.2.1. Ejercicio 1
| puntos | 0 | 1 |
| x | 4 | -6 |
| f(x) | 15 | -35 |
Interpole x = -5 cuando n = 1
Tabla de diferencias divididas
| \({x}_{k}\) | \({y}_{k}\) | \(f[{x}_{k}||{x}_{k+1}]\) |
| 4 | 15 | |
| -6 | -35 | 5 |
\[ {P}_{n}(x)= f[{x}_{0}] +
f[{x}_{0},{x}_{1}](x - {x}_{0}) \]
\[{P}_{0}(x) = 15 \]
\[{P}_{1}(x) = 5 (x-4) + {P}_{0}(x) = −5+5 x
\]
\[ {P}_{1}(x) = 15 +5 (x−4) = −5+5 x
\]
\[ {P}_{1}(−5) = 5 * (−5) −5 = −30
\]
\[ {P}_{1}(−5) = −30 \]
5.2.2. Ejercicio 2
| puntos | 0 | 1 | 2 |
| x | 2 | 0 | -2 |
| f(x) | 15 | -1 | -17 |
Interpole x = -1 cuando n = 2
Tabla de diferencias divididas
| \({x}_{k}\) | \({y}_{k}\) | \(f[{x}_{k},{x}_{k+1}]\) | \(f[{x}_{k},{x}_{k+2}]\) |
| 2 | 15 | ||
| 0 | -1 | 8 | |
| -2 | -17 | 8 | 0 |
\[ {P}_{0}(x) = 15 \]
\[ {P}_{1}(x) = 8(x-2) + {P}_{0}(x) = 8x−1
\]
\[ {P}_{2}(x) = 15 +8(x−2) = 8x−1
\]
\[P(x) = 15 + (x−2) (8)\]
\[ {P}_{2}(−1) = −9 \]
5.2.3. Ejercicio 3
| puntos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x | 4 | -4 | 7 | 6 | 2 |
| f(x) | 278 | -242 | 1430 | 908 | 40 |
Interpole x = 5 cuando n = 4
Tabla de diferencias divididas
| \({x}_{k}\) | \({y}_{k}\) | \(f[{x}_{k},{x}_{k+1}]\) | \(f[{x}_{k},{x}_{k+2}]\) | \(f[{x}_{k},{x}_{k+3}]\) | \(f[{x}_{k},{x}_{k+4}]]\) |
| 4 | 278 | ||||
| -4 | -242 | 65 | |||
| 7 | 1430 | 152 | 29 | ||
| 6 | 908 | 522 | 37 | 4 | |
| 2 | 40 | 217 | 61 | 4 | 0 |
\[ {P}_{0}(x) = 278 \]
\[ {P}_{1}(x) = 65(x-4) + {P}_{0}(x) = 65x +
18 \]
\[ {P}_{2}(x) = 29(x-4) + {P}_{1}(x) =
29x^2-446+65x \]
\[ {P}_{3}(x) = 4(x-4)(x+4)(x-7) + {P}_{2}(x)
= 2+x+4x^3+x^2 \]
\[ P(x) = 278+65(x−4)+29(x-4)(x+4)+
4(x-4)(x+4)(x-7) = 2+x+4x^3+x^2 \]
\[ P(x) = 278 +(x−4) (65+(x-4)(29+(x-7)(4)))
\]
\[ {P}_{4}(5) = 532 \]
6. Algoritmos de interpolación
6.1. Interpolación de Lagrange
# Función para calcular el polinomio de Lagrange
lagrange <- function(x, y, xi) {
# Número de Polinomio
n <- length(x)
# Punto inicial
yi <- rep(0, length(xi))
# Estructura de repetición para determinar las funciones (a)
for (i in 1:n) {
l <- rep(1, length(xi))
for (j in 1:n) {
if (j != i) {
# Fórmula de aproximación
l <- l * (xi - x[j]) / (x[i] - x[j])
}
}
# Fórmula para n grado superior
yi <- yi + l * y[i]
}
# Regresa el valor para emplearlo en la función principal
return(yi)
}
# Función principal
# Datos de ejemplo
x <- c(1, 2, 3, 4, 5)
y <- c(2, 1, 3, 6, 2)
# Puntos en los que se desea interpolar
xi <- c(1.5, 2.5, 3.5, 4.5)
# Calcular los valores interpolados
yi <- lagrange(x, y, xi)
# Imprimir resultados
print(yi)[1] 1.234375 1.609375 4.734375 5.6093756.2. Interpolación polinomial de Newton
# Función para calcular los coeficientes de diferencias divididas
calcular_coeficientes <- function(x, y) {
# Número de puntos para interpolar
n <- length(x)
coeficientes <- matrix(0, nrow = n, ncol = n)
# Primer coeficiente
coeficientes[, 1] <- y
# Estructura de repetición para uso de la fórmula
for (j in 2:n) {
for (i in j:n) {
# Fórmula de los coeficientes
coeficientes[i, j] <- (coeficientes[i, j-1] - coeficientes[i-1, j-1]) / (x[i] - x[i-j+1])
}
}
# Usamos los coeficientes para la siguiente función
return(coeficientes)
}
# Función para evaluar el polinomio interpolante de Newton en puntos por establecer
evaluar_polinomio <- function(x, coeficientes, puntos_x) {
n <- length(puntos_x)
polinomio <- coeficientes[n, n]
# Estructura de repetición para fórmula
for (i in (n-1):1) {
# Fórmula de interpolación polinomial de Newton
polinomio <- polinomio * (x - puntos_x[i]) + coeficientes[i, i]
}
# Retornamos la respuesta
return(polinomio)
}
# Función principal
# Datos de ejemplo
x <- c(1, 2, 3, 4)
y <- c(3, 5, 8, 2)
# Calcular los coeficientes
coeficientes <- calcular_coeficientes(x, y)
# Punto donde evaluar el polinomio interpolante
punto_evaluar <- c(0,2.5,6)
# Evaluar el polinomio interpolante en el punto dado
resultado <- evaluar_polinomio(punto_evaluar, coeficientes, x)
# Imprimir el resultado
print(resultado)[1] 12 7 -777. Bibliografías
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