Resumo

Como proposta da disciplina Planejamento de Experimentos I (CE213), testamos a influência da luz na germinação de sementes de feijão. Para isso, atuamos com 15 unidades experimentais, e 3 níveis do fator luz, luz direta, luz indireta e escuro, acompanhando a evolução das sementes diariamente. Ao fim de dez dias, quantificamos os nossos resultados, com a proporção de sementes germinadas por unidade experimental. Ainda no início do experimento, o nível escuro se destacou, pois suas sementes, sem alcance da luz, germinaram muito rápido (folhas aparentes ao fim dos dez dias). Em contrapartida, muitas sementes expostas a luz (direta ou indiretamente) apodreceram em poucos dias. Pensamos que o clima pode ter influenciado no resultado do experimento, pois as sementes sem o efeito da luz estavam isoladas em um lugar fechado e, por isso, mais quente. Por fim, precisamos testar se esse destaque é realmente significativo e pensar em alternativas para diminuir a variabilidade do experimento.

Dados

Os dados foram obtidos a partir de um experimento inteiramente casualizado, com o objetivo de investigar o efeito do tipo de exposição à luz solar na germinação de sementes de feijão. O fator luz foi considerado com três níveis: luz direta, luz indireta e ausência de luz.

O experimento envolveu o plantio de seis sementes de feijão em 15 potes de mesmo tamanho, preenchidos com algodão. Os potes foram distribuídos da seguinte forma: cinco potes expostos à luz direta, cinco potes expostos à luz indireta e cinco potes mantidos no escuro. Todos os potes foram regados diariamente às 11h, ao longo de um período de 10 dias.

Após esse período, foram registradas as proporções de sementes germinadas em cada pote. A seguir, apresentamos um resumo dos dados coletados:

## # A tibble: 15 × 2
##    luz       prop
##    <fct>    <dbl>
##  1 direta    0.33
##  2 direta    0.17
##  3 direta    0.17
##  4 direta    0   
##  5 direta    0   
##  6 indireta  0.2 
##  7 indireta  0.5 
##  8 indireta  0.33
##  9 indireta  0.33
## 10 indireta  0.17
## 11 escura    1   
## 12 escura    1   
## 13 escura    1   
## 14 escura    0.83
## 15 escura    0.5

Análise Descritiva

Em uma análise preliminar dos dados coletados, observamos que os potes que não foram expostos à luz apresentam uma proporção média de sementes germinadas maior em comparação aos potes expostos à luz. Essa observação sugere que a incidência de luz pode ter um efeito inibitório na germinação das sementes. No entanto, é importante realizar uma análise estatística mais rigorosa para confirmar essa tendência e verificar se essa diferença é estatisticamente significativa.

summary(tb$prop)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.0000  0.1700  0.3300  0.4353  0.6650  1.0000

summaryBy(prop ~ luz, data = tb, FUN = list(min, mean, max))

## # A tibble: 3 × 4
##   luz      prop.min prop.mean prop.max
##   <fct>       <dbl>     <dbl>    <dbl>
## 1 direta       0        0.134     0.33
## 2 escura       0.5      0.866     1   
## 3 indireta     0.17     0.306     0.5

Gráfico de Dispersão

Ao analisar o gráfico de dispersão, podemos observar que os potes colocados na luz direta apresentam várias observações com a mesma proporção, resultando em sobreposição no gráfico. O mesmo padrão é observado nos potes que não foram expostos à luz (escura).

Box-Plot

Oservando o gráfico de boxplot, é possível identificar claramente as diferenças nas proporções de sementes germinadas para os três níveis de incidência de luz. Podemos notar que, tanto para a luz direta quanto para a luz indireta, todas as proporções de sementes germinadas estão abaixo de 60%. Por outro lado, no nível de luz escura, temos apenas uma observação.

Especificação e Ajuste do Modelo

O modelo estatístico correspondente ao delineamento utilizado no nosso experimento pode ser expresso da seguinte forma:

\[Y|Luz\sim Normal(\mu , \sigma^2)\] \[\mu_{i} = \mu + \tau_{i}\]

Y representa a proporção de sementes germinadas. \(\tau_{i}\) representa o efeito da luz sobre Y, \(\mu\) é a média de Y na ausência do efeito da luz, e \(\sigma^2\) é a variância residual.

A seguir, faremos o ajuste de um modelo linear utilizando a função lm(). No R, por padrão, o efeito do primeiro nível do tratamento (\(\tau_{i}=0\)) é definido como zero, o qual, neste caso, corresponde ao nível de luz direta.

Abaixo temos o modelo ajustado no R:

ajuste <- lm(prop~luz, data = tb)

summary(ajuste)

## 
## Call:
## lm(formula = prop ~ luz, data = tb)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -0.366 -0.120  0.024  0.134  0.196 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  0.13400    0.07467   1.794   0.0979 .  
## luzescura    0.73200    0.10560   6.932 1.58e-05 ***
## luzindireta  0.17200    0.10560   1.629   0.1293    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.167 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8141, Adjusted R-squared:  0.7831 
## F-statistic: 26.27 on 2 and 12 DF,  p-value: 4.129e-05

É correto afirmar que, mesmo que tenhamos um bom coeficiente de determinação (\(R^2 > 0,8\)), sem realizar a análise adequada dos pressupostos do modelo, não podemos tirar conclusões ou fazer inferências válidas com base nos resultados.

Análise de Resíduos

Neste tópico, iremos analisar os resíduos do modelo para verificar se eles estão em conformidade com os pressupostos necessários.

par(mfrow = c(2,2))
plot(ajuste, which = 1:4)

Os gráficos dos resíduos indicam que eles não seguem uma distribuição normal, o que sugere uma falta de ajuste no modelo. É necessário explorar alternativas ou fazer ajustes adicionais para melhorar a adequação do modelo aos dados.

Box-Cox

Conforme mencionado anteriormente, identificamos a possível necessidade de realizar um ajuste no modelo. Para isso, faremos uso do método de Box-Cox. O método de Box-Cox tem como objetivo maximizar a função de verossimilhança, buscando um valor de lambda (\(\lambda\)) que indica a possível transformação necessária para o modelo.

Para aplicar o método de Box-Cox, adicionamos uma constante quando a proporção é igual a zero. Abaixo, apresento a transformação realizada:

tb$prop2 <- tb$prop 
tb$prop2[tb$prop2==0] <- 0.001
ajuste3 <- lm(prop2~luz, data = tb)

Plotando o gráfico de Box-Cox teremos:

No gráfico de Box-Cox, ao observar que o valor de lambda (\(\lambda\)) que maximiza a função está muito próximo de um, indica que não é necessária uma transformação adicional no ajuste. Isso sugere que a distribuição original dos dados é adequada para o modelo utilizado.

Considerações Sobre o Resultado

Uma possível interpretação para a falta de ajuste nos nossos ajustes pode estar relacionada ao número relativamente pequeno de observações e à presença de sobreposição de diversos pontos em várias delas. Esses fatores podem dificultar a identificação de padrões claros e a obtenção de uma relação linear, o que pode ser visto abaixo:

ANOVA

Para verificar se o efeito do tratamento Luz é significativo na proporção de sementes germinadas, utilizaremos um teste F.

O efeito do tratamento Luz no modelo do experimento é representado por \(\tau_{i}\). A hipótese nula de que não há efeito da incidência de luz pode ser representada por:

\[H_{0}: \tau_{1} = \tau_{2} = \tau_{3} = \dots = \tau_{k} = 0\]

anova(ajuste)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: prop
##           Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## luz        2 1.46501 0.73251  26.274 4.129e-05 ***
## Residuals 12 0.33456 0.02788                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Com base na análise de variância (ANOVA), podemos observar um valor de significância muito baixo, indicando que há diferença significativa no efeito da luz. Isso sugere que a variável luz tem um impacto significativo nos resultados do experimento.

Teste de Tukey

Para verificar se existem diferenças significativas entre os diferentes níveis do tratamento, utilizaremos o teste de Tukey. Optamos por esse teste por ser mais conservador, visando reduzir o erro do tipo I.

A hipótese nula do teste de Tukey é que não há diferença significativa entre as médias dos diferentes níveis.

ajuste_anova <- aov(prop~luz, data=tb)
tukey <- TukeyHSD(ajuste_anova)
print(tukey)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = prop ~ luz, data = tb)
## 
## $luz
##                   diff        lwr        upr     p adj
## escura-direta    0.732  0.4502655  1.0137345 0.0000435
## indireta-direta  0.172 -0.1097345  0.4537345 0.2717523
## indireta-escura -0.560 -0.8417345 -0.2782655 0.0005082

Podemos observar que há uma diferença significativa no efeito da luz escura em relação aos diferentes níveis. No entanto, não foi encontrada diferença significativa entre a luz direta e indireta.

Conclusão

Para verificar a significância do efeito da luz na germinação de sementes de feijão, ajustamos um modelo de regressão linear aos nossos dados, que teve um ajuste satisfatório, se baseado apenas no p-valor e coeficiente de determinação (> 0,80) do ajuste. Apesar disso, ao analisar os resíduos do modelo, verificamos padrões não aleatórios e ausência de normalidade nos mesmos, partindo para a utilização do método de Box-Cox com a intenção de encontrar uma transformação pertinente aos nossos dados. Assim, provavelmente por conta de observações sobrepostas e um n pequeno, encontramos um \(\lambda\) muito próximo de 1. Com esse problema, seguimos para o quadro de ANOVA, encontrando significância na diferença entre os níveis, como suspeitávamos, e para o teste de Tukey, comparando todos os possíveis pares de proporções, que mostra que os níveis luz direta e luz indireta não têm diferença significativa, resultado importante para o nosso experimento. Por fim, com base no artigo DIDONET, A. D.; SILVA, S. C. da. Elementos climáticos e produtividade do feijoeiro., que sugere que temperaturas entre 28ºC são consideradas como ótimas para germinação, verificamos as temperaturas médias dos dias em que o experimento foi realizado, concluindo que o frio pode ter sido um fator importante na germinação das sementes.