Visualización: Cuando utilizar escala logaritmica
Fernando López-Torrijos F.
2023-08-09
En la economía, como ciencia, es común el uso de razones. Un ejemplo de razón utilizada es la relación entre el precio de un bien y la cantidad demandada de ese bien, conocida como la razón precio/cantidad. En la teoría económica se supone que existe una relación inversa entre el precio de un bien y la cantidad demandada del mismo. Es decir, a medida que el precio de un bien aumenta, la cantidad demandada tiende a disminuir, y viceversa. Esta relación se conoce como la ley de la oferta y la demanda. Otro ejemplo de razón utilizada en economía es la existente entre los ingresos y los gastos de una empresa, conocida como la razón ingresos/gastos. En el ámbito empresarial es importante analizar la relación entre los ingresos generados por la venta de productos o servicios y los gastos necesarios para producir esos bienes o servicios y mantener las operaciones comerciales. La razón ingresos/gastos permite evaluar la rentabilidad y la eficiencia financiera de una empresa.
Cuando se desea visualizar un conjunto de razones es sensato el uso de la escala logarítmica. Las razones son por naturaleza asimétricas. Una razón de \(1.0\) indica una relación igual entre las cantidades. Una razón de \(2.0\) indica que hay el doble de la cantidad expresada en el numerador que la expresada en el denominador y una razón de \(0.5\) expresa que hay la mitad de la cantidad expresada en el numerador que la expresada en el denominador. Sobre la escala logarítmica las razones se presentan simétricas. Una razón de \(1.0\) está a medio camino entre una razón de \(0.5\) y una razón de \(2.0\), lo cual permite una más fácil interpretación en algunas situaciones. Lo mismo ocurre para índices y tasas1.
Observe la diferencia entre un crecimiento anual de \(10\) unidades frente a un crecimiento porcentual constante del \(10\)%.
La tasa de crecimiento es constante pero el resultado en valores es exponencial. El gráfico logarítmico lo presentará lineal, reflejando su crecimiento porcentual constante.
La principal característica que se busca de las variables para que se pueda aplicar una transformación logarítmica es que sean cantidades estrictamente positivas ya que no existe el logaritmo de un valor menor o igual a cero. Eso es usual en los valores monetarios: Ventas, Costos, Ingresos, Salarios, etc\(\dots\) y lo referente al tiempo: antigüedad, edad, años de experiencia, tiempo de espera, etc\(\dots\). Dichas transformaciones implican diferentes interpretaciones en la econometría. Supóngase se tiene una relación entre dos cantidades del siguiente tipo: \(y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + \varepsilon\). Se denomina un modelo nivel-nivel y se interpreta que un cambio en una unidad de la variable x implica un cambio de \(\beta_1\) en la variable \(y\). Pero si hubiese una transformación logarítmica válida de la variable: \(y_i = \beta_0 + \beta_1log(x_i) + \varepsilon\) se interpreta que un cambio del \(1\)% de la variable x implica un cambio de \(\beta_1\) en la variable \(y\). Se denomina un modelo nivel-log.
Podría ser que lo que tiene sentido es un modelo log-nivel: \(log(y_i) = \beta_0 + \beta_1x_i + \varepsilon\). Se interpreta que un cambio en una unidad de la variable x implica un cambio de \(100\beta_1\)% en la variable \(y\). De hecho hay modelos log-log: \(log(y_i) = \beta_0 + \beta_1log(x_i) + \varepsilon\). Se interpreta que un cambio de un \(1\)% de la variable x implica un cambio de \(100\beta_1\)% en la variable \(y\).
Es natural que una visualización que desee presentar un diagrama de dispersión entre las variables \(x\) y \(y\) de un modelo diferente al nivel-nivel utilice escalas logarítmicas en el eje que corresponda.
Si bien en economía es usual utilizar como base de la transformación el número e, el denominado logaritmo natural, también es común la base \(2\).
Veamos un ejemplo concreto con datos reales publicados por el DANE2.
Ejemplo. Evolución del Índice de precios al consumidor.
Se descargó de la página del Banco de la República la serie histórica de periodicidad mensual del IPC, generada por el DANE, desde febrero del año 1982 a mayo del 2023.
La gráfica superior presenta un comportamiento creciente de la inflación desde el año \(1982\) al \(2023\). Lleva a engaños en la interpretación si interesa estudiar la inflación de precios. La gráfica inferior presenta cómo ha habido una lenta pero constante disminución de la inflación durante el periodo mostrado, con un mayor énfasis desde el año \(1998\). Esta interpretación refleja mejor la realidad de la inflación.
Una última cuestión. Hay dos posibilidades. Colocar la escala logarítmica o representar los datos transformados.
Ambos presentan la misma información. Observe que \(\text{log}(400) = 6\).
Siempre es preferible utilizar el eje logarítmico que los datos transformados, ya que se evita que el lector realice gimnasia matemática mental que lo distrae de captar el mensaje.
Si se llegan a exponer los datos transformados, se debe dejar explícita la base en la etiqueta del eje. Si se llega a utilizar el eje en escala logarítmica, la etiqueta del eje es el nombre de la variable. No se debe colocar referencia al logaritmo. Esto ya queda en evidencia por la separación de las marcas del eje (tick marks).
Referencias:
Motulsky, Harvey J. The Use and Abuse of Logarithmic Axes. 2009, GraphPad Software, Inc. June 2009.
Wilke, C.O. Fundamentals of Data Visualization. O’Reilly. 2019.
Wooldridge, J.M. Introducción a la econometría. 4ta edición. Cengage Learning. 2010.
https://danifernandez.org/articulo/logaritmos-economia/
Un índice es una medida que indica el cambio o la variación relativa de una cantidad en relación con otra cantidad de referencia. Los índices se utilizan para comparar y mostrar cambios proporcionales en variables a lo largo del tiempo o entre diferentes categorías. Los índices pueden expresarse en forma de porcentaje o en una escala específica. Una tasa es una medida de cambio o flujo de una cantidad en relación con otra cantidad en el tiempo, por tanto, las tasas se expresan en unidades de cantidad por unidad de tiempo. Una razón es una comparación entre dos cantidades o medidas las cuales pueden tener unidades diferentes. Un ejemplo de cada una: el índice de precios al consumidor es un índice, como su nombre correctamente indica, la densidad poblacional es una razón y la velocidad de un vehículo es una tasa.↩︎
Departamento Administrativo Nacional de Estadística↩︎