Data Stasioner

Data Stasioner merupakan data deret waktu yang memiliki ciri-ciri statistik dasar seperti nilai tengah dan ragam yang tetap (konstan) sepanjang waktu. Menurut Pramujo et. al (2014), keStasioneran data deret waktu memiliki arti bahwa dalam data tersebut tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan secara signifikan dan tidak memiliki kecenderungan terhadap trend tertentu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu maupun ragam dari fluktuasi tersebut. Pada dasarnya, data Stasioner dibagi menjadi dua, yaitu Stasioner dalam mean (rata-rata) dan Stasioner dalam variance (ragam). Apabila data Stasioner dalam rata-rata, maka terjadi fluktuasi data di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan. Sedangkan data Stasioner dalam ragam, yaitu data yang dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah (Pramujo et. al 2014).

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) adalah model peramalan yang sering digunakan dalam pemodelan time series dan menghasilkan ramalan-ramalan berdasarkan sintesis dari pola data secara historis. Metode ARIMA sering digunakan untuk peramalan di berbagai bidang, salah satunya bidang transportasi (Nurjanah, et al. 2018). Model peramalan univariate time series yang memadukan antara model Autoregressive (AR), model Moving Average (MA) dan model campuran autoregressive moving average (ARMA) untuk data yang tidak stasioner. Bentuk umum ARIMA (p, d, q) sebagai berikut:

\[ \phi_p(B)Y_t^*=\theta_0+\theta_q(B)e_t\\ \]

\[ \begin{aligned} \text{Dengan:}\\ Y_t^*&= \text{ data deret waktu yang telah dilakukan differencing}\\ \phi_p(B)&=1-\phi_1B-\phi_2B^2-...-\phi_pB^p\\ \phi_q(B)&=1-\phi_1B-\phi_2B^2-...-\phi_qB^q\\ (1-B)^d&=\text{ differencing non-musiman pada orde ke-d}\\ e_t&=\text{ nilai kesalahan pada waktu ke-t} \end{aligned} \]

Di mana nilai \(d>0\), untuk \(d=0\) model stasioner sama dengan \(ARMA(p,q)\).

Pembedaan (differencing) dengan lag-d dilakukan untuk menstasionerkan data. Konsep differencing adalah mengurangkan antara pengamatan Yt dengan pengamatan sebelumnya yaitu Yt-1. Metode estimasi maximum likelihood masih dianggap metode estimasi parameter ARIMA yang efisien (As’ad, et al. 2017).

Augmented Dickey-Fuller (ADF)

Uji Augmented Dickey Fuller (ADF) merupakan pengujian yang dilakukan terhadap data deret waktu (time series) untuk mengetahui apakah data deret waktu tersebut stationer atau tidak. Tidak semua proses runtun waktu dapat direpresentasikan dengan baik menggunakan model AR(1). Jika model merupakan suatu autoregresif tingkat p, dengan p ≥ 1, Dickey dan Fuller menambahkan tiga statistik-F untuk uji hipotesis gabungan (joint hypotesis) pada koefisien-koefisien model autoregresif yang terbentuk. Uji akar-akar unit metode Dickey-Fuller untuk model autoregresif tingkat p dengan p ≥ 1 dikenal sebagai uji Dickey-Fuller diperluas (Augmented Dickey-Fuller Test) (Rusdi, 2011).

Teknik Interpolasi

Teknik interpolasi memperkirakan nilai yang hilang dengan mengasumsikan hubungan dalam rentang titik data. Interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Dalam teknik statistik bergulir di mana hanya nilai-nilai sebelumnya yang dianggap memperhitungkan nilai yang hilang, teknik interpolasi memperkirakan dengan titik data masa lalu dan masa akan datang yang diketahui. Interpolasi memiliki berbagai metode:

• Linier: Mengasumsikan hubungan linier b/w rentang titik data

• Spline: Memperkirakan nilai yang meminimalkan kelengkungan keseluruhan sehingga memperoleh permukaan halus yang melewati titik input.

• Waktu: Memperkirakan nilai yang hilang dengan lebih fokus pada titik terdekat daripada titik jauh. Ada berbagai teknik interpolasi lain yang dapat digunakan untuk menghitung nilai yang hilang.

Semua ini mengasumsikan bahwa titik data yang berdekatan serupa, yang tidak selalu demikian. Menurut Fatimah (2015), berdasarkan derajat polinomial interpolasi dibagi menjadi empat macam yaitu:

1. Interpolasi Linear merupakan interpolasi untuk polinomial berderajat satu.

2. Interpolasi Kuadrat merupakan interpolasi untuk polinomial berderajat dua.

3. Interpolasi Lagrange merupakan interpolasi untuk polinomial berderajat m-1 jika diberikan n titik, yaitu 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛.

4. Interpolasi Newton merupakan interpolasi untuk polinomial berderajat m jika diberikan n+1 titik, yaitu 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛.

Differencing/Pembedaan

Teknik Differencing (Pembedaan) dapat membantu menstabilkan nilai rata-rata deret waktu dengan menghilangkan perubahan tingkat deret waktu, dan karenanya menghilangkan (atau mengurangi) tren dan musiman.

Import Data

Data yang digunakan hanyalah data Close, didapatkan dengan syntax berikut:

gs4_deauth()
daily <- read_sheet("https://docs.google.com/spreadsheets/d/1qLvTOVejNRXFKpu57O_vxJ55cc3qFc_aKDAS_xzU2Go/edit?usp=sharing")
daily <- daily[c("Date","Close")]
daily$Date <- as.Date(daily$Date)
daily

Cek missing value:

# Cek berdasarkan plot
ggplot(daily, aes(x=Date, y=Close), x_axis_labels=daily$Date)+
  labs(title = "Distribution of Missing Values",
       y="Nilai IHSG",
       subtitle = "Time Series with missing regions") +
  geom_line() + geom_point() + theme_minimal() + 
  theme(legend.position="none", plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5))

Plot di atas merupakan plot asli dari dat IHSG harian. Dapat terlihat terdapat banyak data yang hilang.

# Cek berdasarkan tabel
daily[which(is.na(daily$Close)),]

Dari output di atas, dapat terlihat bahwa terdapat missing value pada 119 baris dari total 365 data. Hal ini melanggar salah satu syarat data time series, yaitu rentang waktu yang tidak sama. Missing value ini dapat terjadi karana bursa saham Indonesia hanya bekerja di hari kerja dan akan libur di setiap tanggal merah dan akhir pekan. Oleh karena itu, akan dilakukan penanganan missing value . Adapun teknik missing value yang akan dilakukan adalah 2, yaitu interpolasi linear dan interpolasi spline.

Menduga Missing Value

Pendugaan dilakukan dengan teknik interpolasi yang memperhitungkan nilai sebelum dan setelah nilai yang hilang. Interpolasi linear mengasumsikan hubungan linear antara nilai di sekitar missing value. Sedangkan, interpolasi spline mengasumsikan hubungan tak linear sehingga memperhitungkan kelengkungan antara nilai di sekitar missing value. Akan dibandingkan manakah metode penanganan missing value terbaik untuk menduga nilai IHSG harian. Fungsi yang digunakan untuk mengatasi missing value adalah fungsi na_interpolation yang tersedia pada package imputeTS, yang syntax-nya adalah sebagai berikut:

daily_linear <- na_interpolation(daily, option = "linear")
daily_linear

daily_spline <- na_interpolation(daily, option = "spline")
daily_spline

Setelah dilakukan penanganan, dapat terlihat bahwa nilai IHSG sudah terisi semua dengan kedua metode di atas.

Eksplorasi Data

Eksplorasi data diperlukan untuk melihat pola dari data time series. Selain itu, eksplorasi juga berguna dalam pembagian data training dan data testing. Data testing yang baik adalah data testing yang memiliki pola seperti data trainingnya. Maka dari itu, diperlukan eksplorasi data untuk menentukan proporsi terbaik data training vs data testing.

#linear
plin <- ggplot(daily_linear, aes(x=Date, y=Close))+
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data IHSG Harian (Linear)",
       y="Nilai IHSG",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)") +
  geom_line()+
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5))
plin

#Spline
pspl <- ggplot(daily_spline, aes(x=Date, y=Close)) +
  geom_line() +
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data IHSG Harian (Spline)",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)",
       y="Nilai IHSG") +
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5))
pspl

Dari plot di atas, terlihat bahwa plot pendugaan spline terlihat lebih fluktuatif jika dibandingkan plot pendugaan linear. Namun, hal itu tidak mengubah kecenderungan pola data yang memiliki pola trend yang naik. Terlihat pula bahwa pembagian data training-testing dapat dilakukan antara bulan Juli 2022 hingga Agustus 2022. Hal ini karena pola setelah bulan-bulan tersebut cenderung memiliki pola trend naik pula, sama seperti data trainingnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjelasan di bawah ini:

p = 0.67 #setelah dilakukan pencarian nilai proporsi data training terbaik
freq_train=as.integer(p*nrow(daily))
ggplot(daily_linear, aes(x=Date, y=Close)) +
  geom_line() + 
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data IHSG harian (Linear)",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)") +
  geom_vline(aes(xintercept = Date[freq_train], 
                 col="Frequenclin_train_Data"), lty=2, lwd=.7) +
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5),
        legend.position = "bottom") +
  scale_color_manual(name = "", values = c(Frequenclin_train_Data="red"))

ggplot(daily_spline, aes(x=Date, y=Close)) +
  geom_line() + 
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data IHSG harian (Spline)",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)") +
  geom_vline(aes(xintercept = Date[freq_train], 
                 col="Frequenclin_train_Data"), lty=2, lwd=.7) +
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5),
        legend.position = "bottom") +
  scale_color_manual(name = "", values = c(Frequenclin_train_Data="red"))

Setelah dilakukan eksplorasi kembali, didapatkan titik potong yang sekiranya baik dalam membagi data training testing terdapat pada nilai proporsi data training 0.67 atau \(p=67\%\). Titik tersebut bertepatan pada amatan ke-244 atau tanggal 1 Agustus 2022 (didapatkan dengan syntax di bawah).

freq_train

## [1] 244

daily[freq_train,1]

Selanjutnya, akan dilakukan pembagian data training testing berdasarkan eksplorasi di atas.

Splitting Data

train <- 1:freq_train

# Linear
y_lin <- daily_linear$Close
lin_train <- ts(y_lin[train])
lin_test <- ts(y_lin[-train], start = freq_train+1)
ggplot(daily_linear[train,], aes(x=Date, y=Close)) +
  geom_line() +
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data Training (Linear)",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)",
       y="Harga IHSG") +
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5))

ggplot(daily_linear[-train,], aes(x=Date, y=Close)) +
  geom_line() +
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data Testing (Linear)",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)",
       y="Harga IHSG") +
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5))

# Spline
y_spl <- daily_spline$Close
spl_train <- ts(y_spl[train])
spl_test <- ts(y_spl[-train], start = freq_train+1)
ggplot(daily_spline[train,], aes(x=Date, y=Close)) +
  geom_line() +
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data Training (Spline)",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)",
       y="Harga IHSG") +
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5))

ggplot(daily_spline[-train,], aes(x=Date, y=Close)) +
  geom_line() +
  scale_x_date(date_breaks = "6 weeks", date_labels = "%Y %b") +
  labs(title = "Plot Time Series Data Testing (Spline)",
       subtitle = "(Desember 2021 sd November 2022)",
       y="Harga IHSG") +
  theme(plot.title =  element_text(face = "bold", hjust=.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust=.5))

Terlihat bahwa pola data testing tidak berbeda jauh dengan pola data training. Hal ini menandakan bahwa pembagian kedua data ini telah tepat.

Cek Kestasioneran data

plot.ts(lin_train, ylab=expression(Y[t]), main = "Plot Time Series Data IHSG harian (Linear)")

acf(lin_train, main="Series Data IHSG harian (Linear)")

adf.test(lin_train)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  lin_train
## Dickey-Fuller = -2.2698, Lag order = 6, p-value = 0.4623
## alternative hypothesis: stationary

Differencing

lin_diff <- diff(lin_train, differences = 1)
head(lin_diff)

## Time Series:
## Start = 2 
## End = 7 
## Frequency = 1 
## [1]  76.143066 -45.313965   2.870117   2.870117   2.870117  55.452637

adf.test(lin_diff)

## Warning in adf.test(lin_diff): p-value smaller than printed p-value

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  lin_diff
## Dickey-Fuller = -5.056, Lag order = 6, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Identifikasi model Arima

Untuk mengidentifikasi model arima, nilai ACF dan PACF dapat digunakan untuk menentukan nilai q pada nilai MA(q) dan nilai p pada model AR(p). Namun, kedua nilai ini p dan q pada model campuran ARMA(p,q). Oleh karena itu, dikembangkan metode extended autocorrelation function (EACF) untuk mengindentifikasi model campuran ARMA(p,q). Pada tabel EACF, triangle of zeros akan terbentuk, dan nilai pada pojok kiri atas akan bersesuaian dengan ordo ARMA.

acf(lin_diff)

pacf(lin_diff)

eacf(lin_diff)

## AR/MA
##   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## 0 o x o o o o o o o o o  o  o  o 
## 1 o x o o o o o o o o o  o  o  o 
## 2 x x o o o o o o o o o  o  o  o 
## 3 x o x o o o o o o o o  o  o  o 
## 4 x o o x o o o o o o o  o  o  o 
## 5 x x x o o o o o o o o  o  o  o 
## 6 x x x x o o o o o o o  o  o  o 
## 7 x x x x o o o o o o o  o  o  o

Pemilihan model terbaik

arima012 <- Arima(lin_train, order=c(0,1,2), method="ML")
coeftest(arima012)

## 
## z test of coefficients:
## 
##      Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## ma1 -0.019243   0.063429 -0.3034  0.76160  
## ma2  0.165620   0.065732  2.5196  0.01175 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

arima112 <- Arima(lin_train, order=c(1,1,2), method="ML")
coeftest(arima112)

## 
## z test of coefficients:
## 
##      Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## ar1  0.173281   0.344427  0.5031  0.61489  
## ma1 -0.186199   0.337848 -0.5511  0.58154  
## ma2  0.166383   0.066327  2.5085  0.01212 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

arima212 <- Arima(lin_train, order=c(2,1,2), method="ML")
coeftest(arima212)

## 
## z test of coefficients:
## 
##     Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1  0.17358    0.39068  0.4443   0.6568
## ar2 -0.17979    0.43130 -0.4169   0.6768
## ma1 -0.18648    0.37440 -0.4981   0.6184
## ma2  0.34247    0.41224  0.8307   0.4061

akurasi_model = data.frame("Model" = c("ARIMA(0,1,2)", "ARIMA(1,1,2)", "ARIMA(2,1,2)"),
                        "AIC" = c(arima012$aic, arima112$aic, arima212$aic))
akurasi_model[order(akurasi_model[,2]),]

Overfitting

Overfitting adalah metode dengan menambahkan parameter sebanyak 1 ke masing-masing AR atau MA. Artinya, model yang terbentuk dari overfitting ARIMA(0,1,2) adalah ARIMA(1,1,2) dan ARIMA(0,1,3). Namun, pada bagian sebelumnya sudah terbukti bahwa model ARIMA(1,1,2) tidak lebih baik daripada model arima (0,1,2). Oleh karena itu, overfitting yang dilakukan hanyalah ARIMA(0,1,3)

arima013 <- Arima(lin_train, order=c(0,1,3), method="ML")
coeftest(arima013)

## 
## z test of coefficients:
## 
##      Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## ma1 -0.010284   0.065077 -0.1580  0.87444  
## ma2  0.161738   0.066474  2.4331  0.01497 *
## ma3  0.038634   0.065145  0.5931  0.55315  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# Membuat variabel baru untuk model linear terbaik
best_linear <- arima012

Cek Kestasioneran data

plot.ts(spl_train, ylab=expression(Y[t]), main = "Plot Time Series Data IHSG harian (Spline)")

acf(spl_train, main="Series Data IHSG harian (Spline)")

adf.test(spl_train)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  spl_train
## Dickey-Fuller = -2.5307, Lag order = 6, p-value = 0.3525
## alternative hypothesis: stationary

Differencing

spl_diff <- diff(spl_train, differences = 1)
head(spl_diff)

## Time Series:
## Start = 2 
## End = 7 
## Frequency = 1 
## [1]  76.143066 -45.313965 -36.072742   2.672844  42.010250  55.452637

adf.test(spl_diff)

## Warning in adf.test(spl_diff): p-value smaller than printed p-value

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  spl_diff
## Dickey-Fuller = -5.2033, Lag order = 6, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Identifikasi model Arima

Untuk mengidentifikasi model arima, nilai ACF dan PACF dapat digunakan untuk menentukan nilai q pada nilai MA(q) dan nilai p pada model AR(p). Namun, kedua nilai ini p dan q pada model campuran ARMA(p,q). Oleh karena itu, dikembangkan metode extended autocorrelation function (EACF) untuk mengindentifikasi model campuran ARMA(p,q). Pada tabel EACF, triangle of zeros akan terbentuk, dan nilai pada pojok kiri atas akan bersesuaian dengan ordo ARMA.

acf(spl_diff)

pacf(spl_diff)

Signifikansi Parameter

arima011 <- Arima(spl_train, order=c(0,1,1), method="ML")
coeftest(arima011)

## 
## z test of coefficients:
## 
##     Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)    
## ma1 0.315535   0.062598  5.0407 4.639e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

arima110 <- Arima(spl_train, order=c(1,1,0), method="ML")
coeftest(arima110)

## 
## z test of coefficients:
## 
##     Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)    
## ar1 0.270881   0.061935  4.3737 1.222e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Keakuratan Model

akurasi_model = data.frame("Model" = c("ARIMA(0,1,1)", "ARIMA(1,1,0)"),
                        "AIC" = c(arima011$aic, arima110$aic))
akurasi_model[order(akurasi_model[,2]),]

Dari ukuran AIC dan BIC, terlihat bahwa model yang memiliki nilai AIC terkecil adalah ARIMA(0,1,1), yaitu sebesar 2544.930. Kemudian, model yang memiliki nilai AIC terbesar adalah ARIMA(2,1,3).

Dugaan Model terbaik

Berdasarkan hasil di atas, didapatkan tabel sebagai berikut:

Berdasarkan tabel di atas, maka dapat disimpulkan bahwa model terbaiknya adalah ARIMA(0,1,1).

Overfitting

Overfitting adalah metode dengan menambahkan parameter sebanyak 1 ke masing-masing AR atau MA. Artinya, model yang terbentuk dari overfitting ARIMA(0,1,1) adalah ARIMA(0,1,2) dan ARIMA(1,1,1).

arima012 <- Arima(lin_train, order=c(0,1,2), method="ML")
coeftest(arima012)

## 
## z test of coefficients:
## 
##      Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## ma1 -0.019243   0.063429 -0.3034  0.76160  
## ma2  0.165620   0.065732  2.5196  0.01175 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

arima111 <- Arima(spl_train, order=c(1,1,1), method="ML")
coeftest(arima111)

## 
## z test of coefficients:
## 
##      Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## ar1 -0.074984   0.193437 -0.3876  0.69828  
## ma1  0.382394   0.178440  2.1430  0.03211 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# Membuat variabel baru untuk model linear terbaik
best_spline <- arima011

Prosedur Eskploratif Linear

#Eksplorasi
sisaan_lin <- best_linear$residuals
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(sisaan_lin)
qqline(sisaan_lin, col = "blue", lwd = 2)
plot(as.numeric(best_linear$fitted), as.numeric(sisaan_lin), xlab="Fitted", ylab="Sisaan", main="Residuals vs Fitted"); abline(h=0, col="red")
acf(sisaan_lin, lag.max = 20)
plot(1:length(sisaan_lin),sisaan_lin,type='o', xlab="Order",
     main="Residuals vs Order"); abline(h=0, col="red")

1. Normal Q-Q Plot
   Berdasarkan hasil eksplorasi di atas, terlihat bahwa banyak amatan sisaan cenderung menjauhi garis qq-plot distribusi normal. Oleh karena itu, secara eksploratif dapat dikatakan bahwa sisaan belum cukup menyebar normal.

2. Plot Residual vs Fitted
   Berdasarkan hasil eksplorasi di atas, mayoritas titik amatan berada disekitar nol meskipun ada beberapa titik amatan yang terletak jauh dari titik nol. Selain itu, dapat terlihat bahwa lebar pita dari sisaan tidak terlalu berbeda jauh dari kiri hingga ke kanan, hal ini mengindikasikan bahwa ragam dari sisaan cukup homogen.

3. Plot ACF
   Berdasarkan hasil eksplorasi di atas, pada plot ACF tidak terdapat garis vertikal di lag tertentu yang melebihi tinggi garis biru horizontal. Oleh karena itu, secara eksploratif plot ACF dapat disimpulkan tidak terdapat autokorelasi pada model.

4. Residual vs Order
   Berdasarkan plot residual vs order, terlihat bahwa titik amatan pada Residuals vs Order memiliki pola yang acak dan mayoritas bergerak di sekitar titik nol. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa secara eksploratif dapat dikatakan bahwa tidak terdapat autokorelasi pada sisaan.

Prosedur Eksploratif Spline

#Eksplorasi
sisaan <- best_spline$residuals
par(mfrow=c(2,2))
qqnorm(sisaan)
qqline(sisaan, col = "blue", lwd = 2)
plot(as.numeric(best_spline$fitted), as.numeric(sisaan), xlab="Fitted", ylab="Sisaan", main="Residuals vs Fitted"); abline(h=0, col="red")
acf(sisaan, lag.max = 20)
plot(1:length(sisaan),sisaan,type='o', xlab="Order",
     main="Residuals vs Order"); abline(h=0, col="red")

1. Normal Q-Q Plot
   Berdasarkan hasil eksplorasi di atas, terlihat bahwa banyak amatan sisaan cenderung menjauhi garis qq-plot distribusi normal. Oleh karena itu, secara eksploratif dapat dikatakan bahwa sisaan belum cukup menyebar normal.

2. Plot Residual vs Fitted
   Berdasarkan hasil eksplorasi di atas, mayoritas titik amatan berada disekitar nol meskipun ada beberapa titik amatan yang terletak jauh dari titik nol. Selain itu, dapat terlihat bahwa lebar pita dari sisaan tidak terlalu berbeda jauh dari kiri hingga ke kanan, hal ini mengindikasikan bahwa ragam dari sisaan cukup homogen.

3. Plot ACF
   Berdasarkan hasil eksplorasi di atas, pada plot ACF tidak terdapat garis vertikal di lag tertentu yang melebihi tinggi garis biru horizontal. Oleh karena itu, secara eksploratif plot ACF dapat disimpulkan tidak terdapat autokorelasi pada model.

4. Residual vs Order
   Berdasarkan plot residual vs order, terlihat bahwa titik amatan pada Residuals vs Order memiliki pola yang acak dan mayoritas bergerak di sekitar titik nol. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa secara eksploratif dapat dikatakan bahwa tidak terdapat autokorelasi pada sisaan.

Uji Formal Linear

ks.test(sisaan_lin, "pnorm")

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  sisaan_lin
## D = 0.46234, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided

Box.test(sisaan_lin,type = "Ljung-Box")

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  sisaan_lin
## X-squared = 0.012989, df = 1, p-value = 0.9093

t.test(sisaan_lin, mu = 0, conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  sisaan_lin
## t = 0.64014, df = 243, p-value = 0.5227
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -3.494731  6.859723
## sample estimates:
## mean of x 
##  1.682496

BoxCox.lambda(sisaan_lin)

## [1] 0.9896363

Uji Formal Spline

ks.test(sisaan, "pnorm")

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  sisaan
## D = 0.4833, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided

Box.test(sisaan,type = "Ljung-Box")

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  sisaan
## X-squared = 0.032757, df = 1, p-value = 0.8564

t.test(sisaan, mu = 0, conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  sisaan
## t = 0.50755, df = 243, p-value = 0.6122
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -4.220632  7.150650
## sample estimates:
## mean of x 
##  1.465009

BoxCox.lambda(sisaan)

## [1] 1.017082

Plot

ramalan_linear <- forecast(best_linear, h = 121)
ramalan_spline <- forecast(best_spline, h = 121)
plot(ramalan_linear, main="Forecast ARIMA (Linear)"); lines(lin_test)

plot(ramalan_spline, main="Forecast ARIMA (Spline)"); lines(spl_test)

Berdasarkan perbandingan kedua plot di atas, dapat terlihat bahwa ramalan model ARIMA (Spline) relatif lebih mendekati data asli. Artinya, secara eksploratif dapat dikatakan bahwa model ARIMA (Spline) lebih baik dalam menduga nilai IHSG 121 hari setelah data latih.

Nilai Akurasi

akurasi_linear <- accuracy(ramalan_linear, lin_test)
akurasi_spline <- accuracy(ramalan_spline, spl_test)

akurasi_model = data.frame("Model" = c("ARIMA (Linear)", "ARIMA (Spline)"),
                        "RMSE" = c(akurasi_linear[2,2], akurasi_spline[2,2]),
                       "MAPE" = c(akurasi_linear[2,5], akurasi_spline[2,5]))
akurasi_model[order(akurasi_model[,3]),]

Dari ukuran RMSE dan MAPE, terlihat bahwa model ramalan yang memiliki nilai RMSE dan MAPE terkecil adalah ARIMA (Spline), yaitu sebesar 150.3765 dan 1.8465. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa metode Interpolasi Spline lebih baik untuk digunakan dalam meramalkan data IHSG harian dengan parameter ARIMA terbaik yang digunakan adalah ARIMA(0,1,1).