Teoría del productor

Author

Lic. Juan Isaula

Propiedades de la Función de Producción

La función de producción, \(f: \mathbb{R}_+^n \longrightarrow \mathbb{R}_+\), es continua, estrictamente creciente, y estrictamente cuasiconca a en \(\mathbb{R}_+\), y \(f(\textbf{0}) = 0\).

  • La continuidad de \(f\) asegura que pequeños cambios en el vector de entrada conducen a pequeños cambios en la cantidad de producto producido.

  • Requerimos que \(f\) sea estrictamente creciente para asegurar que emplear estrictamente más de cada insumo da como resultado estrictamente más producción.

  • La cuasiconcavidad estricta implica la presencia de al menos algunas complementariedades en la producción.

Cuando la función de producción es derivable, su derivada parcial, \(\partial f(x)/\partial x_i\), es llamado producto marginal del insumo i y da la tasa a la cual el producto cambia por unidad adicional de insumo que empleé.

Si \(f\) es estrictamente creciente y en todas partes continuamente diferenciable, entonces \(\partial f(x)/\partial x_i > 0\) para casi todos los vectores de entrada.

Para cualquier nivel fijo de producción, \(y\) el conjunto de vectores de entrada que produce y unidades de producción se llama isocuanta de nivel \(y\). Entonces, una isocuanta es solo un conjunto de niveles de \(f\). Denotaremos esto establecido por \(Q(y)\). Tal que,

\[ Q(y) = \{\textbf{x}\geq 0 : f(\textbf{x}) = y\} \]

Para un vector de entrada \(\textbf{x}\), la isocuanta a través de \(\textbf{x}\) es el conjunto de vectores de entrada que producen el mismo resultado que \(\textbf{x}\), a saber, \(Q(f(\textbf{x}))\).

Un análogo a la tasa marginal de sustitución en la teoría del consumidor es la relación marginal tasa de sustitución técnica (TMST) en la teoría del productor. Esto mide la tasa que un insumo puede sustituirse por otro sin cambiar la cantidad de producto producido.

Formalmente, la tasa marginal de sustitución técnica del insumo \(j\) por el insumo \(i\) cuando el vector de entrada axctual es \(x\), denotado \(TMST_{ij}(\textbf{x})\), se define como la relación de productos marginales,

\[ TMST_{ij}(\textbf{x}) = \frac{\partial f(\textbf{x})/dx_i}{\partial f(\textbf{x})/\partial x_j} \]

En el caso de dos entradas, como se muestra en la figura anterior, \(TMST_{12}(\textbf{x}^1)\) es el valor absoluto de la pendiente de la isocuanta a través de \(\textbf{x}^1\) en el punto \(\textbf{x}^1\).

La TMST es una medida local de la sustituibilidad entre insumos en la producción de un nivel dado de producción. Los economistas, sin embargo, tienen una predilección por medir tales cosas con elasticidades sin unidades. Aunque existen varias medidas de este tipo, la más común con diferencia es la elasticidad de sustitución, \(\sigma\). Mantener todas las demás entradas y el nivel de salida constante, la elasticidad de sustitución del insumo \(j\) por el insumo \(i\) se define como el porcentaje de cambio en las proporciones, \(x_j/x_i\), asociado con un cambio del 1 por ciento en la TMST entre ellos.

Elasticidad de Sustitución

Para una función de producción \(f(\textbf{x})\) la elasticidad de sustitución del insumo \(j\) por el insumo \(i\) en el punto \(x^0\in \mathbb{R}_+^n\) es definida como

\[ \sigma_{ij}(\textbf{x}^0) = \begin{bmatrix}\frac{d \ln TMST_{ij}(\textbf{x}(r))}{d \ln r} \end{bmatrix}_{r = x_j^0/x_i^0}^{-1} \]

donde \(\textbf{x}(r)\) es el único vector de entradas \(\textbf{x} = (x_1, . . . , x_n)\) tal que

  • \(\frac{x_j}{x_i} = r\)

  • \(x_k = x_k^0\), para \(k \neq i\)

  • \(f(\textbf{x}) = f(\textbf{x}^0)\)

La elasticidad de sustitución \(\sigma_{ij}(\textbf{x}^0)\) es una medida de curvatura de la isocuanta \(i-j\) a través de \(\textbf{x}^0\) en \(\textbf{x}^0\). Cuando la función de producción es cuasiconcava, la elasticidad de sustitución nunca puede ser negativa, por lo que \(\sigma_{ij} \geq 0\). En general, cuanto más cerca está de cero, más difícil es la sustitución entre las entradas; cuanto más grande es, más facíl es la sustitución entre ellos. cuando solo hay dos entradas, escribiremos \(\sigma\) en lugar de \(\sigma_{12}\). Consideremos algunos ejemplos de dos entradas. En la figura (a), la isocuanta es lineal y existe una perfecta sustituibilidad entre las entradas. Allí, \(\sigma\) es infinito. En la figura (c), los dos insumos son productivos solo en proporciones fijas entre sí, la sustitución entre ellos es efectivamente imposible, y \(\sigma\) es cero. En figura (b), se ilustra un caso intermedio, donde \(\sigma\) no es ni cero ni infinito, y las isocuantas no son rectas ni ángulos rectos. En general, cuanto más cerca está \(\sigma\) de cero, más en forma de L tienen las isocuantas y más dificil la sustitución entre entradas; cuanto mayor es \(\sigma\), más planas son las isocuantas y la sustitución más facíl entre ellos.

Rendimientos a Escala y Proporciones Variables

Con frecuencia queremos saber cómo responde la producción a medida que se incrementan las cantidades de diferentes insumos. Por ejemplo, en el corto plazo, el período de tiempo en el que al menos una entrada es Fijo, la salida solo se puede variar cambiando las cantidades de algunas entradas pero no de otras. A medida que se modifican las cantidades de los insumos variables, las proporciones en que se modifican los insumos fijos y variables, las entradas que se utilizan también se modifican. A largo plazo la empresa es libre de variar todos los insumos, y clasificar las funciones de producción por sus rendimientos a escala es una forma de describir cómo varía la producción.

Especificamente, los rendimientos a escala se refieren a cómo responde la producción cuando todos los insumos se varían en la misma proporción, es decir, cuando toda la escala de operaciones aumenta o disminuye proporcionalmente. En el caso de dos entradas, la distinción entre estos dos atributos de la función de producción se capta mejor considerando la siguiente figura.

Rendimientos en proporciones variables se refiere a cómo se comporta la salida a medida que nos movemos a través del mapa de isocuantas a lo largo de la horizontal en \(\bar{x}_2\), manteniendo \(x_2\) constante y variando la cantidad de \(x_1\). Rendimientos a escala tienen que ver con cómo se comporta la salida a medida que nos movemos a través del mapa de isocuantas a lo largo de OA, donde los niveles de \(x_1\) y \(x_2\) se cambian simultáneamente, manteniendose siempre en la proporción \(x_2/x_1 = \alpha\).

Las medidas elementales de rendimientos en proporciones variables incluyen el producto marginal, \(PM_i(\textbf{x}) = f_i(\textbf{x})\), y producto promedio \(PP_i(\textbf{x}) = f(\textbf{x})/x_i\) , de cada entrada. La salida elasticidad del insumo \(i\), que mide la respuesta porcentual del producto aun cambio del 1 por ciento en la entrada \(i\), viene dada por \(\mu_i(\textbf{x}) = f_i(\textbf{x})x_i/f(\textbf{x}) = PM_i(\textbf{x})/PP_i(\textbf{x})\). Cada uno de estos es una medida local, definida en un punto. Las propiedades de escala de la técnología pueden definirse a nivel local o global. Se dice que una función de producción es globalmente constante, creciente o rendimientos decrecientes a escala de acuerdo con las siguientes definiciones.

Rendimientos a Escala (Global)

Una función de producción \(f(\textbf{x})\) tiene las propiedad de (globalmente):

  1. Rendimientos a escala constantes si \(f(t\textbf{x}) = tf(\textbf{x})\) para todo \(t > 0\) y todo \(\textbf{x}\);
  2. Rendimientos a escala crecientes si \(f(t\textbf{x})>tf(\textbf{x})\) para todo \(t>1\) y todo \(\textbf{x}\);
  3. Rendimientos a escala decrecientes si \(f(t\textbf{x}) < tf(\textbf{x})\) para todo \(t<1\) y todo \(\textbf{x}\).

Observe a partir de estas definiciones globales de rendimientos a escala que una función de producción tiene rendimientos constantes si es una función homogénea lineal (positiva).

Función de Costos

Supondremos en todo momento que las empresas son perfectamente competitivas en sus mercados de insumos y que, por tanto, enfrentan precios de insumos fijos. Sea \(\textbf{w} = (w_1, . . . , w_n) \geq 0\) un vector de los precios de mercado predominantes a los que la empresa puede comprar insumos \(\textbf{x} = (x_1, . . . , x_n)\). Ya que la empresa es una maximizadora de beneficios, optará por producir algún nivel de producción mientras usa ese vector de entrada que requiere el menor desembolso de dinero. Por lo tanto, se puede hablar de el costo de la producción \(y\): será el costo a precios \(\textbf{w}\) del vector de insumos menos costoso capaz de produciendo \(y\).

Definición formal

La función de costo, definida para todos los precios de los insumos \(\textbf{w}\geq 0\) y todos los niveles de salida \(y \in \mathbb{R_+^n}\) es la función de valor mínimo.

\[ c(\textbf{w},y) = \min_{\textbf{x}\in\mathbb{R}_+^n} \textbf{w}\cdot \textbf{x} \hspace{1cm}s.t\hspace{1cm} f(\textbf{x})\geq y \]

Si \(\textbf{x}(\textbf{w},y)\) resuelve el problema de minimización de costes, entonces

\[ c(\textbf{w}, y) = \textbf{w}\cdot \textbf{x}(\textbf{w},y) \]

Consideramos más de cerca el problema de minimización de costos de la empresa. Porque \(f\) es estrictamente creciente, la restricción siempre será obligatoria en una solución. En consecuencia, el problema de minimización de costes es equivalente a

\[ \min_{\textbf{x}\in\mathbb{R}_+^n} \textbf{w}\cdot \textbf{x}\hspace{1cm}s.t\hspace{1cm} y = f(\textbf{x}) \]

Sea \(\textbf{x}^*\) una solución de la ultima ecuación. Para simplificar las cosas, supondremos \(\textbf{x}^*\geq 0\) , y \(f\) es diferenciable en \(\nabla f(\textbf{x}^*)\geq 0\). Así, por el teorema de Lagrange, existe un \(\lambda^*\in \mathbb{R}\) tal que

\[ w_i = \lambda^*\frac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_i}, \hspace{1cm} i = 1, . . . , n \]

Como \(w_i > 0\), \(i = 1, . . . , n\), podemos dividir la i-ésima ecuación anterior por la j-ésima para obtener

\[ \frac{\partial f(\textbf{x}^*)/\partial x_i}{\partial f(\textbf{x}^*)/\partial x_j} = \frac{w_i}{w_j} \]

Por lo tanto, la minimización de costos implica que la relación marginal de sustitución entre dos insumos es igual a la razón de sus precios.

Propiedades de la Función de Costos

Si \(f\) es continua y estrictamente creciente, entonces \(c(\textbf{w},y)\) es

  1. Cero cuando \(y = 0\)
  2. Continua en todo su dominio
  3. Para todo \(\textbf{w}\geq 0\), estrictamente creciente y sin límites superiores en \(y\).
  4. Creciente en \(\textbf{w}\)
  5. Homogenea de grado 1 en \(\textbf{w}\),
  6. Concava en \(\textbf{w}\)

Ademas, si \(f\) es estrictamente cuasiconcava tenemos que

  1. Lema de Shephard: \(c(\textbf{w},y)\) es diferenciable en \(\textbf{w}\) entonces

    \[ \frac{\partial c(\textbf{w},y)}{\partial w_i} = x_i(\textbf{w},y), \hspace{1cm} i = 1, . . . , n \]

Propiedades de las demandas de entrada condicionales

Suponga que la función de producción satisface el supuesto del problema del productor y que la función de costos asociada es dos veces continuamente diferenciable. Entonces:

  1. \(\textbf{x}(\textbf{w},y)\) es homogeneo de grado cero en \(\textbf{w}\)

  2. La matriz de sustitución, definida y denotada por

    \[ \sigma^*(\textbf{w},y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x_1 (\textbf{w},y)}{\partial w_1} &...& \frac{\partial x_1(\textbf{w},y)}{\partial w_n}\\ \vdots &\ddots&\vdots\\ \frac{\partial x_n (\textbf{w},y)}{\partial w_1} &...& \frac{\partial x_n(\textbf{w},y)}{\partial w_n }\end{pmatrix} \]

    Esta matriz es simétrica y semidefinida negativa. En particular, la propiedad semidefinida negativa implica que \(\frac{\partial x_i(\textbf{w},y)}{\partial w_i} \leq 0\) para todo i.