Gabarito
Luis Gustavo Braga Costa & orientação: Caio Oliveira Azevedo
21 de janeiro de 2023
1 Introdução
Trabalho criado com a orientação do professor Caio Oliveira Azevedo.
Questões retiradas do livro ESTATÍSTICA BÁSICA, 9º edição, Pedro A. Morettin Wilton de O. Bussab.
Para mais informações siga nas redes sociais Instagram (@obraga_16)
Pacotes a serem utilizados em todo o trabalho.
library(readxl)
library(descr)
library(fdth)
library(ggplot2)
library(graphics)2 Capítulo 2
2.1 Problema 2 do capitulo 2
- Usando os dados da Tabela 2.1, construa a distribuição de
frequências das variáveis:
- Estado civil.
- Região de procedência.
- Número de filhos dos empregados casados.
- Idade.
site <- "https://raw.githubusercontent.com/caio-azevedo/Aulas/main/cia_MB.csv"
dados<- read.table(site, header=T, sep=";", dec = ",", col.names = c("obs", "X", "Y", "Z", "S", "U", "V"))
attach(dados)
#View(dados) Se quiser vizualizar a tabela.
2.1.1 a)
freq(X, plot = FALSE)## X
## Frequência Percentual
## casado 20 55.56
## solteiro 16 44.44
## Total 36 100.002.1.2 b)
freq(Y, plot = FALSE)## Y
## Frequência Percentual
## ensino fundamental 12 33.33
## ensino médio 18 50.00
## superior 6 16.67
## Total 36 100.002.1.3 c)
freq(Z, plot = FALSE)## Z
## Frequência Percentual Perc. Válido
## 0 4 11.111 20
## 1 5 13.889 25
## 2 7 19.444 35
## 3 3 8.333 15
## 5 1 2.778 5
## NA's 16 44.444
## Total 36 100.000 1002.1.4 d)
# número de classe
n_class<- nclass.FD(U)
# Dividindo a amplitude total pelo número de classes e
# arredondando para cima.
amp<- ceiling((max(U)-min(U))/n_class)
tab<-fdt(U,start = min(U), end = min(U)+amp*n_class, h=amp)
tab## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [20,26) 3 0.08 8.33 3 8.33
## [26,32) 9 0.25 25.00 12 33.33
## [32,38) 12 0.33 33.33 24 66.67
## [38,44) 9 0.25 25.00 33 91.67
## [44,50) 3 0.08 8.33 36 100.002.2 Problema 5 do capítulo 2
Usando os resultados do Problema 2 e da Tabela 2.3:
(a) construa um histograma para a variável idade;
(b) proponha uma representação gráfica para a variável grau de
instrução.
2.2.1 a)
#histograma da idade
hist(U, main = "", freq = FALSE, xlab = "Idade",breaks = seq(20,50,6),ylab = "Densidade",xaxp=c(20,50,5),ylim = c(0,0.1))
2.2.2 b)
Gráfico de pizza.
porc<-round(prop.table(table(Y))*100,2)
grau_intr<-c("Fundamental","Médio", "Superior")
rotulos=paste(grau_intr," - (",porc,"%)",sep="")
pie(table(Y), labels = rotulos, radius=0.95,init.angle = 180,
border = NA, col=c("salmon", "limegreen", "dodgerblue"))
Grafíco de barras.
barplot(table(Y),
ylab="Freq",
cex.lab=1.6, cex.names=1.3, cex.axis = 1.3,
col=c("salmon", "limegreen", "dodgerblue"),
axes=TRUE,
ylim=c(0,20))
2.3 Problema 9 do capítulo 2
A MB Indústria e Comércio, desejando melhorar o nível de seus
funcionários em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou
25 funcionários para a primeira turma. Os dados referentes à seção a que
pertencem, notas e graus obtidos no curso estão na tabela a seguir. Como
havia dúvidas quanto à adoção de um único critério de avaliação, cada
instrutor adotou seu próprio sistema de aferição. Usando dados daquela
tabela, responda as questões:
(a) Após observar atentamente cada variável, e com o intuito de
resumi-las, como você identificaria (qualitativa ordinal ou nominal e
quantitativa discreta ou contínua) cada uma das 9 variáveis
listadas?
(b) Compare e indique as diferenças existentes entre as distribuições
das variáveis Direito, Política e Estatística.
(c) Construa o histograma para as notas da variável Redação. (d)
Construa a distribuição de frequências da variável Metodologia e faça um
gráfico para indicar essa distribuição.
(e) Sorteado ao acaso um dos 25 funcionários, qual a probabilidade de
que ele tenha obtido grau A em Metodologia?
(f) Se, em vez de um, sorteássemos dois, a probabilidade de que ambos
tivessem tido A em Metodologia é maior ou menor do que a resposta dada
em (e)?
(g) Como é o aproveitamento dos funcionários na disciplina Estatística,
segundo a seção a que eles pertencem?
2.3.1 a)
Criando vetores
Variaveis<- c("Secao", "Administracao", "Direito", "Redacao", "Estatisticas", "Ingles", "Metodologia", "Politica", "Economia")
Classificacao<- c("Quantitativa discreta", "Quantitativa continua ", "Quantitativa continua ","Quantitativa continua ","Quantitativa continua ", "Qualitativa ordinal", "Quaitativa ordinal", "Quantitativa continua ", "Quantitativa continua ")Usando o data.frame
tabela1<- data.frame(Variaveis ,Classificacao )
tabela1## Variaveis Classificacao
## 1 Secao Quantitativa discreta
## 2 Administracao Quantitativa continua
## 3 Direito Quantitativa continua
## 4 Redacao Quantitativa continua
## 5 Estatisticas Quantitativa continua
## 6 Ingles Qualitativa ordinal
## 7 Metodologia Quaitativa ordinal
## 8 Politica Quantitativa continua
## 9 Economia Quantitativa continua2.3.2 b)
R- A variável Direito se tem nenhuma variação todos conseguiram a nota a 9,0, enquanto estatística tem variância maior comparada a Política.
2.3.3 c)
Importanto os dados
library(readxl)
pro9 <- read_excel("C:/Users/Cliente/Desktop/Gustavo/R/pro9.xlsx")
attach(pro9)Construindo o histograma
hist(Redação, freq = FALSE, main = "Histograma de notas em Redação", xlab = "Notas", ylab = "Densidade")
2.3.4 d)
Usando a função fre(), com o plot=TRUE, o R cria um grafíco de barras simples.
freq(Metodologia, plot = TRUE)
## Metodologia
## Frequência Percentual
## A 7 28
## B 8 32
## C 10 40
## Total 25 1002.3.5 e)
A<- grep("A", Metodologia) #grep() é para saber quem tirou A em Metodologia
prob.A<- length(A)/length(Metodologia) #length() para saber quantas pessoas tiram A.
prob.A## [1] 0.282.3.6 f)
Sendo sorteio simultâneo, usando análise combinatória;
Quantidade total de possibilidade é 25x24 = 600;
E os casos favoráveis é 7x6 = 42
p<- 42/600
p## [1] 0.072.3.7 g)
Departamento Pessoal.
tabela.P<- pro9[grep("P", Secao),]
freq(tabela.P$Estatíst., plot = TRUE, main="Departamento Pessoal (P) - Estatísticas ")
## tabela.P$Estatíst.
## Frequência Percentual
## 8 3 42.86
## 9 3 42.86
## 10 1 14.29
## Total 7 100.00Seção técnica.
tabela.T<- pro9[grep("T", Secao),]
freq(tabela.T$Estatíst., plot = TRUE, main="Seção técnica (T) - Estatísticas ")
## tabela.T$Estatíst.
## Frequência Percentual
## 7 2 28.57
## 8 2 28.57
## 9 2 28.57
## 10 1 14.29
## Total 7 100.00Seção de vendas.
tabela.V<- pro9[grep("V", Secao),]
freq(tabela.V$Estatíst., plot = TRUE, main="Seção de vendas (V) - Estatísticas ")
## tabela.V$Estatíst.
## Frequência Percentual
## 4 1 9.091
## 7 3 27.273
## 8 2 18.182
## 9 4 36.364
## 10 1 9.091
## Total 11 100.0002.4 Problema 10 do capítulo 2
Dispomos de uma relação de 200 aluguéis de imóveis urbanos e uma relação de 100 aluguéis rurais.(a) Construa os histogramas das duas distribuições.
(b) Com base nos histogramas, discuta e compare as duas distribuições.
2.4.1 a)
Zona urbana;
alugueisZU <- c(rep(c(2,4,6,8.5,12.5),c(10,40,80,50,20))) #supondo um vetor com as mesma frequências em cada intervalo.
hist(alugueisZU,
main = "Histograma da zona urbana", xlab = "Aluguéis", ylab = "Densidade", #Nome ao histograma, Nome do eixo x, Nome do eixo y
freq = FALSE, #Freq=TRUE - para mostrar a frequência; Freq=FALSE - para mostrar a densidade
breaks = c(2,3,5,7,10,15), #Definir os limites das classes
xaxp=c(2,15,13), #Alterar a posiçao e quantidade de separadores dos eixos x
labels = FALSE, #Se quiser colocar os valores em cima das barras
ylim = c(0,0.25) #limitante do eixo y
) 
Zona rural
alugueisZR<- c(rep(c(2,4,6,8.5,12.5),c(30,50,15,5,0)))
#Criando o histograma, análogo ao exemplo da zona rural
hist(alugueisZR,
main = "Histograma da zona rural", xlab = "Aluguéis", ylab = "Densidade",
freq = FALSE,
breaks = c(2,3,5,7,10,15),
xaxp=c(2,15,13),
labels = FALSE,
ylim = c(0,0.4)) 
2.4.2 b)
Aluguéis na zona rual tem tendência a ser mais baratos.
3 Capítulo 3
3.1 Problema 2 do capítulo 3
As taxas de juros recebidas por 10 ações durante um certo período foram (medidas em porcentagem) 2,59; 2,64; 2,60; 2,62; 2,57; 2,55; 2,61; 2,50; 2,63; 2,64. Calcule a média, a mediana e o desvio padrão.
taxas<- c(2.59, 2.64, 2.60, 2.62, 2.57, 2.55, 2.61, 2.50, 2.63, 2.64)
#Média
mean(taxas)## [1] 2.595#Mediana
median(taxas)## [1] 2.605#Desvio Padrão amostral
sd(taxas)## [1] 0.04453463#Desvio Padrão populacional
sd(taxas)*sqrt((length(taxas)-1)/length(taxas))## [1] 0.042249263.2 Problema 3 do capitulo 3
Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa
região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50
dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os
seguintes números de casas por quarteirão:
(a) Use cinco intervalos e construa um histograma.
(b) Determine uma medida de posição central e uma medida de
dispersão.
Primeiramente coletar os dados e importar para o R, ou pelo pacote
“readxl” ou pelo pacote “readr”, tanto arquivos do Excel (.xlsx), quanto
arquivos do bloco de notas (.txt).
Para isto, e poder visualizar os dados:
P3C3 <- read_excel("C:/Users/Cliente/Desktop/Gustavo/R/P3C3.xlsx",
col_types = c("numeric"))
attach(P3C3)
#View(P3C3) Se quiser vizualizar a tabela. 3.2.1 a)
Para o item (a), devemos usar o comando hist(), sendo o argumento a variável que queremos, que faça o histograma, com relação a densidade;
hist(quarteiroes, freq = FALSE) 
Para mudar os títulos dos eixos;
hist(quarteiroes, freq = FALSE,
main = "Quantidade de casas por quarteirão",
xlab = "Casas", ylab = "Densidade", )
Para separar as classes em 5, devemos ter em mente que a amplitude
total da amostra é 97 - 2 = 95, que divido por 5 temos 19, ou seja,
temos uma amplitude de classe igual a 19.
Adiante para determinar as classes usaremos a função breaks= c() permite
definir o limite de cada classe, para isso basta determinar os valores
limites das classes. No caso usaremos uma sequência para os valores da
função.
hist(quarteiroes, freq = FALSE,
main = "Quantidade de casas por quarteirão",
xlab = "Casas", ylab = "Freq. Absoluta",
breaks = seq(2,97,19))
Para alinhar os separadores dos eixos x, usaremos a função xaxp que alterar a posição e quantidade de separadores. xaxp=c(“limite inferior”, “limite superior”, “quantidade de separadores”), no script;
hist(quarteiroes, freq = FALSE,
main = "Quantidade de casas por quarteirão",
xlab = "Casas", ylab = "Densidade",
breaks = seq(2,97,19),
xaxp=c(2,97,5),)
3.2.2 b)
Moda:
Para a moda, não se tem uma função direta, para isso usaremos a função
table(). Que nos dá uma frequência de quantas vezes uma observação se
repete, ai usando a sintaxe, conseguimos a moda;
moda <- table(quarteiroes)
moda[moda == max(moda)]## 61
## 3Ou seja, a moda é o valor 61, que se repete 3 vezes
Mediana:
Existe a função median();
median(quarteiroes)## [1] 31Media:
Existe a função median();
mean(quarteiroes)## [1] 40.42As medidas de dispersão, veremos algumas aqui, amplitude, variância e
desvio padrão
Amplitude:
Basta fazer a diferença entre a maior observação e a menor.
max(quarteiroes)- min(quarteiroes)## [1] 95Variância:
No R, a variância dada é a variância amostral, com o comando var().
var(quarteiroes)## [1] 680.0037Desvio padrão:
Desvio padrão amostral, função sd().
sd(quarteiroes)## [1] 26.076883.3 Problema 6 do capítulo 3
Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações:
- Qual a mediana do número de filhos?
- E a moda?
- Que problemas você enfrentaria para calcular a média? Faça alguma suposição e encontre-a.
#criando o objeto
filhos<- c(rep(c(0,1,2,3,4,5,6), c(17,20,28,19,7,4,5))) 3.3.1 a)
#Mediana
median(filhos)## [1] 23.3.2 b)
#Sem uma função direta, temos a seguinte sintaxe para acharmos a moda.
modafilhos <- table(filhos)
modafilhos[modafilhos == max(modafilhos)]## 2
## 283.3.3 c)
mean(filhos)## [1] 2.113.4 Problema 7 do capítulo 3
Obtenha o esquema dos cinco números para os dados do Problema 3. Calcule a distância interquartil e as dispersões inferior e superior. Baseado nessas medidas, verifique se a forma da distribuição dos dados é normal.
#Usando os dados do problema 3 (P3C3)
attach(P3C3)## The following object is masked from P3C3 (pos = 3):
##
## quarteiroes#Calculando o primeiro e o terceiro quatil
Q1<- quantile(quarteiroes, prob=0.25)
Q1 ## 25%
## 20.25Q3<- quantile(quarteiroes, prob=0.75)
Q3 ## 75%
## 61#Distância interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil
dis.int.quar. <- Q3 - Q1
dis.int.quar. ## 75%
## 40.75#Dispersão inferior, é a diferença entre o segundo quartil e a primeira observação
di<- quantile(quarteiroes, probs = 0.5) - min(quarteiroes)
di## 50%
## 29#Dispersão superior, é a diferença entre a última observação e o segundo quartil
ds<- max(quarteiroes) - quantile(quarteiroes, probs = 0.5)
ds## 50%
## 66#A forma de distribuição dos dados não é normal, pois;
di == ds## 50%
## FALSE3.5 Problema 9 do capítulo 3
Obter os três quartis, q(0,1) e q(0,90) para os dados do Problema 3.
attach(P3C3)## The following object is masked from P3C3 (pos = 3):
##
## quarteiroes## The following object is masked from P3C3 (pos = 4):
##
## quarteiroesquantile(quarteiroes, probs = c(0.1,0.25,0.5,0.75,0.9)) ## 10% 25% 50% 75% 90%
## 13.90 20.25 31.00 61.00 78.203.6 Problema 16 do capítulo 3
Os dados abaixo representam as vendas semanais, em classes de salários mínimos, de vendedores de gêneros alimentícios:
- Faça o histograma das observações.
- Calcule a média da amostra x’
- Calcule o desvio padrão da amostra, s.
- Qual a porcentagem das observações compreendidas entre x’ - 2s e x’ + 2s? ### a)
#criando o objeto com as mesma frequência nos intervalos
vendas<- c(rep(seq(32.5,67.5,5), c(2,10,18,50,70,30,18,2)))
#criando o histograma
hist(vendas,
main = "Histograma de vendas", xlab = "vendas", ylab = "Densidade", #Nome ao histograma, Nome do eixo x, Nome do eixo y
freq = FALSE, #Freq=TRUE - para mostrar a frequência; Freq=FALSE - para mostrar a densidade
breaks = seq(30,70,5), #Definir os limites das classes
xaxp=c(30,70,8), #Alterar a posiçao e quantidade de separadores dos eixos x
labels = FALSE, #Se quiser colocar os valores em cima das barras
ylim = c(0,0.08) #limitante do eixo y
)
3.6.1 b)
Como os dados estão agrupados em intervalos, para se calcular a média
neste caso, devemos primeiro determinar a média do intervalo e depois
multiplicar pela frequência absoluta do intervalo. Em seguida somar os
resultados e dividir pela quantidade de amostra.
Como o vetor (vendas) criado é formado pelas médias dos invervalos;
x<- sum(vendas)/length(vendas)
x## [1] 51.23.6.2 c)
s<- sd(vendas)
s## [1] 6.6355223.6.3 d)
a<- x-2*s
a## [1] 37.92896b<- x+2*s
b## [1] 64.47104Observando a frequência relativa:
tab163<-fdt(vendas, start = 30, end = 70, h=5)
tab163## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [30,35) 2 0.01 1 2 1
## [35,40) 10 0.05 5 12 6
## [40,45) 18 0.09 9 30 15
## [45,50) 50 0.25 25 80 40
## [50,55) 70 0.35 35 150 75
## [55,60) 30 0.15 15 180 90
## [60,65) 18 0.09 9 198 99
## [65,70) 2 0.01 1 200 100Percebe-se que \(a=37.92\) está no
intervalo [35,40) e \(b=64.47\) está em
[60,65)
Pelo histograma:
[35,40) tem uma área de 5% com uma base de 5 Queremos saber a área
(\(x\)) de base \(a=37.92\) até 40, logo, por
polarização
\[
\frac{AREA \rightarrow }{BASE\; \rightarrow } \Rightarrow
\frac{x}{40-37.92}= \frac{0.05}{5} \Rightarrow x=2.08\%
\]
Agora em [60,65) tem uma área de 9% com base 5;
Queremos saber a área (\(y\)) de base
60 até \(b=64.47\)
\[
\frac{AREA \rightarrow }{BASE\; \rightarrow } \Rightarrow
\frac{y}{64.46-60}= \frac{0.09}{5} \Rightarrow x=8.028\%
\]
Para achar a porcentagem entre 40 até 60, basta soma as frequências
relativas, então a porcentagem (\(P\))
compreendida entre \(a=37.92\) e \(b=64.47\) é
\[
P= 2.08\%+9\%+25\%+35\%+15\%+8.028\% = 94,108\%
\]
3.7 Problema 19 do capítulo 3
O Departamento Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo.
- Esboce o histograma correspondente.
- Calcule a média, a variância e o desvio padrão.
- Calcule o 1º quartil e a mediana.
- Se for concedido um aumento de 100% para todos os 120 funcionários,
haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua
resposta.
- Se for concedido um abono de dois salários mínimos para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? E na variância? E na mediana? Justifique sua resposta
3.7.1 a)
#criando um vetor correspondente a distribuição
#Uma vez que temos as frequências relativas, basta multiplicarmos pelo total (120)
salario <- c(rep(c(1,3,5,8),c(0.25*120,0.4*120,0.2*120,0.15*120)))
#criando o histograma
hist(salario,
main = "Histograma da faixa salarial", xlab = "salário", ylab = "Densidade", #Nome ao histograma, Nome do eixo x, Nome do eixo y
freq = FALSE, #Freq=TRUE - para mostrar a frequência; Freq=FALSE - para mostrar a densidade
breaks = c(0,2,4,6,10), #Definir os limites das classes
xaxp=c(0,10,5), #Alterar a posiçao e quantidade de separadores dos eixos x
labels = TRUE, #Se quiser colocar os valores em cima das barras
ylim = c(0,0.22), #limitante do eixo y
col= c("blue"), #Adicionar cor.
)
3.7.2 b)
#Calculando a média
mean(salario)## [1] 3.65#Calculando variância (amostral)
var(salario)## [1] 5.170588#Calculando o desvio padrão
sd(salario)## [1] 2.273893# Ou
sqrt(var(salario))## [1] 2.2738933.7.3 c)
Calcular os quartis pelo R, dessa maneira não nos retornará um
resultado fiel, pois, os dados disponíveis, não são reais, é a média
aritmética das classes de intervalo, logo devemos fazer por
polarização.
1º quartis: pela distribuição de frequência
\[q(0.25)=2\]
Mediana ou 2º quartil
Está entre [2,4), então por polarização, a partir do primeiro intervalo
falta 25% para os 50% \[
\frac{TOTAL\; (AREA) \rightarrow }{BASE\; \rightarrow } \Rightarrow
\frac{0.4}{4-2}= \frac{0.25}{q(0.5)-2} \Rightarrow q(0.5)=3.5
\] Ou seja, \[
M=q(0.5)=3.5
\]
3.7.4 d)
Um aumento de 100% significa dobrar o salário, ou seja:
Média:
#criando novo vetor salario
salario2<- salario*2
#Nova Média
mean(salario2)## [1] 7.3# Antiga média
mean(salario)## [1] 3.65#ou seja dobrou a média Poderiamos pensar de maneira geral, Seja \(\bar{x}\) a média original e \(\bar{\bar{x}}\) a nova média. \[ \bar{\bar{x}}=\frac{2x_{1}+2x_{2}+...+2x_{120}}{120}=2\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{120}}{120}=2*\bar{x} \]
Variância:
#Nova variância
var(salario2)## [1] 20.68235# Antiga média
var(salario)## [1] 5.170588#ou seja quadriplicou a variância Seja \(s^2\) a variância amostral original e \(\bar{x}\) a média original (\(\bar{\bar{x}}=2\bar{x}\)), e \(s'^2\) a nova variância;
\[ s'^2=\frac{\sum_{4}^{i=1}(2x_i-\bar{\bar{x}})^2}{n-1}=\frac{\sum_{4}^{i=1}(2x_i-2\bar{x})^2}{n-1}= \frac{\sum_{4}^{i=1}[2(x_i-\bar{x})]^2}{n-1} \\ \Leftrightarrow s'^2=4\frac{\sum_{4}^{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n-1} \\ \Leftrightarrow s'^2=4s^2 \]
O pensamento é análogo para o item e)
3.7.5 e)
Seja o abono de 2 salários, logo, devemos somar 2 a cada observação:
#Criando o novo vetor, somando 2 ao vetor originial
salario3 <- salario+2Média:
#Nova Média
mean(salario3)## [1] 5.65# Antiga média
mean(salario)## [1] 3.65#ou seja somou 2 a média Variância:
#Nova variância
var(salario3)## [1] 5.170588# Antiga média
var(salario)## [1] 5.170588#ou seja a variância não mudou.