Ruang Vektor dan Subruang Vektor ##Perkalian skalar PERKALIAN SKALAR adalah operasi sehingga CV di mana c adalah skalar dan v adalah elemen dari himpunan V . Ruang vektor adalah dasar dalam banyak bidang matematika dan merupakan a set yang terdefinisi dengan baik dengan beberapa properti yang bagus. Ruang vektor tampaknya sangat intuitif, bagaimanapun, kita harus sangat berhati-hati dengan definisinya.
##Ruang vektor V adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi: penjumlahan dan perkalian skalar sehingga yang berikut ini benar: • v + u ada di V jika v dan u ada di V . • v + u = u + v untuk semua v dan u di V . • (v + u) + w = v + (u + w) untuk semua v, u, dan w di V . • Ada nol vektor 0 di V sehingga u + 0 = u untuk sembarang u di V . • Untuk setiap v di V terdapat vektor −v di V sehingga v + (−v) = (−v)+ v = 0. • Jika v ada di V dan jika c adalah skalar, maka c · v ada di V . • c · (v + u) = c · v + c · u untuk setiap v; u dalam V dan untuk sembarang skalar c. • (c + d) · v = c · v + d · v untuk sembarang skalar c; d dan sembarang v di V . • c · (d · v) = (c · d) · v untuk sembarang skalar c; d dan sembarang v di V . • 1 · v = v untuk sembarang v di V . Dari definisi ruang vektor, kita dapat menunjukkan proposisi berikut: Proposisi 4.1 Untuk setiap vektor v dalam ruang vektor V , • 0 · v = 0, • c · 0 = 0 untuk sembarang skalar c, • (−1) · v = −v:
• vektor nol 0 di V juga di W, • W ditutup dengan penjumlahan, yaitu, untuk sembarang vektor v; u di W, v + u adalah juga di W, dan • W tertutup di bawah perkalian skalar, yaitu, untuk sembarang vektor v in W dan untuk skalar c apa pun, c · v juga ada di W. Contoh 94 Ini dari Contoh 90. Misalkan V = f(x; y; z)jx; y; z adalah nyata angkag, yaitu bilangan real 3 dimensi. Maka misalkan W = f(x; y; 0)jx; y adalah bilangan real g. Sekarang kami ingin menunjukkan bahwa W adalah subruang vektor. • Ingin memverifikasi: Vektor nol 0 di V juga ada di W. Ketika x = y = 0, maka 0 ada di W. • Ingin memverifikasi: W tertutup di bawah penjumlahan, yaitu, untuk sembarang vektor v; kamu di W, v + u juga di W. Misalkan v = (x1; y1; 0); u = (x2; y2) untuk x1; x2; y1; y2, yang merupakan bilangan real. Maka v + u = (x1 + x2; y1 + y2; 0), yang ada di W . • Ingin memverifikasi: W tertutup di bawah perkalian skalar, yaitu untuk sembarang vektor v di W dan untuk sembarang skalar c, c·v juga ada di W. Misalkan v = (x1; y1; 0) untuk x1; y1, yang merupakan bilangan real, dan misalkan c adalah skalar dari bilangan real. Maka, c · v = (c · x1; c · y1; 0) ada di W. Semua kondisi terpenuhi. Oleh karena itu, W adalah subruang vektor dari V . Contoh 95 Ini dari Contoh 91. Misalkan V adalah himpunan semua matriks 2 × 2 dengan bilangan real dan W adalah himpunan semua matriks simetris 2 × 2 dengan real angka. Maka V adalah ruang vektor dan W adalah subruang vektor dari V .Vector Spaces 207 Contoh 96 Ini dari Contoh 92. Misalkan V adalah himpunan semua simetris 3 × 3 matriks dengan bilangan real dan W adalah himpunan semua matriks diagonal 3 × 3 dengan bilangan asli. Maka V adalah ruang vektor dan W adalah subruang vektor dari V . Contoh 97 Ini dari Contoh 93. Misalkan V adalah himpunan semua polinomial a · x2 + b · x · y + c · y2 + d · x + e · y + f = 0 untuk a; B; C; D; e; f dan biarkan W menjadi himpunan semua polinomial d · x + e · y + f = 0 untuk e; f, yang merupakan bilangan real. Maka V adalah ruang vektor dan W adalah subruang vektor dari V . Contoh 98 Ruang vektor V didefinisikan dalam Contoh 90. Misalkan V = f(x; y; z)jx; y; z adalah bilangan real g, yaitu bilangan real 3 dimensi. Lalu biarkan W = f(x; y; z)jz = 2 · x − 3 · yg. Maka W adalah subruang vektor. ##Untuk memvisualisasikan W dari Contoh 98 dalam ruang 3 dimensi, kita dapat menggunakan the paket rgl di R
```r
# Membuat vektor
vektor <- c(1, 2, 3, 4, 5)
print("Vektor sebelum perkalian skalar:")## [1] "Vektor sebelum perkalian skalar:"print(vektor)## [1] 1 2 3 4 5# Mengalikan vektor dengan skalar
skalar <- 2
hasil_perkalian <- skalar * vektor
print("Vektor setelah perkalian skalar:")## [1] "Vektor setelah perkalian skalar:"print(hasil_perkalian)## [1] 2 4 6 8 10